新疆乌鲁木齐市一中2020届高三数学上学期12月第三次考试试题 文(含解析)新人教A版

新疆乌鲁木齐市一中2020届高三数学上学期12月第三次考试试题
文（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：球的表面积、体积公式，，其中为球的半径．
第Ⅰ卷(选择题60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．复数（i为虚数单位)的实部和虚部相等，则实数b的值为( )
A. 一1
B. 一2
C. 一3
D. 1
【答案】A
【解析】，因为复数（i为虚数单位)的实部和虚部相等，所以b=-1.
2．( )
A.{x|x＜-1或x＞2}
B. {x|x≤-1或x＞2}
C.{x|x＜-1或x≥ 2}
D. {x|x≤-1或x≥2}
【答案】C
【解析】，所以，所以。

3．在四边形ABCD中，=0，且，则四边形ABCD是（）
A．等腰梯形B．菱形C．矩形D．正方形
【答案】C
【解析】因为，所以，所以四边形ABCD是平行四边形，因为=0，所以∠ABC=，所以四边形ABCD是矩形
4．函数的最小正周期T= （）
A．2π B．πC．D．
【答案】B
【解析】
，所以，所以函数的最小正周期T=π。

5．右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】第一次循环：，满足条件，继续循环；
第二次循环：，满足条件，继续循环；
第三次循环：，不满足条件，结束循环，此时输出n的值为。

6．设a，b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列命题：
①若②若
③若④若
其中正确命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】①若错误，有可能；②若错误，可能平行，可能相交，a可能在内；③若错误，有可能；④若正确。

因此正确的有一个，选B。

7. 函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】易知函数的定义域，又，若函数存在与直线平行的切线，则，即，所以。

因此选B。

8. 已知的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】画出线性约束条件的可行域，由可行域知：目标函数过点取最大值，且最大值为2；过点时取最小值，且最小值为，所以的取值范围是。

9. 设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（）
A．d＜0 B．a7＝0 C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值【答案】C
【解析】因为前n项和有最大值，所以d＜0，选项A正确；因为S6＝S7，所以a7＝S7--S6=0，所以选项B正确；同时选项D也正确。

因此选C。

因为d＜0，a7＝0，所以，所以S9-S5=.
【答案】B
【解析】从点A向抛物线的准线引垂线，交抛物线与点P，此时的点P满足最小，所以点P 的纵坐标应为2，代入抛物线方程的横坐标也为2，因此选C。

11．将正方形沿对角线折成直二面角后，有下列四个结论：
(1) (2)是等边三角形
(3)与平面的夹角成60°(4)与所成的角为60°
其中正确的命题有（）
A．1个B．2个C．3个 D ．4个
【答案】C
【解析】连接AC与BD交于O点，对折后如图所示，令OC=1，则O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（0，-1，0）则=（-1，0，1），=（0，-2，0），∵，∴AC⊥BD，故（1）正确；∵，∴△ACD为正三角形，故（2）正确；∵为平面BCD的一个法向量，根据正方形的性质，易得AB与平面BCD所成角为45°，故（3）错误；=（-1，1，0），=（0，-1，-1），则，∴AB与CD所成角为60°，故（4）正确；故正确的命题为：（1）（2）（4）
12．已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M、N两点，O是坐标原点.若，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】把x=c代入双曲线方程，得，要使，需，即，两边同除以，得：，解得e=或e=（舍），因此选C。

第Ⅱ卷（非选择题90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是
【答案】
【解析】由图像知函数的周期为，所以，把点代入，得，因为，所以，所以。

14．设分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于两点，且成等差数列，则的长为．
【答案】
【解析】因为成等差数列，所以，又由椭圆的定义知：，所以。

15．已知球O的表面积为，点A，B，C为球面上三点，若，且AB=2,则球心O到平面ABC 的距离等于__________________．
【答案】2
【解析】因为球O的表面积为，，所以。

取AB的中点D，连接OD，因为，所以OD⊥面ABC，即OD为球心O到平面ABC的距离，易知。

16．在中，内角的对边分别是，若，，则
【答案】
【解析】因为，所以由正弦定理得：，又因为，所以由余弦定理得：，所以。

三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）
对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求出表中及图中的值；
（Ⅱ）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率.
18. （本小题满分12分）已知函数．
（1）若为函数的一个极值点，试确定实数的值，并求此时函数的极值；
（2）求函数的单调区间．
19.（本题满分12分）
如图，三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形.
（Ⅰ）求证：DM//平面APC；
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC；
（Ⅲ）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积.
20.（本小题满分12分）
是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，．
（Ⅰ）求、的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和。

21．(本小题满分12分）
已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．
22．（本小题满分10分）
如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G 为中点，连结AG分别交⊙O、BD于点E、F连结CE．
（1）求证：；
（2）求证：
乌鲁木齐市第一中学2020学年第一学期
2020届高三年级第三次月考
数学(文)试卷参考答案
选择题
填空题
18.解：（1）∵f（x）=2x3－3ax2+1，∴=6x2－6ax．依题意得=6－6a=0，解得a=1．
所以f（x）=2x3－3x2+1，=6x（x－1）．令=0，解得x=0或x=1．列表如下：
当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=0．
（2）∵=6x2－6ax=6x（x－a），
∴①当a=0时，=6x2≥0，函数f（x）在（－∞，+∞）上单调递增；
②当
+∞）上单调递增；
③同理可得，当a<0时，函数f（x）在（－∞，a）上单调递增，在（a，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
综上所述，当a=0时，函数f（x）的单调递增区间是（－∞，+∞）；
当a>0时，函数f（x）的单调递增区间是（－∞，0）和（a，+∞），单调递减区间是（0，a）；当a<0时，函数f（x）的单调递增区间是（－∞，a）和（0，+∞），单调递减区间是（a，0）．
19.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵M为AB中点，D为PB中点，
∴MD//AP，又∴MD平面ABC
∴DM//平面APC ……………3分
（Ⅱ）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点。

∴MD⊥PB
又由（Ⅰ）∴知MD//AP，∴AP⊥PB
又已知AP⊥PC ∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC
∴BC⊥平面APC，∴平面ABC⊥平面PAC ……………8分
（Ⅲ）∵AB=20
∴MB=10 ∴PB=10
又BC=4，
∴
又MD
∴VD-BCM=VM-BCD=………………12分
．
21．解：（1）∵焦距为4，∴c=2………………………………………………1分又∵的离心率为………………………………2分
∴，∴a=，b=2…………………………4分
∴标准方程为………………………………………6分
（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由得……………………7分
∴x1+x2=，x1x2=
由（1）知右焦点F坐标为（2，0），
∵右焦点F在圆内部，∴＜0………………………………8分
∴（x1 -2）（x2-2）+ y1y2＜0
即x1x2-2（x1+x2）+4+k2 x1x2+k（x1+x2）+1＜0……………………9分
∴＜0……………11分
∴k＜………………………………………………………………12分
经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，
∴直线l的斜率k的范围为（-∞，） (13)
22．证明：（1）连结，，
∵为的直径，∴，
∴为的直径, ∴,
∵，∴,
∵为弧中点，∴，
∵,∴,
∴∽，∴，
………………5分
（2）由（1）知，,
∴∽,∴,
由（1）知，∴．………………10分。