2020年江苏高考数学试题及答案

的一条渐近线方程为222105()x y a a -=>
的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与π
6
b n }是公比为q 的等比数列．已知数列q 的值是▲ ． 的最小值是▲ ．
22x y +
中，已知，A ，B 是圆C ：3(
0)2
P ，2
21()2x y +-=面积的最大值是▲ ．
的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒，使得，求的值．
4
cos 5
ADC ∠=-tan DAC ∠
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点；右侧曲线BO 上任一点F 到2
140
a =
，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP
与的面积分别为S1，S2，若OAB
△MAB
△S
所以平面.
AB ⊥1AB C 又因为平面,所以平面平面.
AB ⊂1ABB 1AB C ⊥1ABB 16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查
运算求解能力.满分14分.
解：（1）在中，因为，
ABC △3,2,45a c B ===︒由余弦定理，得， 2222cos b a c ac B =+-292232cos 455b =+-⨯⨯︒=所以.
5b =在中，由正弦定理， ABC △sin sin b c
B C
=
得
， 52
=
sin 45sin C
︒所以 5sin .5
C =
（2）在中，因为,所以为钝角，
ADC △4
cos 5
ADC ∠=-ADC ∠而,所以为锐角. 180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒C ∠故则. 225cos 1sin ,5C C =-=
sin 1
tan cos 2
C C C ==因为，所以，.
4cos 5ADC ∠=-23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=sin 3
tan cos 4
ADC ADC ADC ∠∠==-∠从而
. 31
tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+
∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠--
-∠⨯∠--⨯17．本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数
学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.
解：（1）设都与垂直，是相应垂足. 1111,,,AA BB CD EF MN 1111,,,A B D F 由条件知，当时， 40O'B =则. 311
40640160,800
BB =-
⨯+⨯=1160AA =由
得 21
160,40
O'A =80.O'A =所以（米）.
8040120AB O'A O'B =+=+=
422
3
328
()0.()4
t t x t t x ----+≤*令则． 3242=()(328),t t t t ∆----642=538t t t ∆-++记
64253()1),28(t t t t t ϕ-++=≤≤则恒成立，
53222062(31)(3())06t t t t t t 't ϕ-+=--<=所以在上是减函数，则，即． ()t ϕ[1, 2](2)()(1)t ϕϕϕ≤≤2()7t ϕ≤≤所以不等式有解，设解为， ()*12x x x ≤≤因此． 217n m x x ∆-≤-=≤②当时，
01t <<．
432()()11 34241f h t t t t ---=+---设， 432 = 342(41)t t t t v t +---322 ()=1212444(1)(31),v't t t t t t +--=+-令，得． ()0v t '=33
t =
当时，，是减函数；
3
3
(0)t ∈，()0v t '<()v t 当时，，是增函数． (
1)33
t ∈，()0v t '>()v t ，，则当时，．
(0)1v =-(1)0v =01t <<()0v t <（或证：．） 2()(1)(31)(1)0v t t t t =++-<则，因此．
(1)(1)0f h ---<1()m n -∉，因为，所以． 22m n ⊆［］［-，，］
217n m -≤+<③当时，因为，均为偶函数，因此也成立． 20t -≤<()f x ()g x 7n m -≤综上所述，．
7n m -≤20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及
综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．
解：（1）因为等差数列是“λ～1”数列，则，即， {}n a 11n n n S S a λ++-=11n n a a λ++=也即，此式对一切正整数n 均成立．
1(1)0n a λ+-=
若，则恒成立，故，而，
1λ≠10n a +=320a a -=211a a -=-这与是等差数列矛盾．
{}n a 所以．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）
1λ=（2）因为数列是“
”数列， *{}()n a n ∈N 3~23所以，即． 1133n n n S S a ++-=1133
n n n n S S S S ++-=-因为，所以，则
． 0n a >10n n S S +>>113113n n n n S S S S ++-=-令，则，即． 1n n n S b S +=23113
n n b b -=-221(1)(1)(1)3n n n b b b -=->解得，即
，也即， 2n b =12n n S S +=14n n S S +=所以数列是公比为4的等比数列．
{}n S 因为，所以．则 111S a ==14n n S -=21(1),34(2).n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩
（3）设各项非负的数列为“”数列，
*{}()n a n ∈N ~3λ则，即．
1
1
133311n n n S S a λ++-=33311n n n n S S S S λ++-=-因为，而，所以，则． 0n a ≥11a =10n n S S +≥>3
1311=1n n n n S S S S λ++--令，则，即．（*） 31=n n
n S S c +3311( 1)n n n c c c λ-=-≥333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥①若或，则（*）只有一解为，即符合条件的数列只有一个．
0λ≤=1λ=1n c {}n a （此数列为1，0，0，0，…）
②若，则（*）化为， 1λ>3232(1)(1)01n n
n
c c c λλ+-++=-因为，所以，则（*）只有一解为， 1n c ≥3232101n n c c λλ+++>-=1n c 即符合条件的数列只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）
{}n a
③若，则的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内， 01λ<<3232101n
n c c λλ+++=-则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t ）．
所以或．
1n n S S +=31n n S t S +=由于数列从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列有无数多个，则对应的{}n S {}n S 有无数多个．
{}n a 综上所述，能存在三个各项非负的数列为“”数列，的取值范围是．
{}n a ~3λλ01λ<<数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按
作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点． (2,1)A -11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
M (3,4)B -（1）求实数，的值；
a b （2）求矩阵的逆矩阵．
M 1-M B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，1π(,)3A ρ:cos 2l ρθ=2π(,)6
B ρ:4sin
C ρθ=0ρ≥）．
02θ≤<π（1）求，的值；
1ρ2ρ（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．
l C C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设，解不等式．
x ∈R 2|1|||4x x ++<【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．
5
，设二面角F—DE—C的大小为
个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为
（2）由得，所以． cos 2,4sin ,ρθρθ=⎧⎨=⎩
4sin cos 2θθ=sin 21θ=因为，，所以，． 0ρ≥0 2θ≤<π4
θπ==22ρ所以公共点的极坐标为． (22,)4
πC ．[选修4-5：不等式选讲]
本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．
解：当x >0时，原不等式可化为，解得； 224x x ++<203
x <<当时，原不等式可化为，解得；
10x -≤≤224x x +-<10x -≤≤当时，原不等式可化为，解得．
1x <-224x x ---< 2 1x -<<-综上，原不等式的解集为． 2|2}3
{x x -<<22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间想象能力和运
算求解能力．满分10分．
解：（1）连结OC ，因为CB =CD ，O 为BD 中点，所以CO ⊥B D ．
又AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥OB ，AO ⊥O C ．
以为基底，建立空间直角坐标系O –xyz ． {}
OB OC OA ，，因为BD =2，，AO =2，
5CB CD ==所以B （1，0，0），D （–1，0，0），C （0，2，0），A （0，0，2）．
因为E 为AC 的中点，所以E （0，1，1）．
则=（1，0，–2），=（1，1，1），
AB DE 所以． |||102|15||15||||53
cos AB DE AB DE AB DE +-=⋅⋅==<>⨯ ，因此，直线AB 与DE 所成角的余弦值为
． 1515
（2）因为点F 在BC 上，，=（–1，2，0）． 14BF BC =BC 所以． 111(,,0)442
BF BC ==- 又， 20,0DB = （,）故． 71(,,0)42
DF DB BF =+=
． 11216=9327
q -+=（2）当时，
2n ≥，① 1111312111111111113333C C C C 120(1)C C C C 39n n n n n n n p p q p q p q ------=⋅⋅+⋅⋅+⋅--=+ 111111
113322211211111111111133333333
C C C C C C C C ()(1)C C C C C C C C n n n n n q p q p q ----=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅--，② 112=93
n q --+，得． 2⨯+①②()1111124121222399333
n n n n n n n p q p q q p q -----+=+-+=++从而，又， 1112(211)3n n n n p q p q ---+-+=111312p q -+=所以，．③ 11112()1()333
1n n n n p q -+++==*n ∈N 由②，有，又， 1313()595n n q q --
=--135115q -=所以，． 1113()1595
n n q -=-+*n ∈N 由③，有，． 13111()210111()()33925
n n n n n p q =+=-+-+［］*n ∈N 故，． 311111()()109235n n n n p q --=--+*n ∈N 的概率分布
n X n X 0
1 2
P 1n n p q -- n q n p 则． *1()0(1)121(),3
n n n n n n E X p q q p n =⨯--+⨯+⨯=+∈N。