福建省莆田二十四中高一数学下学期期中试卷(含解析)

2014-2015学年福建省莆田二十四中高一（下）期中数学试卷
一、选择题：
1．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）
A．B∪C=C B．B=A∩C C．A⊊C D． A=B=C
考点：并集及其运算．
专题：计算题．
分析：由集合A，B，C，求出B与C的并集，A与C的交集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．
解答：解：∵A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，
∴B∪C={小于90°的角}=C，即B⊂C，B⊂A，
则B不一定等于A∩C，A不一定是C的子集，三集合不一定相等，
故选A
点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键．
2．（3分）（2012秋•马鞍山期末）若将钟表拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（）A． B．﹣C．D．﹣
考点：弧度制的应用．
专题：计算题．
分析：利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到5分针是一周的十二分之一，进而可得答案．
解答：解：∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π
将分针拨快是逆时针旋转
∴钟表拨慢5分钟，则分针所转过的弧度数为
故选C．
点评：本题考查弧度的定义：一周对的角是2π弧度．考查逆时针旋转得到的角是正角．3．（3分）（2011•宜宾一模）已知=﹣5，那么tanα的值为（）A．﹣2 B． 2 C． D．﹣
考点：同角三角函数基本关系的运用．
分析：已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．
解答：解：由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，
得=﹣5，
∴tanα=﹣．
故选D．
点评：同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．
4．（3分）（2014•芦淞区校级学业考试）已知平面向量=（2m+1，3），=（2，m），且和共线，则实数m的值等于（）
A．2或﹣B．C．﹣2或D．﹣
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题：计算题．
分析：由题意可得（2m+1，3）=λ （2，m），即2m+1=2λ，且3=λm，解方程求得 m 的值．
解答：解：由题意可得（2m+1，3）=λ （2，m）=（2λ，λm），
∴2m+1=2λ，3=λm．解得 m=﹣2 或．
故选C．
点评：本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
5．（3分）（2015春•莆田校级期中）下列各式不能化为的是（）
A．+﹣B．（+）+C．（+）+
（+）D．﹣++
考点：向量加减混合运算及其几何意义．
专题：平面向量及应用．
分析：利用向量的多边形法则即可得出．
解答：解：A.=，因此不能化为；
B.=，因此能化为；
C．（+）+（+）==，因此能化为；
D.==，因此能化为．
综上可得：只有A不能化为．
故选：A．
点评：本题考查了向量的多边形法则，属于基础题．
6．（3分）（2012•自贡三模）要得到的图象，只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题．
分析：根据左加右减的原则进行左右平移即可．
解答：解：∵，
∴只需将y=3sin2x的图象向左平移个单位
故选C．
点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数进行平移时的原则是左加右减上加下减．7．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知平面上三点A、B、C满足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，则+值等于（）
A．﹣25 B．﹣20 C．25 D．﹣10
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由已知的三边关系可以得到三角形是直角三角形，利用数量积公式化简所求即可．解答：解：由已知|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，所以|AB|2+|BC|2=|CA|2，所以AB⊥BC，并且
cosA=，cosC=，
所以+=0+4×5×（﹣）+5×3×（﹣）=﹣25；
故选；A．
点评：本题考查了三角形三边对于向量的数量积计算；关键是熟练数量积公式；特别注意：向量的夹角与三角形内角的关系．
8．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知=（﹣5，3），=（﹣1，2）且λ与2+互相垂直，则实数λ的值等于（）
A．B．﹣C．D．﹣
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由已知得到λ与2+坐标，因为它们垂直，得到数量积为0，由此解关于λ的方程即可．
解答：解：因为=（﹣5，3），=（﹣1，2），所以λ=（﹣5λ﹣1，3λ+2），2+=（﹣7，7），
又λ与2+互相垂直，则（λ）•（2+）=0，
所以﹣7（﹣5λ﹣1）+7（3λ+2）=0，解得λ=﹣；
故选B．
点评：本题考查了平面向量的数量积的坐标运算以及向量垂直的性质运用；属于基础题．
9．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，则tanα=（）
A．B．﹣C．D．﹣
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出tanα的值．
解答：解：∵向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，
∴3cosα﹣4sinα=0，
∴=；
即tanα=．
故选：A．
点评：本题考查了平面向量的坐标运算以及同角的三角函数的运算问题，是基础题目．10．（3分）（2013春•苍山县期末）函数的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于y轴对称D．关于直线x=对称
考点：正弦函数的对称性．
分析：将题中角：看成一个整体，利用正弦函数y=sinx的对称性解决问题．
解答：解：∵正弦函数y=sinx的图象如下：
其对称中心必在与x轴的交点处，
∴当x=﹣时，函数值为0．
∴图象关于点（﹣，0）对称．
故选B．
点评：本题主要考查正弦函数的图象与性质，其解法是利用正弦曲线的对称性加以解决．11．（3分）（2012•贵州校级模拟）函数是（）A．上是增函数B． [0，π]上是减
函数
C．[﹣π，0]上是减函数D． [﹣π，π]上是减函数
考点：余弦函数的单调性；诱导公式的作用．
分析：根据x的范围，确定x+的范围，然后根据正弦函数的单调性确定
在相应的区间上的增减性．
解答：解：A.在先增后减；
B．当x∈[0，π]时，x+，为减函数，正确．
C．当x∈[﹣π，0]时，x+，为减增函数，错误．
D．当x∈[﹣π，0]时，x+，为减增函数，错误．
故选B．
点评：本题考查了三角函数的单调性，属于基础题型，应该熟练掌握．
12．（3分）（2014春•雅安期末）=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为
（）
A．B．C．2 D． 10
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题．
分析：由向量在向量方向上的投影的定义，结合平面向量数量积公式，我们易得向量在向量方向上的投影为，将=（2，1），=（3，4）代入即可得到答案．
解答：解：∵=（2，1），=（3，4），
∴向量在向量方向上的投影为：
•cosθ===2
故选：C
点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中根据向量在向量方向上的投影的定义，并结合平面向量数量积公式将其转化为是解答本题的关键．
二、填空题：
13．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知平行四边形ABCD的对角线交于O，且=（3，7），=（﹣2，1），则的坐标为（）．
考点：平面向量的坐标运算．
专题：平面向量及应用．
分析：利用已知条件，列出向量关系，即可求出的坐标．
解答：解：平行四边形ABCD的对角线交于O，且=（3，7），=（﹣2，1），
可得==（）==（）．的坐标为：（）．
故答案为：（）．
点评：本题考查向量共线的充要条件的运用，考查计算能力．
14．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则其解析式为y=2sin（2x+）+2．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ，即可得解．
解答：解：如图根据函数的最大值和最小值得|A|+B=4，|A|﹣B=0，、
∵A＞0，
∴A=2，B=2，
函数的周期为（﹣）×4=π，
又∵ω＞0，
∴ω=2，
当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+，k∈Z，
∴φ=2kπ﹣，k∈Z，
∵|φ|＜，
∴φ=，
∴解析式为：y=2sin（2x+）+2．
故答案为：y=2sin（2x+）+2．
点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了学生基础知识的运用和图象观察能力，属于基本知识的考查．
15．（3分）（2011春•日照校级期末）函数的最小值是cos．
考点：余弦函数的单调性．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由≤x≤，可得≤x﹣≤，从而根据余弦函数的单调性得到 y=cos （x﹣）的最小值．
解答：解：∵≤x≤，∴≤x﹣≤，
∴y=cos（x﹣）在区间[，]上单调递减，故函数y的最小值等于cos，
故答案为：cos．
点评：本题考查余弦函数的定义域、单调性和值域，求出≤x﹣≤，是解题的关键，属于基础题．
16．（3分）（2015春•莆田校级期中）下列命题中：
（1）如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与、之一的方向相同；（2）如果、均为非零向量，则|+|与||+||一定相等；
（3）x=2时，向量=（x，1），=（4，x）共线且方向相同；
（4）≠，，则
其中假命题是（2）（4）．
考点：平面向量数量积的运算；向量的物理背景与概念．
专题：平面向量及应用．
分析：利用向量的基本概念和相关运算对四个命题分别分析解答．
解答：解：对于（1），如果非零向量与的方向相同或相反，根据向量加法的几何意义，那么的方向必与、之一的方向相同；故正确；
对于（2），如果、均为非零向量，根据向量加法的几何意义，那么|+|≤||+||；故错误；
对于（3），x=2时，向量=（x，1）=（2，1），=（4，x）=（4，2），所以它们共线且方向相同；故正确；
对于（4），≠，，则=0，则或者与垂直；故错误；
故答案为：（2）（4）．
点评：本题考查了向量的基本概念、共线、数量积等基础知识．
三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2015春•莆田校级期中）已知，求sinα﹣cosα的值．
考点：同角三角函数基本关系的运用．
专题：综合题．
分析：由tanα的值及α的范围，根据正弦、余弦函数的图象得到sinα和cosα都小于0，然后利用同角三角形函数间的基本关系切化弦得到一个关于sinα和cosα的关系式，根据sinα和cosα的平方和等于1得到另一个关系式，两关系式联立得到一个方程组，求出方程组的解即可得到sinα和cosα的值，代入所求的式子中即可求出值．
解答：解：∵，
∴sinα＜0，cosα＜0，
由，解得：，
∴．
点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握同角三角函数间的基本关系是解本题的关键，同时会根据tanα的值及α的范围，判断得到sinα和cosα都小于0．
18．（2014春•广丰县期末）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求
的值．
考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．
专题：计算题．
分析：先根据角α终边上一点P确定tanα的值，进而利用诱导公式对原式进行化简整理后，把tanα的值代入即可．
解答：解：∵角α终边上一点P（﹣4，3），
∴
∴==tanα=
点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．要特别留意在三角函数转换过程中三角函数的正负号的判定．
19．（2015春•莆田校级期中）已知||=4，||=2，且与夹角为120°求：
（1）（）•（+）
（2）|2﹣|
（3）与+的夹角．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：根据已知首先求出向量的数量积，（1）展开用向量的平方和数量积表示，代入数值计算；
（2）先求其平方，展开，利用向量的平方和数量积计算数值，然后开方求模；
（3）设与+的夹角为θ，利用数量积公式得到cosθ的值，从而求向量的夹角．
解答：解：由题意可得||2=16，||2=4，且•=||||cos120°=﹣4，
（1））（）•（+）==16﹣8+8=16；
（2）|2﹣|2=4=64+16+4=84，所以|2﹣|=2；
（3）设与+的夹角为θ，则cosθ==，又
0°≤θ≤180°，所以θ=30°，与的夹角为30°．
点评：本题考查了平面向量的数量积运算、模的求法向量的夹角求法；关键是熟练掌握数量积公式，灵活运用．
20．（12分）（2014春•嘉峪关期末）已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：（1）k+与﹣3垂直；
（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？
考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．
专题：平面向量及应用．
分析：（1）由题意可得 k+和﹣3的坐标，由 k+与﹣3垂直可得它们的数量积等于 0，由此解得k的值．
（2）由 k+与﹣3平行的性质，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k的值．再根据 k+和﹣3的坐标，可得k+与﹣3方向相反．
解答：解：（1）由题意可得 k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4），
由 k+与﹣3垂直可得（k﹣3，2k+2）•（10，﹣4）=10（k﹣3）+（2k+2）（﹣4）=0，解得k=19．
（2）由 k+与﹣3平行，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k=﹣，
此时，k+=﹣+=（﹣，），﹣3=（10，﹣4），显然k+与﹣3方向相反．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量共线、垂直的性质，属于中档题．
21．（2015春•莆田校级期中）已知y=a﹣bcos2x（b＞0）的最大值是，最小值是﹣，求函数y=﹣4asin（3bx+）的周期、最大值及取得最大值时x的值的集合．
考点：正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：根据三角函数的性质先求出a，b的值，即可得到结论．
解答：解：∵b＞0，y=a﹣bcos2x（b＞0）的最大值是，最小值是﹣，
∴，得a=，b=1，
则函数y=﹣4asin（3bx+）=﹣2sin（3x+），
则函数的周期T=，
当sin（3x+）=﹣1，即3x+=﹣+2kπ，
即x=﹣+，k∈Z时，函数y=﹣2sin（3x+）取得最大值2，
此时x的集合为{x|x=﹣+，k∈Z}．
点评：本题主要考查三角函数的周期性，最值的性质，根据条件求出a，b的值是解决本题的关键．
22．（2012秋•枣强县期末）已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），设M是直线OP上一点，O是坐标原点．
（1）求使取最小值时的；
（2）对（1）中的点M，求∠AMB的余弦值．
考点：平面向量的综合题．
专题：计算题．
分析：（1）设M（x，y），我们由M是直线OP上一点，则，求出x与y的关系，进而求出的表达式，进而根据二次函数的性质可得M点的坐标，进而求出答案．（2）根据（1）中答案，代入向量夹角公式，可得答案．
解答：解：（1）设M（x，y），则，
由题意可知，又．
所以x﹣2y=0即x=2y，所以M（2y，y），
则，
当y=2时，取得最小值，
此时M（4，2），即．
（2）∵．
∴∠AMB的余弦值为
点评：本题考查的知识点是平面向量夹角公式，共线向量，向量的夹角公式，是向量的综合应用，难度适中．。