广东省2024年普通高中合格性学业水平考试数学模拟数学试题一

一、单选题
1. 在棱长为2的正方体
中，点，分别是线段
，
（不包括端点）上的动点，且线段
平行于平面，
则四面体
的体积的最大值为（ ）
A ．2
B
．C
．D
．
2. 若集合
，则集合可能为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
3.
设
是定义域为的奇函数，且
，当
时，
，
.将函数
的正零点从小到大排序，则
的第4个正零点为（ ）
A
．B
．C
．D
．
4.
已知变量关于的回归方程为
，若对
两边取自然对数，可以发现与线性相关．现有一组数据如下表所示：
1234
5
则当
时，预测的值为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
5. 函数
在区间（
，
）内的图象是( )
A
．B
．C
．D
．
6. 若，且a 为整数，则“b 能被5整除”是“a 能被5整除”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7.
已知
，则
（ ）
A
．B
．C
．
D
．
8.
已知函数
满足函数
恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
9. 已知P
为
所在平面内一点，且满足
，
，则
A
．B
．C
．D
．
10. 已知数列
的首项，且，，则满足条件的最大整数
（ ）
A ．2022
B ．2023
C ．2024
D ．2025
11.
在区间
与
内各随机取1个整数，设两数之和为
，则
成立的概率为（ ）
广东省2024年普通高中合格性学业水平考试数学模拟数学试题一
二、多选题
A
．B
．C
．D
．
12.
如图，在正四棱柱中，
是线段
上的动点，有下列结论：
①；
②
，使
；
③三棱锥体积为定值；④三棱锥
在平面
上的正投影的面积为常数．
其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①③
C ．②③④
D ．①④
13. 已知
，分别为随机事件A ，B 的对立事件，
，
，则（ ）
A
．
B
．
C ．若A ，B
独立，则
D ．若A ，B
互斥，则
14.
已知非常数函数
及其导函数
的定义域均为R ，若
为奇函数，
为偶函数，则（ ）．
A
．B
．C
．D
．
15. 我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高.“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为
实现农村富强目标而努力
.年
年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如图所示.根据下面图表，下列说法正确
的是（
）
A ．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，城镇比农村的大
B ．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大
C ．年该市农村居民年人均可支配收入比年有所下降
D ．年该市农村居民年人均可支配收入比年有所上升
16. 若直线
与两曲线
、
分别交于
、
两点，且曲线
在点处的切线为
，曲线
在点处的切线为，则下列结
论正确的有（ ）
A ．存在
，使
B ．当
时，取得最小值
三、填空题
四、填空题
五、解答题
C
．
没有最小值
D
．
17. 蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈
六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D 在同一水平面上的A ，B
两点，测得
米，
，
，
，则蜚英塔的高度
是_______
米．
18. 在复平面内，复数
所对应的点的坐标为
，则
_____________.
19.
已知
、
分别为椭圆的左、右焦点，
为椭圆上的动点，点
关于直线的对称点为
，点关于直线的对称点为
，则当
最大时，
的面积为__________.
20. 如图，在棱长为2的正方体
中，点
是侧面内的一个动点．若点满足
，则的最大值
为__________，最小值为__________
．
21.
椭圆
的左、右焦点分别为，
，过焦点的直线交椭圆于
，
两点，则
的周长为______
；若，两点的坐标分
别为
和
，且
，则
的内切圆半径为______.
22. 计算求值：(1)
；
(2)已知，均为锐角，
，
，求
的值．
23. 某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点，之间的距离，如图，
处为码头入口，处为码头，
为通往
码头的栈道，且，在B 处测得
，在处测得
（
均处于同一测
量的水平面内）
(1)求两处景点之间的距离；(2)
栈道
所在直线与
两处景点的连线是否垂直？请说明理由.
六、解答题
七、解答题
八、解答题
九、解答题
24. 1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能
尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组
，
，…，
，并整理得到如图频率分布直方
图：
(1)求其中阅读量小于60本的人数；(2)已知阅读量在
，
，
内的学生人数比为2:3:5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在
内的学生中随机
选取3人进行调查座谈，用表示所选学生阅读量在
内的人数，求的分布列和数学期望；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．
25. 已知.
(1)求不等式的解集；(2)
令
的最小值为
，若正数
满足
，证明：
.
26. 如图，在四棱锥P A BCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD
的中点．
（1）求证：BD ⊥平面PAC ；
（2）若∠ABC ＝60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ．
27. 在一次猜灯速的活动中，共有20道灯谜，甲同学知晓其中16道灯谜的谜底，乙同学知晓其中12道灯谜的谜底，两名同学之间独立竞猜，
假设猜对每道灯谜都是等可能的.
(1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率；(2)任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率.
28.
已知等比数列的前n 项和为
，，
.
(1)求；
(2)若数列的前n项和为，，且，试写出满足上述条件的数列的一个通项公式，并说明理由.。