2.3平行线的性质
七年级数学下册课件(北师大版)平行线的性质
3 如图，在平行线a，b 之间放置一块直角三角板，三角板的 顶点A，B 分别在直线a，b上，则∠1＋∠2的值为（ A ）
A．90° B．85° C．80° D．60°
4 如图，AB∥CD，点E 在线段BC 上，若∠1＝40°，
∠2＝30°，则∠3的度数是( A ) A．70° B．60° C．55° D．50°
2.3平行线的性质
第1课时
复
习
回
顾
平
条件
行
线 同位角相等
的 内错角相等 判 定 同旁内角互补
结论 两直线平行
猜想：交换它们的条件与结论，是否成立？
两直线平行
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
知识点 1 “同位角”的性质
探究 如图，利用坐标纸上的直线，或者用直尺和三
角尺画两条平行线a∥b，然后， 画一条截线c 与这两条平行线
1 如图所示，AB∥CD，AC∥BD. 分别找出与∠1相等或互补的角.
解：如图，与∠1相等的角有∠3， ∠5，∠7，∠9，∠11，∠13，∠15； 与∠1互补的角有∠2，∠4，∠6，∠8，∠10，∠12， ∠14，∠16.
2 如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知 一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设 的角度大小应为( D ) A．120° B．100° C．80° D．60°
总结
解决学具操作题，关键是要掌握学具作为几何 图形具有的性质特征，以及学具作为特殊图形中特 殊内角的度数．
例2 如图，将一张长方形的纸片沿EF 折叠后，点D，C 分 别落在D′，C ′位置上，ED ′与BC 的交点为点G，若 ∠EFG＝50°，求∠EGB 的度数．
平行线的性质教学设计]
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七年级数学（下）第二章平行线与相交线2.3《平行线的性质》教案临渭区三马路中学张伟莉一、教学目标：知识与能力：1、经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力；2、经历探索平行线特征的过程，掌握平行线的特征，并能解决一些实际问题。
过程与方法：通过测量、剪纸、推理等方法来探索平行线的特征，并能解决实际问题。
体会平行线的特征广泛性、应用性，培养学生感受生活——认知规律——运用规律的思维方法，促进分析、归纳、概括等一般能力。
情感、态度、价值观：使学生在观察、操作、推理、交流的基础上，培养学生积极探索和合作交流意识，体会学数学的快乐和用数学的意识；体会平行线的特征在现实生活中广泛的应用性和丰富的文化价值，产生对数学的亲切感，激发学生学好数学的欲望。
二、教学重点：经历探索平行线特征的过程，由两直线平行得到同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
三、教学难点：平行线特征与直线平行的条件的综合应用。
四、教法：引导探究、合作学习法。
五、学法：根据本节的教学内容，教学目标及学生已有的知识实际，在教学时，我主要采用观察、操作、推理，归纳，合作交流等方法进行教学，指导学生学会观察，善于思考，积极探索，学会与他人合作。
为了突出重点，分散难点，在教学过程中，我借助多媒体进行直观形象的演示，通过不断的提出问题，分析问题，解决问题的过程，使学生的思维沿着“问题情景——数学模型——方法归纳”的模式，从具体的问题情景中抽象出数学问题，概括平行线的特征，使学生循序渐进的获得知识和提高能力。
六、教具准备：学生准备：画好的一组平行线、剪刀、量角器等。
教师准备：制作多媒体教学课件投影片20张。
七、教学过程设计：本节课设计了五个教学环节：（一）、目标预习、自主探究（二）、合作交流、课堂展示（三）、目标检测、拓展升华（四）、颗粒归仓、感悟收获（五）、分层作业、巩固新知。
第一环节：目标预习、自主探究1、 活动内容：通过有趣的实际问题，设置悬念，激发学生的求知欲和好奇心，如图，是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A=115°，∠D=110°。
2.3平行线的判定和性质(基础题)
平行线的判定定理和性质定理[一]、平行线的判定一、填空1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ； 若∠2=∠E ，则 ∥ ； 若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ．2．若a⊥c，b⊥c，则a b ．3．如图２，写出一个能判定直线l 1∥l 2的条件： ． 4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （ ）． 5．如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。
6．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中， 同位角有 ； 内错角有 ；同旁内角有 ． 7．如图５，填空并在括号中填理由：（1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （ ）； （2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ ）；（3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ）8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件： ．9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来： ． 10．如图８，推理填空：（1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）；（2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（ ）；（4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（ ）； 二、解答下列各题11．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：E D∥CF．A CB 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A BC ED 1 2 3 图１ 图２ 4 3 2 1 5 a b 1 2 3A F C DB E图８EB AF D C 图９A D CB O 图５ 图６ 5 1 24 3 l 1 l 2 图７5 4 3 2 1 A D C B12．如图10，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4， ∠AFE = 60°，∠BDE =120°，写出图中平行的直线，并说明理由．13．如图11，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。
平行线的知识点归纳(两篇)
引言概述：平行线是几何学中一个重要的概念，它在数学和物理学等领域具有广泛的应用。
在本文中，我们将进一步归纳平行线的一些重要知识点，包括平行线的定义、性质以及平行线与其他几何元素的关系。
通过深入理解这些知识点，我们将能够更好地应用平行线的概念解决实际问题。
正文内容：1. 平行线的定义1.1 平行线的定义平行线是指在同一个平面内不相交且不重合的两条直线。
平行线可以永远延伸而不会相交。
1.2 平行线的表示方法平行线可以用符号“∥”来表示。
例如，若AB∥CD，我们可以写成AB∥CD来表示线段AB与线段CD平行。
1.3 平行线的判定方法判定两条直线是否平行有多种方法，常用的方法包括使用同位角、平行线定理以及垂线的性质等。
2. 平行线的性质2.1 平行线的夹角关系当两条平行线被一条横截线相交时，它们所成的对应角、内错角、同位角具有一些特定的关系。
例如，对应角相等、内错角互补、同位角互等等。
2.2 平行线的影子定理若一条横截线与两条平行线分别相交，那么这两条平行线上的对应线段与其所分割的横截线上的线段成比例。
2.3 平行线的平行四边形定理若一条对角线把平行四边形分成两个三角形，那么这两个三角形中的对角线之间的向量是相等的。
3. 平行线与其他几何元素的关系3.1 平行线与角度的关系平行线与角度之间有密切的关系。
例如，当平行线被一条横截线相交时，不同角对应的角度关系等。
3.2 平行线与多边形的关系平行线与多边形的性质也有一定的关系。
例如，对于平行四边形来说，两组对边是平行的。
3.3 平行线与圆的关系平行线与圆的关系也是几何学中一个重要的知识点。
例如，在圆内部的任意两条平行线都会与圆的弦垂直。
4. 平行线的应用4.1 平行线的测量在实际应用中，我们经常需要测量平行线间的距离。
通过使用测量仪器和几何定理，我们可以准确地测量平行线的距离。
4.2 平行线与平行线的相交当两组平行线相交时，我们可以利用平行线的性质推导出一些重要的结论。
2.3平行线的性质
c
d
a
3
123 1 456 789
b
如图:（1）若∠1=∠2,可以判定哪两条直线平行?根据是什么? （2）若∠2=∠M,可以判定哪两条直线平行?根据是什么? （3）若∠2+∠3=180°,可以判定哪两条直线平行?根据是什么? 解 : 1）∠1与∠2是内错角,若∠1=∠2,根据“内错 （ 角 相等,两直线平行”可得BF//CE. （2）∠2与∠M是同位角,若∠2=∠M,根据“同位 角相等,两直线平行”可得AM//BF. （3）∠2与∠3是同旁内角,若∠2+∠3=180°,根据 “同旁内角互补,两直线平行”可得AC//MD.
如图,AB//CD,如果∠1=∠2,那么EF与AB平行吗?说说你的理由. 解: 因为∠1=∠2, 依据“内错角相等,两直线平行” 所以EF//CD. 又因为AB//CD, 依据“平行于同一条直线的两条直线平行”, 所以EF//AB.
例3
如图,已知直点击页面即可演示
两条直线平行的判 定 同位角相等，两直线平行 .
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
为什么？
为什么？
平行线的性质
两直线平行，同位角相等.
简称为
两直线平行，内错角相等. 两直线平行，同旁内角互补.
◣注意 ◢
并不是所有的同位角、内错角都相等，同旁内角 都互补.只有在两直线平行的条件下才成立.
3
所以a//b.
2.如图,AE//CD.若∠1=37°, ∠D=54°,求∠2 和∠B AE的度数. 分析 因为AE//CD,由两直线平行,可得同位角相 等,内错角相等,于是可知∠ 1=∠2, ∠D= ∠BAE,而∠1, ∠D已知,所以答案可求. 解
因为AE//CD
2.3 平行线的性质
平行线的性质知识点1平行线的性质平行线的性质：性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.【典例】1.如图1，对于直线MN同侧的两个点A，B，若直线MN上的点P满足∠APM=∠BPN，则称点P为A，B在直线MN上的反射点．已知如图2，MN∥HG，AP∥BQ，点P为A，B在直线MN上的反射点，判断点B是否为P，Q在直线HG上的反射点，并说明理由．【方法总结】依据点P为A，B在直线MN上的反射点，即可得到∠APM=∠BPQ，再根据平行线的性质，即可得到∠PAB=∠PBA，经过等量代换可得∠PBA=∠QBG，所以点B是P，Q在直线HG 上的反射点．本题是新定义题，正确理解“反射点”的概念和特征，并熟练应用平行线的性质是解题的关键.【随堂练习】1．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．2．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM．（1）求证：∠ABD＝∠C；（2）如图2，在（1）问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN，①求证：∠ABF＝∠AFB；②求∠CBE的度数．3．已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点，如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有∠3+∠1＝∠2这一相等关系？试说明理由；如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．知识点2 平行线的判定与性质的综合运用两直线平行⇔同位角相等.两直线平行⇔内错角相等.同旁内角互补⇔两直线平行.“⇔”叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.【典例】1.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠A，试说明：BE∥CF．2.学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1、l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系．小明过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB=____________________．（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC、BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？（3）已知：如图3，三角形ABC，试说明：∠A+∠B+∠C=180°．【方法总结】平行线的判定是由角的关系得到两直线平行，平形线的性质是由两直线平行得到角之间的关系，他们都可以作为说理的依据.其他常见的说理依据有：已知、等量代换、对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等、平行于同一条直线的两条直线互相平行、三角形的内角和等于180°等.【随堂练习】1．阅读下列材料：已知：如图1，直线AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小冰是这样做的：证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．图1即∠BED＝∠B+∠D．请利用材料中的结论，完成下面的问题：已知：直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．（1）如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．猜想∠G的度数，并证明你的猜想；（2）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2．求证：∠FG1E+∠G2＝180°．2．先阅读下面的解题过程，再解答问题：如图①，已知AB∥CD，∠B＝40°，∠D＝30°，求∠BED的度数．解：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，因为EF∥AB，所以∠1＝∠B＝40°又因为CD∥EF，所以∠2＝∠D＝30°所以∠BED＝∠1+∠2＝40°+30°＝70°．如图②是小军设计的智力拼图玩具的一部分，现在小军遇到两个问题，请你帮他解决：（1）如图②∠B＝45°，∠BED＝75°，为了保证AB∥CD，∠D必须是多少度？请写出理由．（2）如图②，当∠G、∠GFP、∠P满足什么关系时，GH∥PQ，请直接写出满足关系的式子，并在如图②中画出需要添加的辅助线．。
北师大版七下数学2.3.2平行线的性质教案
北师大版七下数学2.3.2平行线的性质教案一. 教材分析《北师大版七下数学》2.3.2平行线的性质是学生在学习了直线、射线、线段以及平行线的基本概念之后的一个单元。
本节课主要引导学生探究平行线的性质，让学生通过观察、猜想、验证、归纳等过程，理解和掌握平行线的性质，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
教材中提供了丰富的素材，通过学生的自主探究和合作交流，使学生能够深刻理解并熟练运用平行线的性质。
二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经初步学习了直线、射线、线段等基本概念，对图形有了一定的认识。
但是，对于平行线的性质，他们可能还停留在直观的感受上，缺乏系统的理论支持。
因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，通过引导、启发、激励，让学生主动参与学习，提高他们的自主学习能力。
三. 教学目标1.理解平行线的性质，并能够熟练运用。
2.培养学生的观察能力、猜想能力、验证能力和归纳能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
4.培养学生的合作意识和团队精神。
四. 教学重难点1.重点：平行线的性质。
2.难点：平行线性质的证明和运用。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提出问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
2.探究法：学生通过观察、猜想、验证、归纳等过程，自主探究平行线的性质。
3.合作交流法：学生分组进行讨论，分享学习心得，互相学习，共同进步。
六. 教学准备1.准备相关的图形素材，如直线、射线、线段、平行线等。
2.准备黑板、粉笔等教学工具。
3.准备课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直线、射线、线段等基本概念，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示直线、射线、线段和平行线的图形，让学生观察并猜想平行线的性质。
3.操练（10分钟）教师引导学生进行小组讨论，分享各自的猜想，并尝试用已知知识验证平行线的性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师挑选一些典型的题目让学生进行练习，巩固对平行线性质的理解和运用。
2.3《平行线的性质》 课件 (北师大版) (1)
同位角相等 平行条件 内错角相等 两直线平行
同旁内角互补
复习引入：
问题1：如图， = ∠2 (已知) (1)∵ ∠1____ 同位角相等， ∴a∥b( )
= ∠3 (已知) (2)∵ ∠2____ ∴ a ∥ b ( 内错角相等， ) 两直线平行
180° (3)∵ ∠2＋∠4=____( 已知)， ∴ a ∥ b ( 同旁内角互补，两直线平行 )
∴ ∠3 =∠4 (两直线平行，内错角相等)
4
2
练一练：
1、如图、已知 1=60°、2=60°
A
3
4
C
3=78°、求4.
解: ∵1=60°、2=60°
2
1
B
D
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）
∴ 3+ 4=180°（两直线平行，同旁内角互补 ∴ 4=180°-60°=120°
角的相等或互补
同旁内角互补 两直线平行
思考:
1、判定定理与性质定理的 条件与结论有什么关系？ 2、使用判定定理时是 已知 ，说明 角的相等或互补 使用性质定理时是 已知 二直线平行 ，说明
。
同位角相等 平行特征 两直线平行
内错角相等
同旁内角互补
同位角相等 平行条件 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行
∵AB∥DE
∴∠1=∠3。 又 ∠1=∠2 ，∠3=∠4 ∴ ∠2=∠4。
（2 ）反射光线BC与EF也平行吗？
平行：
∵ ∠2=∠4
∴ BC∥EF 。 你知道理由吗？
三、随堂练习
随堂练习
1、如图所示，AB∥CD，AC∥BD。 分别找出与∠1相等或互补的角。
13
12
平行线知识点
引言概述:平行线是几何学中的重要概念，它具有广泛的应用。
在我们的日常生活中，许多事物都涉及到平行线，例如建筑设计、道路规划、电路布线等。
了解平行线的性质和应用，对于我们理解空间关系，解决实际问题具有重要意义。
本文将详细阐述平行线的知识点，分为引言概述、正文内容、总结三个部分。
正文内容:一、平行线的定义和性质1.1定义：平行线是在同一个平面上，不相交且永不相交延长的直线。
a)平行线与同一平面内的任意一条直线的交角为对顶角。
b)平行线与同一平面内的交角相等的两条直线平行。
c)平行线的两条边与同一平面内的一条直线分别相交，那么对应的内角互补。
d)平行线的两条边与同一平面内的一条直线分别相交，那么对应的外角相等。
二、平行线的证明方法2.1直角三角形的证明法：通过证明直角三角形的对边平行，可以得出直角三角形两条边上的点是平行线。
2.2使用平行线的性质：利用平行线的性质证明两条线段平行，可以通过证明其交角相等或者对应的内角互补来推断。
2.3使用反证法：通过假设两条线段不平行，然后推导出矛盾的结论，从而证明两条线段是平行线。
三、平行线的应用3.1建筑设计中的应用：在建筑设计中，平行线的概念常常用于确定建筑物的构造和设计。
例如，在绘图过程中使用平行线来绘制建筑平面图、立面图等。
3.2道路规划中的应用：在道路规划中，平行线的概念可用于确定道路的宽度和布局。
通过保持道路平行，可以提供良好的交通流畅性和安全性。
3.3电路布线中的应用：在电路布线中，平行线可以用于控制信号的传输和减小电磁干扰。
通过将平行线的路径保持一致，可以有效地减少电路中的环流和干扰。
四、平行线的相关定理4.1外角定理：如果两条平行线被一条横切线所切，那么这条横切线所对应的外角与这两条平行线的内角是互补的。
4.2内角定理：如果两条平行线被一条横切线所切，那么这条横切线所对应的内角与这两条平行线的对应内角相等。
4.3夹角定理：如果两条平行线被一条横切线所切，那么这条横切线的两边与这两条平行线之间的夹角互补。
平行线常用辅助线知识点_概述说明以及解释
平行线常用辅助线知识点概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在几何学中，平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。
对于平行线的研究，人们发现通过引入一些辅助线能够更好地理解和证明平行线的性质，从而简化许多几何问题的解决过程。
1.2 说明平行线的性质平行线具有一些重要的性质。
首先，它们具有共面性，即两条平行线存在于同一个平面上。
其次，在给定直线外，与该直线平行的直线只有唯一一条。
此外，在给定直线上，存在无数与该直线平行且互不相交的直线。
利用这些性质，我们可以快速判断两条直线是否平行，并进行相关推断和证明。
1.3 辅助线的重要性辅助线在几何推导和证明中起到了至关重要的作用。
通过合理选择和应用辅助线，我们可以将原本复杂的几何问题转化为更简单、直观且易于解决的形式。
辅助线还能够帮助我们揭示隐藏在复杂图形背后的规律和特点，并为后续分析提供有效途径。
总之，在本文中，我们将重点介绍平行线常用的辅助线知识点，并通过实例来解析其应用。
通过全面理解和熟练运用这些辅助线知识点，读者将能够更好地理解平行线的特性，并在几何学习和问题解决中获得更高的效率和成果。
2. 平行线的辅助线知识点：2.1 垂直平分线:垂直平分线是指一个线段的中垂线与另一个线段相交于垂直平分线上。
在平行线的几何证明中，使用垂直平分线可以帮助我们得到一些有用的性质和结论。
例如，如果两条平行线被一条垂直平分线所截断，则截断处所形成的各对应角相等。
2.2 角平分线:角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角划分为两个相等的角，并且其划分位置在这个角的内部。
在证明平行关系时，使用角平分线能够帮助我们找到具有特定性质的几何图形。
例如，在证明两条直线平行时，当一条辅助角平分线与已知直线及其延长线相交时，可以推导出其他相关性质。
2.3 对称线:对称线是指将一个图形折叠成两半时能完全重合的折痕所在的那根过对称中心点（通常为一条直线）。
在使用对称性进行几何证明时，对称辅助会被广泛应用。
平行线的性质
2.3平行线的性质平行线的判定与性质1.判定方法:(1) 同位角相等,两直线平行;(2)内错角相等,两直线平行;(3)同旁内角互补,两直线平行;(4)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.2.性质:(1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补.3.相同点：平行线的判定和性质研究的都是两直线被第三条直线所截的图形，可以说这个图形是它们共同的、必备的前提条件。
4.区别：平行线的性质和平行线的判定中的条件和结论恰好相反：平行线的“判定”，是为了判断两条直线是否平行，就要先研究同位角、内错角、同旁内角的数量关系，当知道了“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”时，就可以判定这两条直线平行。
它们是由“数”到“形”的判断。
平行线的“性质”，是已经知道两条直线平行时，就可以推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的数量关系，即“平行线”这种图形具有的性质。
它们是由“形”到“数”的说理。
平行公理I平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
∵a∥c，c ∥b∴a∥b。
1. 阅读填空：(1)如图，请你完成小颖和小明的说理过程：小颖：因为AD与BC是平行的，所以∠1=_____，理由是_____．小明：∠3=∠4→_____∥_____→∠A+_____=180°其中第一步的理由是_____第二步的理由是_____．2. 下列说法中，正确的是( )A.经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行B.两条直线被第三条直线所截，内错角相等C.垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D.两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则两直线平行3. 下列说法中，正确的是( )A.连接两点的线段就叫做两点的距离B.AB=BC，则点B是线段AC的中点C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行D.过直线外一点有无数条直线与这条直线垂直4. 如果直线a∥b，则下列说法错误的是( )A.a与b之间距离处处相等B.若a∥c，则b∥cC.若a⊥c，则b⊥cD.a，b被第三条直线所截的同旁内角相等5. 已知：如图所示，AB∥CD，EF平分∠GFD，GF交AB于M，∠GMA=52°，求∠BEF 的度数．6. 如图，直线a∥b，直线c与a、b相交，∠1=70°，则∠2的大小是( )A.20°B.50°C.70°D.110°7. 如图，直线a∥直线b，∠1=∠2，∠3=150°，∠4的大小( )A.60°B.40°C.50°D.30°8. 已知：如图，∠D=110°，∠EFD=70°，∠1=∠2．求证：∠3=∠B．证明：∵∠D=110°，∠EFD=70°(已知)∴∠D+∠EFD=180°∴_____∥_____又∵∠1=∠2(已知)∴_____∥_____∴_____∥_____∴∠3=∠B_____．9. 如图．已知AB∥CD，MG平分∠AMN，NH平分∠DNM，求证：MG∥NH．10. 如图，BC∥AD，∠1=∠E，若∠A=100°，求∠C的度数．11. 如图，B、C、D三点共线，CE∥AB，∠1=51°，∠2=46°，则∠A=_____°．12. 如图，直线AB∥DE，BC⊥CD，若∠1=25°，则∠2的度数是_____．13. 如果直线a∥b，直线b∥c，则直线a与c的关系是_____．14. 如图，已知AB∥DE，∠1=120°，∠2=110°，求∠3的度数．15. 如图①所示，已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：(1)试说明：OB∥AC；(2)如图②，若点E、F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．试求∠EOC的度数；(3)在(2)的条件下，若左右平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；(4)在(3)的条件下，当∠OEB=∠OCA时，试求∠OCA的度数．16. 如图所示，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由．17. 如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°，则∠BED的度数是( )A.17°B.34°C.56°D.68°18. 如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( )A.40°B.60°C.80°D.120°19. 如图，点C在∠AOB的边OA上一点，请你使用直尺和圆规，过点C作直线OB的平行线．(保留作图痕迹，不要求写画法)．20. 如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠C．(1)证明：AD∥EF；(2)猜想：∠2与∠3有怎样的关系，并说明理由．21. 如图，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，则∠A的度数为( )A.30°B.32.5°C.35°D.37.5°22. 如图，已知a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=65°，那么∠2是_____°．23. 如图，点D、E、F分别在△ABC的三边上，已知∠1=50°，DE∥AC，DF∥AB，则∠2=_____°．24. 如图，AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系是( )A.∠1+∠2+∠3=180°B.∠1+∠2+∠3=360°C.∠1+∠2-∠3=180°D.∠1-∠2+∠3=180°25. 如图，已知AB∥CD，EF∥CD，∠B=70°，∠E=135°，∠1等于_____．26. 如图，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的等量关系为_____．27.如图，已知AB∥DM，BC∥EF，探求∠B与∠D数量关系，∠AEF与∠D数量关系，并说明理由．28.一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，前进的方向仍与原来相同，那么这两次转弯的角度可以是( )A.先右转60°，再左转120°B.先左转120°，再右转120°C.先左转60°，再左转120°D.先右转60°，再右转60°29. 如图，AB∥CD，AD∥BC，若∠CBE=68°，则∠C=_____，∠D=_____．30. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．(1)如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部．试说明∠BPD=∠B-∠D；(2)将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请说明你的结论成立的理由；(3)在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)31. 如图所示，把长方形ABCD的纸片，沿EF线折叠后，ED与BC的交点为G，点D、C 分别落在D′、C′的位置上，若∠1=70°，求∠2、∠EFG的度数．32. 将一条两边沿互相平行的纸带按如图折叠，当∠1：∠2=2：3，则∠2的度数为( )A.22.5°B.45°C.67.5°D.30°33.如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的4倍少30°，则∠α的度数是( )A.10°B.138°C.10°或138°D.以上都不对34. 如图，已知AB∥CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E、F，FG平分∠CFE交AB 于点G，若∠BEF=70°，求∠AGF的度数．35. 已知：如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，∠B=60°，∠C=70°．则∠EDF=_____．36. 如图，直线a∥b，∠A=38°，∠1=46°，则∠ACB的度数是( )A.84°B.106°C.96°D.104°37. 如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°，则∠CBE的度数是( )A.17°B.34°C.56°D.68°38. 如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1=55°，求∠2的度数．39. 如图，直线a∥b，直线c与直线a，b都相交，∠1=65°，则∠2=_____°．40. 如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于_____．。
2.3平行线的性质(1)
课时课题：第二章第三节平行线的性质（一）课型：新授课授课人：姜屯中学王翠华授课日期：2013年4月1日星期一第3节课教学目标：（1）经历探索平行线性质的过程,掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算.(重点)（2）经历观察、测量、推理、交流等活动,进一步发展空间观念，能有条理地思考和表达自己的探索过程和结果，从而进一步增强分析、概括、表达能力.(难点) （3）在自己独立思考的基础上,积极参与小组活动。
在对平行线的性质进行的讨论中,敢于发表自己的看法,并从中获益。
通过学习平行线性质和判定直线平行条件的联系与区别，让学生懂得事物既普遍联系又相互区别的辩证唯物主义思想.（情感目标）教法及学法指导：平行线是最简单、最基本的几何图形,在生活中随处可见,它不仅是研究其他图形的基础,而且在实际生活中也有着广泛的应用。
平行线的性质为三角形内角和定理的证明中转化的方法提供了支撑，，也为今后学习三角形全等、三角形相似等知识奠定了理论基础，因此学好这部分内容至关重要.课前准备：制作课件,让学生收集生活中常见到的有平行线的图片，进一步认识数学来源于生活.教学过程:第一环节：复习回顾，逆向猜想活动内容：复习已学过的同位角、内错角、同旁内角的概念及两直线平行的条件。
（1）因为∠1=∠5 (已知)所以a∥b（）（2）因为∠4=∠(已知)所以a∥b（内错角相等，两直线平行）（3）因为∠4+∠=1800 (已知)所以a∥b（）活动目的:平行线的性质与判定直线平行的条件是互逆的，对初学者来说易将它们混淆，因此，复习判定直线平行的条件为后面学习性质做好准备。
活动的注意事项：利用平行线的性质与判定直线平行的条件的互逆关系自然引入新课，学生不觉得突兀，极易猜想出结论。
但因为学生在应用时非常容易混淆，因此在学生回答判定直线平行的三个条件时，可将其合理板书，以便直观地进行判定直线平行的条件与平行线的性质的对比分析，加深学生的印象。
初中数学七年级上册第五章平行线
第一节平行线的定义1.1 什么是平行线在初中数学七年级上册第五章中，平行线是一个核心概念。
平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。
这意味着这两条直线之间将永远保持固定的距离，无论它们有多长。
1.2 平行线的符号表示在数学中，我们通常使用符号“||”来表示平行线。
如果有两条线段AB和CD并且它们平行，我们可以表示为AB || CD。
第二节平行线的性质2.1 平行线的交错性质当一组平行线被一条横截线所交叉时，交叉的结果将产生一组相等的对应角。
这就是平行线的交错性质。
2.2 平行线的内错性质当一组平行线被一条横截线所交叉时，交叉的结果将产生一组内错角之和为180度的对应角。
这就是平行线的内错性质。
2.3 平行线的同位角性质当一组平行线被一条横截线所交叉时，交叉的结果将产生一组相等的同位角。
这就是平行线的同位角性质。
第三节平行线的判定定理3.1 两条直线和一条横截线如果两条直线被一条横截线所交叉，而交叉的结果产生一组相等的内错角或同位角，那么这两条直线是平行的。
3.2 一组同位角相等如果两条直线被一条横截线所交叉，而交叉的结果产生一组相等的同位角，那么这两条直线是平行的。
3.3 使用平行线判定定理我们可以使用这些平行线判定定理来判断是否两条直线是平行的。
这也是数学中实际问题中常见的一种解题方法。
第四节平行线的应用4.1 在几何形状中的应用在几何形状中，平行线的性质和判定定理经常被应用来解决角度或边长的问题。
4.2 在实际生活中的应用在建筑、工程、地理等领域，平行线的概念也具有重要的应用价值，例如在设计房屋、修建道路、绘制地图等方面。
结语初中数学七年级上册第五章的平行线的概念、性质、判定定理及应用是数学学习中的重要内容，它对学生在几何学和实际问题求解中具有重要意义。
通过深入理解和学习，同学们能够灵活运用平行线的知识解决各种数学问题和实际问题。
希望同学们能够在学习中对平行线有更深入的理解，并能够灵活运用到实际生活中。
2.3 平行线的性质
第二章
2.3 平行线的性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
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13.如图,已知AB∥CD,∠ABE=∠DCF.试说明:∠E=∠F.
解:因为AB∥CD,所以∠ABC=∠BCD, 因为∠ABE=∠DCF,所以∠EBC=∠FCB, 所以BE∥CF,所以∠E=∠F.
第二章
2.3 平行线的性质
第二章
2.3 平行线的性质
知识要点基础练综合能力提升练源自拓展探究突破练-10-
15.直线EF,GH之间有一个直角三角形ABC,其中∠BAC=90°,∠ABC=α. (1)如图1,点A在直线EF上,点B,C在直线GH上,若α=60°,∠FAC=30°.求证:EF∥GH. (2)将三角形ABC如图2放置,直线EF∥GH,点C,B分别在直线EF,GH上,且BC平分∠ABH, 直线CD平分∠FCA交直线GH于点D.在α取不同数值时,∠BCD的大小是否发生变化?若 不变,求其值;若变化,指出其变化范围.
A.58° B.42° C.32° D.28°
第二章
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知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
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9.两条平行线被第三条直线所截,则一对同位角的角平分线( B ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 10.如图,AB∥DE,则∠A+∠C+∠D=( C )
A.180°
B.270°
第二章
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知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
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3.如图,AC∥DF,AB∥EF,点D,E分别在AB,AC上.若∠2=50°,则∠1的大小是( C )
A.30° B.40° C.50° D.60° 4.如图,a∥b,c∥d,若∠1=68°,求∠2,∠3的度数.
2.3 平行线的性质
2．3平行线的性质1．理解平行线的性质；(重点)2．能运用平行线的性质进行推理证明．(重点、难点)一、情境导入窗户的内窗的两条竖直的边是平行的，在推动过程中，两条竖直的边与窗户外框形成的两个角∠1、∠2有什么数量关系？二、合作探究探究点：平行线的性质【类型一】两直线平行，同位角相等如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1＝∠2，∠3＝70°，则∠4的度数是()A．35°B．70°C．90°D．110°解析：由∠1＝∠2，可根据“同位角相等，两直线平行”判断出a∥b，可得∠3＝∠5.再根据邻补角互补可以计算出∠4的度数．∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠3＝∠5.∵∠3＝70°，∴∠5＝70°，∴∠4＝180°－70°＝110°.故选D.方法总结：此题主要考查了平行线的判定方法与性质1，关键是掌握平行线的判定定理与性质定理，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．【类型二】两直线平行，内错角相等如图，∠A＝∠D，如果∠B＝20°，那么∠C为()A．40°B．20°C．60°D．70°解析：∵∠A＝∠D，∴AB∥CD.∵AB∥CD，∠B＝20°，∴∠C＝∠B＝20°.故选B.【类型三】两直线平行，同旁内角互补如图，已知∠1＝85°，∠2＝95°，∠4＝125°，则∠3的度数为()A．95°B．85°C．70°D．55°解析：根据“对顶角相等”得到∠5＝∠1＝85°，再由“同旁内角互补，两直线平行”得到a∥b，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得到结论．如图，∵∠5＝∠1＝85°，∴∠5＋∠2＝85°＋95°＝180°，∴a∥b，∴∠3＋∠4＝180°.∵∠4＝125°，∴∠3＝55°.故选D.【类型四】平行线性质的实际应用一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝________度．解析：过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE.根据平行线的性质即可求解．过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE，∴∠BCD＋∠1＝180°.又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF＝90°，∴∠ABC＋∠BCD＝90°＋180°＝270°.故答案为270.【类型五】平行线性质与判定中的探究型问题如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD之间的两点，且∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF.(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由；(2)求出∠AFD与∠AED之间的数量关系．解析：平行线中的拐点问题，通常需过拐点作平行线．解：(1)∠AED＝∠BAE＋∠CDE.理由如下：过点E作EG∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG ∥CD，∴∠AEG＝∠BAE，∠DEG＝∠CDE.∵∠AED＝∠AEG＋∠DEG，∴∠AED＝∠BAE＋∠CDE ；(2)同(1)可得∠AFD ＝∠BAF ＋∠CDF .∵∠BAF ＝2∠EAF ，∠CDF ＝2∠EDF ，∴∠BAE＋∠CDE ＝32∠BAF ＋32∠CDF ，∴∠AED ＝32∠AFD . 方法总结：无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题分解到简单模型中，问题便迎刃而解．三、板书设计平行线的性质：性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．平行线的性质是几何证明的基础，教学中注意基本的推理格式的书写，培养学生的逻辑思维能力，鼓励学生勇于尝试．在课堂上，力求体现学生的主体地位，把课堂交给学生，让学生在动口、动手、动脑中学数学。
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2.3 平行线的性质
年级 七年级 科目 数学 班级 姓名
1、经历探索平行线性质的过程,掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算
2、体会平行线的判断与性质的区别及联系。
3、经历观察、讨论，推理、归纳等活动, 进一步发展空间观念，培养推理能力和有条理表达的能力。
1、复习已学过的同位角、内错角、同旁内角的概念及两直线平行的条件。
A 、因为∠1=∠5 (已知)
所以a ∥b （
） B 、因为∠4=∠ (已知)
所以a ∥b （内错角相等，两直线平行） C 、因为∠4+∠ =1800 (已知)
所以a ∥b （ ）
反过来，如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角又各有什么样的关系呢？
一、课本52页的“探究”部分。
如图，直线a 与直线b 平行。
（1）测量同位角∠1 和∠5 的大小，它们有什么关系？图中还有其他同位角吗？它们的大小有什么关系？ （2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？ （3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？ （4）换另一组平行线试试，你能得到相同的结论吗？
这是本节课的主体部分，具体教学时，可把该探究细分成如下几个活动： 活动1、先测量角的度数,把结果填入表内. 角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数
活动2、根据测量所得的结果作出猜想：
同位角具有怎样的数量关系?内错角具有怎样的数量关系?同旁内角呢？
活动3、验证猜测.
另外画一组平行线被第三条直线所截，同样测量并计算各角的度数,检验刚才的猜想是否成立?如果直线a
与b 不平行，猜想还成立吗?
活动4、归纳平行线的性质
性质1:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。
简称为两直线平行, 同位角 .
性质2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。
简称为两直线平行, 内错角 .
性质3:两条平行直线按被第三条线所截,同旁内角互补。
简称为两直线平行, 同旁内角 .
活动5、运用与推理
你能根据性质1,说出性质2,性质3成立的理由吗? 因为a ∥b. 所以∠1=∠5 ( ) 又因为∠1=∠_____(对顶角相等)
所以∠4=∠5,
类似地,对于性质3,你能说出道理吗?
问题1：如图2.3—1，直线a ，b 被直线c 所截， 当∠1=∠2时，你能结合图形用推理的方式 来说明a ∥b 吗？
（2）若∠2+∠3=180°呢？
问题2： 如图2.3—2 ：
（1）若 ∠1 = ∠2，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ （2）若∠2 = ∠M ，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ （3）若 ∠2 +∠3 =180° ，可以判定哪两条直线平行？ 根据是什么？
问题3：如图2.3—3， AB ∥CD ，如果 ∠1 =∠2，那么 EF 与 AB 平行吗？说说你的理由．
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我们自学 我们快乐
我们合作 我们收获
2.3—3
2.3-1 a b
c 1 3
2
2.3—2
我们自主，我们快乐！我们合作，我们收获！我们探究，我们提升！ 我们自主，我们快乐！我们合作，我们收获！我们探究，我们提升！
通过上面的应用，大家能谈一谈今天学习的平行线的性质和上一节判定直线平行的条件有什么不同？ 请填写下面的表格，加以对比。
总结：
同位角相等
两直线平行 内错
角相等
同旁内角互补 归纳：
条件：角的关系线的关系 性质：线的关系
角的关系
1、如图是一块梯形铁片的残缺部分,量得∠A=65°,∠B=80°, 梯形另外两个角分别是多少度?
2、问题1：如图，选择合适的内容填空。
（1） 因为AB//CD
所以∠1=∠2（ ） （2） 因为 ∠3＝∠1
所以 // （同位角相等，两直线平行） （3） 因为∠1＋ ∠ ＝180
所以AB// CD （ ）
1、如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同， 第一次拐的角∠B 是130°，第二次拐的角∠C 是多少度？
2、如图，平行直线AB,CD 被直线EF 所截，分别交直线AB,CD 于点G 、M 。
GH 和MN 分别是∠EGB 和∠EMD 的角平分线。
问：GH 和MN 平行吗？
条件
结论
平行线的性质
判定平行的条件
一课一练 巩固提升
检测反馈 培养能力
我们拓展 我们提升
条件
性质。