行程问题考点分析

行程问题考点分析一、什么是行程问题？
本质：路程=速度×时间
基础：相遇或追及
变化：
1. 变人：
a) 1人：平均速度（总总）
b) 2人：和差
c) 多人：每次只看两个人
2. 变路程：
a) 火车过桥
b) 环形跑道
c) 钟表问题
d) 发车问题
e) 变道
3. 变速：
a) 流水行船
b) 扶梯
c) 猎狗追兔
4. 变时间：
a) 龟兔赛跑
类别：
1. 基本型行程
2. 公式型行程
3. 比例型行程
解题思路：列等量，找差量，找比例，看整体
二、基本型行程：指基本的路程，速度和时间的关系问题
1. 简单型行程：
1) 基本公式：路程=速度×时间
2) 要点：
a) 理解路程，速度和时间的含义，会用线段表示距离，线段的方向表示行走的方向
b) 会灵活使用基本公式
2. 平均速度：
1) 基本公式：平均速度=总路程÷总时间
2) 要点：弄清楚平均速度与速度的平均的区别
3) 举例：A距离B40米，B举例C120米，小强从A走到B花了2分钟，从B 到C花了3分钟。

则A到B的速度为20米/分，B到C的速度是40米/分，从而速度的平均是30米/分，但若是求A到C的平均速度，应该用总路程160米÷5分钟=32米/分
三、公式型行程：指有固定的公式可套用的行程问题。

公式型行程的基本解题思路为找到对应的路程，速度和时间后，代入相应的公式，通过解方程的形式得到答案
1. 相遇追及问题：
1) 基本公式：路程和=速度和×相遇时间，路程差=速度差×追及时间。

2) 要点：
a) 要非常极其会灵活使用相遇和追击问题的基本公式，相遇和追及问题是后续所有的行程问题的基础
b) 会灵活使用线段图，不用角色不同色，不同阶段不同层，通过线段图来分析路程之间的关系
c) 理解相遇和追及问题的本质：相遇的本质是两人共同走了多远，追及是本质的一人比另外一人多走了多远
2. 环形跑道：
1) 基本公式：同向运动属追击问题，反向运动属相遇问题
2) 要点：
a) 理解环形跑道中，相遇或追到时所对应的路程关系
b) 掌握环形跑道多次相遇问题中路程和时间的规律
3. 火车过桥：与人过桥的区别是火车有长度，存在着车头在桥，完全在桥，车尾在桥和完全过桥四个阶段
1) 基本公式：
a) 火车过桥：完全过桥：路程=桥长+车长；完全在桥：路程=桥长-车长
b) 火车过树：路程=车长
c) 火车过人：反向：路程和=车长；同向：路程差=车长
d) 火车过火车：反向：路程和=两车长；同向：路程差=两车长；齐头：路程差=快车车长；齐尾：路程差=慢车车长
2) 要点：
a) 通过线段图来理解火车过桥问题中的路程表示，或者可以直接转化成两个人的相遇或追击问题，需要弄明白的是，人是在车尾还是在车头
b) 火车过树相当于一座长度为0的桥，路程即为车长
c) 火车过人相当于火车过一棵会动的树，路程仍然是车长，人车同向时为追击问题，人车相向时为相遇问题
d) 火车过火车相当于过一座会动的火车，路程为两车总长，同样，两车同向为追击问题，两车相向为相遇问题
4. 流水行船：船在水中运行的问题，分为顺行和逆行
1) 基本公式：
a) 顺水速度=静水速度+水流速度
b) 逆水速度=静水速度-水流速度
2) 要点：
a) 在简单的相遇或追击问题中，相遇或追及时间与水速无关
5. 扶梯问题：人在扶梯里行走中的级数时间速度关系
1) 基本公式：
a) 顺行速度=人正常行走速度+扶梯运行速度
b) 逆行速度=人正常行走速度+扶梯运行速度
c) 顺行路程：可见长度=人走级数+梯走级数
d) 逆行路程：可见长度=人走级数-梯走级数
2) 要点
a) 与相遇追及问题相联系起来：顺行可以理解为人与扶梯的相遇问题；逆行可以理解为人与扶梯的追击问题
b) 与流水行船问题相联系起来：顺行类似于顺水行船，逆行类似于逆水行船。

区别在于，流水行船中，速度一般用“米/分”来表示，其对应的是顺水或逆水的速度，相当于“总”的行船速度；而在扶梯问题中，速度一般用“级/分”来表示，其对应的是正常行走速度或扶梯运行速度
c) 与牛吃草问题相联系起来起来：牛吃草问题的解题思路是首先求生长速度，再求原有草量。

为什么呢？因为生长速度和原有草量在同一道题中的不同条件中是不变的。

扶梯问题的关键同样也是要抓住不变量，也就是扶梯运行的速度和扶梯的长度。

扶梯运行的速度相当于草的生长速度，而扶梯的长度相当于原有草量。

主要注意的是，逆行才相当于一般的牛吃草问题，而顺行则相当于牛吃草问题中草场自然衰减的情况。

另外还有一个隐含的等式关系，就是在同一情况下，人走的时间与扶梯运行的时间是相等的，这一点不要忽略
d) 在加强理解方面，强调路程和（即可见长度）=人走级数+梯走级数比强调速度和=人行速度+扶梯运行速度更加有利于小孩在做题中的运用，因为在扶梯问题中，更多的情况下使用的是级数，也就是路程概念
3) 举例：
a) 【基本题型】小强乘坐扶梯上二楼，每秒1级，走过20级后到达；每秒2级，走过30级后到达，问有多少级台阶？
【分析】扶梯问题的关键在于求出扶梯运行速度。

而要求速度，则需要时间和路程。

时间怎么来？扶梯的运行时间等于人行走的时间。

路程怎么来？扶梯运行的级数与人走的级数的和是不变的，都是可见级数。

【解答】第一步：求人的行走时间，亦即扶梯的运行时间。

情况一为
20÷1=20秒，情况2为30÷2=15秒
第二步：求扶梯的运行级数。

情况一为可见级数-20级，情况二为可见级数-30级
第三步：也是关键的一步，由于无法直接求出扶梯运行速度，这里需要运用牛吃草的思想。

时间上，情况一比情况二多运行了5秒，路程上，情况一比情况二多运行了10级，因此扶梯运行速度为2级/秒
第四步：顺行为人和扶梯的相遇问题，总台阶数=（1级/秒+2级/秒）×20
秒=60级
b) 【进阶题型】两孩子在扶梯上行走，女孩由下往上，男孩由上往下，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。

如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的3倍，问扶梯的可见级数？
【分析】相比基本题型，进阶题型的变化在于不知道人的行走速度，只知道人的速度比。

但其实解题的关键仍然是不变的：求出扶梯的运行速度
【解答】第一步：同样求时间，无法求出具体时间，则求出时间比。

男孩的速度是女孩的3倍，走的级数是女孩的2倍，因此走的时间是女孩的2/3
第二步：求路程，即级数。

情况一中，扶梯运行级数为可见级数-40级；情况二中，扶梯运行级数=80-可见级数
第三步：求速度。

在情况一和情况二合起来的运行时间内，扶梯应该运行了80-40级。

如果设女孩走的时间为3份，则男孩的时间为2份，共5份。

因此速度为8级/份时间
第四步：考虑女孩的情况，顺行为人和扶梯的相遇问题，人走了40级，扶梯走了8×3=24级，可见级数为64级
6. 发车问题：
1) 基本公式：
a) 汽车间距=汽车速度×发车时间
b) 如果行人与汽车反向行驶，可看作相遇问题：汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇时间
c) 如果是同向行驶，则可看成追及问题：汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及时间
d) 总公式：汽车间距=汽车速度×发车时间=（汽车速度+行人速度）×相遇时间=（汽车速度-行人速度）×追及时间
2) 要点：
a) 抓住汽车间距是发车问题的关键：汽车间距等于第二辆车发车时，第一辆车的行走路程，即汽车速度×发车间隔；汽车间距又等于迎面相遇问题中的相遇路程；同时汽车间距还等于从后面追上问题中的追击路程
b) 一般使用方程法
3) 举例：
a) 基本题型：
b) 进阶题型：A、B两地都发车，发车间隔一样。

小强在A、B之间走路，每隔12分钟有一辆车追上，每隔4分钟有一辆车迎面追上，求发车间隔？
法一：车速为a，人速为b，则（a-b）×12=(a+b)×4，则a=2b。

令b=1，
a=2，则间隔为12，时间12÷2=6（分钟）
法二：设A、B距离为1，则车速-人速=1/12，车速+人速=1/4，从而车速
=1/6，需要6分钟
7. 钟表问题：研究钟表中时针分针的运行速度和位置关系的问题
1) 基本公式：分针速度6度/分，时针速度0.5度/分，分针速度为时针速度的12倍，速度差为5.5度/分，多为追击问题（有特例）
2) 要点：
a) 知道时间求角度，如4:13，分针和时针夹角怎么算？首先返推到4点整，然后再计算13分种，时针和分针分别走了多少度，再进行加减
b) 时针和分针的位置关系：两针重合，两针成直线（包括重合和180度），两针成任意角度？同样回到整点，分析出整点时，两针的夹角，然后就是追击问题，速度差为5.5度，路程差为整点时的夹角（按住时针：））
c) 相遇类：时针与分针关于某点对称
d) 坏钟问题：第一类：坏表，好表。

如坏表每小时慢两分钟，晚上九点对准，早上坏表读数7:38，问正确时间为？分析：58:60，638÷58×60=660。

第二类：闹钟每小时比手表快两分钟，手表每小时比标准时间慢两分钟。

分析：手表：60，闹钟62；标准60，手表58
8. 猎狗追兔
1) 基本公式：与基本追击问题相同，不同的是速度和路程的单位
2) 要点：
3) 举例：
a) 【基本题型】兔子跑了80步后，狗开始追，狗跑3步的距离兔子需7步，兔跑9步的时间狗跑5步。

问狗跑多少步之后追上兔？
【分析】
【解答】方法一：路程差：80兔步，狗速5*7/3=35/3兔步/单位时间；兔速：9兔步/单位时间；速度差为8/3兔步/单位时间，所以追及时间为30单位时间。

所以狗跑了350兔步，即150狗步
方法二：使用步频步幅，再利用比例。

步幅：3:7，步频：9:5，则速度比为27:35
方法三：狗3步=兔7步（路程），狗5步=兔9步（时间），设相同时间，为15狗步，则狗跑了35兔步，兔跑了27兔步
四、比例型行程：指需要通过利用路程速度和时间之间的比例关系进行解答的行程问题。

当时间相同时，路程与速度成正比；当速度相同时，路程与时间成正比；当路程相同时，时间与速度成反比。

比例型行程的基本解题思路是画线段图，通过分析线段图，找出隐含的路程速度时间的关系，包括基本的线段图和柳卡图
1. 变速问题：线段图，利用速度时间路程的比例关系
1) 基本公式
2) 要点
a) 使用平均速度解决
3) 举例：
a) 【基本题型】A到B，平地36km/h，上坡28km/h，下坡42km/h。

已知全程72km，上坡下坡路程比为1:2，问需要时间？
【分析】对于分段变速问题，较好的方法是用平均速度
【解答】先算出上坡和下坡的平均速度：3÷（1/28+2/42）=36km/h，因此总的平均速度也是36km/h。

72÷36=2h
b) 【进阶题型】A、B相距180千米，甲、乙相向而行，第一次相遇点距A
地80千米；若甲按原速行驶半个小时后，提速50%，则在中点相遇，求甲走20分钟后，速度变为一半，相遇点距A多远？
【分析】
【解答】变速前，速度比为80：（180-80）=4:5；变速后速度提高50%，变为6:5。

第二次甲乙在中点相遇，因此原速和提速后的平均速度应该为5，因此提速后到相遇之间的时间应该也为半个小时。

也就是说，第二次相遇时间为1小时，所以乙速为90km/h（乙走了一半），甲的原速为72km/h。

因此甲走20分钟后，共走了（90+72）×1/3=54km，还剩126km。

甲速变为36km/h，因此相遇还需126÷（90+36）=1h。

也就是说，乙共走了1小时20分钟，对应120km，因此相遇点距A 地60km
2. 接送问题：线段图，利用速度时间路程的比例关系
1) 举例：
a) 【基本题型】小强，中强和大强一起去公园玩，只有大强有一辆自行车，且只能坐一个人。

已知，小强和中强步行速度2米/秒，大强骑车速度24米/秒，问最短多长时间达到公园？
b) 【进阶题型】小明每天有车接送上班，平时8:00从家里出发。

一日，小明7:00出发，在途中遇到班车后，坐车上班，最后提前20分钟到达公司。

问，若小明7:30出发，会提前多少分钟到达公司？
3. 多次相遇问题：线段图或柳卡图（尤其在速度有变化时）,关键在于寻找相遇规律。

相向而行，第一次相遇，甲、乙合走一个全程，以后每相遇一次多走两个全程。

相遇时间间隔相等；同向而行，每相遇一次合走两个全程
1) 基本公式：设甲乙速度比为M：N，将A、B距离分为M+N份，则同时异地相向而行时，
同时同地同向而行时
2) 要点：
a) 同时同地同向出发时，从第一次开始，每相遇一次即需合走两个全程。

任意连续两次相遇的时间间隔相等
b) 同时异地相向而行时，第一次相遇合走一个全程，以后每相遇合走两个全程。

除第一次外，之后相遇时间间隔相等
c) 类似环形跑道，每相遇一次合走一个全程，关键在于找相遇规律。

时间的规律是第一次相遇后，相遇时间间隔相等；相遇地点的规律需要通过画线段图或者柳卡图进行分析
d) 与流水行船问题结合起来，由于顺行和逆行速度不一样，线段图使用起来不方便，这种题目必须使用柳卡图进行解答
3) 举例：
a) 基本题型：A、B两地相距2400米，甲从A地，乙从B地同时出发，在A、B之间往返长跑。

甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动。

甲、乙两人在第几次相遇时距A地最近？最近距离是多少米？
【分析】基本型的多次相遇问题可通过线段图来分析相遇地点。

画线段图第一步：求速度比，设为M：N，将路程分为M+N份，则一个全程中，甲走M份，乙走N份
【解答】第一次相遇，共走一个全程，t=2400÷（300+240）=40/9（分），之后每次相遇需80/9分钟，共走了30分钟，相遇了3次
甲乙的速度比为300:240=5:4，将总路程设为5+4=9份，一份为300米，则甲每个全程走5份，乙每个全程走4份。

第一次相遇，走一个全程，甲走5分；第二次相遇，走3个全程，甲走15份；第三次相遇，走5个全程，甲走25份。

因此，第一个相遇点离A五份的距离，第二个相遇点离A三份的距离，第三个相遇点离A七份的距离，最近为第二次，三份对应800米。

b) 进阶题型：甲从A地，乙从B地同时出发，在A、B之间往返长跑。

已知甲乙的速度比为5:4，前五次相遇中，两人在第几次相遇时距A地最近？
【分析】相比上次，此题没有具体的路程，速度也换成了速度比，但实际上解题思路仍然是一样的
【解答】设全程为9，则一个全程中，甲走5，乙走4。

前五次相遇，甲分别走5,15,25,35和45，分别距离A：5,3,7,1,9。

因此，第4次距A最近。

c) 进阶题型：与流水行船相结合。

甲乙两船同时从A地同向而行，在A、B 之间往返。

已知甲船速度为28米/秒，乙船速度为20米/秒，水流速度为4米/秒，若第三次相遇和第八次相遇点相距50米，求A、B距离？
【分析】与流水行船相结合，必须考虑顺行和逆行，使用柳卡图较为方便
【解答】甲：顺行：32米/秒，逆行24米/秒；乙：顺行：24米/秒，逆行16米/秒。

速度比为32:24:24:16，即4:3:3:2，那么时间比为3:4:4:6。

画柳卡图，第三次相遇点为A、B中点，第八次相遇点距A地5/8个全程，所以1/8个全程对应50米，全程为400米。