大一高数课件第八章8-1-1多元函数的基本概念

故f(x,y) 在 (0,0点) 极限不存在 .
确定极限不存在的方法：
（1） 令 P( x, y)沿 y kx 趋向于 P0( x0, y0)，若极限值与k 有 关，则可断言极限不存在；
（2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x, y)存在，但两者不相
x x0 y y0
等，此时也可断言 f ( x, y)在点 P0( x0, y0)处极限不存在．
等都是二元初等函数
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
一般地，li求 mf(P)时，如f果 (P)是初等函
PP0
数，且 P0 是f(P)的定义域的内f点 (P)， 在则 点P0处连续，于 lim是f(P) f(P0).
PP0
例７ 解
求 lim xy11. x0 xy
解
3 x
x2 y2
y2 0

1 2
x
x2 y2

y2
4
所求定义域为
D {x ,( y ) |2 x 2 y 2 4 ,x y 2 }.是有界闭区域
例如 zlnx (y) 的定义域
y
D (x ,y )x y 0
当 x取遍 D上一切点时，得一个空间点集
{( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称为二元函数的 图形.
二元函数的图形 通常是一张曲面.
例如, zsinxy 图形如右图.
例如, x2y2z2a2
左图球面. D{x (,y)x2y2a2}.
单值分支: z a2x2y2 za2x2y2.
z
o
y
x
三、多元函数的极限
定义1 设函数 zf(x,y)的定义域为 D , P 0(x0,y0)是 D 的内点或边界点，如果 P以任何方式无限趋近于 P0 时，
函数的对应值总是无限趋近于某一个确定的常数 A ,
则称A为函数zf(x,y)当 xx0 yy0 时的极限
例如， {x (,y)|1x2y24 } 有界闭区域；
y
{x ,(y )|x y 0 }
无界开区域．
o
y
o
x
x
（3）n维空间
设 n为取定的一个自然数，我们称 n 元数组
( x1, x2 ,, xn ) 的 全 体 为 n 维 空 间 ， 而 每 个 n 元 数 组
( x1, x2 ,, xn )称为n维空间中的一个点，数 xi 称为该点的
0, , 当 0(x0 )2(时y ，0 )2
(x2y2)sinx2 1y20 原结论成立．
例3 求极限
lim
x0
sin( x2
x
2 y) y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x2
x
2 y) y2
y0
xl im 0sixn2x(y2y)
x2y x2y2,


连通的开集称为区域或开区域． 例如，
{x (,y)|1x2y24}. 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如， {x (,y)|1x 2y24 }.
y
o
x
y
o
x
对 于 点 集 E 如 果 存 在 正K数， 使 一 切 点 PE与某一定A点间的距离AP不超过K， 即 AP K 对 一 切PE 成 立 ， 则 称 E 为 有 界 点 集 ， 否 则称为无界点集．
记为 limf(x,y)A 或 f(x ,y ) A( 0 )
xx0
yy0
这里 |P0P|
定 义 1 设 函 数 z f ( x, y) 的 定 义 域 为 D, P0( x0 , y0 ) 是
D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数 ， 总存在正数 ，使得对于适合不等式 0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的一切点，
y0
原式 lim xy11 lim
x0x(y xy11) x0
y0
y0
1 xy 1 1
1. 2
五、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念 多元函数连续的概念
（注意趋近方式的任意性）
闭区域上连续函数的性质
思考题
若点(x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0, y0)时，函数 f ( x, y)都趋向于 A，能否断定
利用点函数的形式有 n元函数的极限
定义 2 设n元函数 f (P)的定义域为点集 D, P0是其内
点或边界点，如果对于任意给定的正数 ，总存在正数
，使得对于适合不等式0 | PP0 | 的一切点 P D，
都有 | f (P) A | 成 立，则称 A 为 n 元函数 f (P) 当
第i 个坐标.
说明： n维空间的记号为 R n ;
n维空间中两点间距离公式
设两点为 P (x1,x2, ,xn),Q (y1,y2, ,yn),
|P | ( y Q 1 x 1 ) 2 ( y 2 x 2 ) 2 ( y n x n ) 2 .
特殊地当 n1时,2，,3便为数轴、平面、空间两点间的距
值或有的极限不存在，则可以断定函数极限不存在 .
例4. 讨论函数
f
(x,
y)
xy x2 y2
在点 (0,0的)极限.
解: 设 ห้องสมุดไป่ตู้(x沿,y直) 线 趋y于k点x , (0,0) 则有
xl im 0 f(x,y)xl im 0x2kxk22x2

1
k k
2
ykx
k值不同极限不同 !
是无界开区域
zlnxy的定义域
o
x
D (x ,y )x y 0 不是区域
（2） 二元函数 zf(的x,图y)形
设函数 z f ( x, y)的定义域为 D，对于任意取定的
P( x, y) D，对应的函数 z f ( x, y)，这样，以 x为横坐
标、 y为纵坐标、 z 为竖坐标在空间就确定一点 M( x, y, z)，
（1）定义中 P的P方0 式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 limf (x, y); xx0 yy0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例2 求证 xl im 0(x2y2)sinx2 1y20
y0
证 (x2y2)sinx21y20 x2y2sinx21y2 x2 y2
又如, 函数 f(x,y)x21y21 在圆周 x2y2 1 上间断.
注（1） 如果函数在 D上各点处都连续, 则称此函数在 上D
连续 （2）二元连续函数是一个无孔无缝的曲面
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域 上D的多元连续函数，在 上至D少取得它
的最大值和最小值各一次．
x x0 yy0
则称函数 f(x,y) 在点 P0(x0,y0) 处连续.
设 P0是函数 f (P)的定义域的内点或边界点，如果 f (P) 在点 P0处不连续，则称 P0是函数 f (P)的间断点.
例如, 函数
f(x,y)x2xyy2, 0 ,
x2y20 x2y20
在点(0,0极) 限不存在, 故 (0,为0)其间断点.
原因为若取 x y2,
f(y2,y)(y4y6yy24)2
1. 4
一、 填空题:
练习 题
1、 若 f ( x, y) x 2 y 2 xy tan x ,则 f (tx, ty)=____. y
2、 若 f ( x, y) x 2 y 2 ,则 f (2,3) __________; 2 xy
D称为该函数的定义域，x, y 称为自变量，z称为因变量
数集 W z z f ( x ,y ) ( x , ,y ) D 称为函数的值域
zf(x,y)在 (x0,y0) 点的值记为
zxy xy00或f(x0,y0)
例1 求
f(x,y)arc的s3定 in义x2(域．y2) xy2
P P0时的极限，记为 lim f (P) A.
P P0
四、多元函数的连续性
定义3 设 n元函数 f (P) 的定义域为点集 D, P0 是其内点或 边界点且 P0 D，如果 lim f (P) f (P0)则称n元函数 f (P)
P P0
在点 P0处连续.
对二元函数 f(x,y) ，如果 limf(x,y)f(x0,y0)
与点 P0( x0 , y0 )距离小于 的点 P( x, y)的全体，称为点 P0的 邻域，记为U (P0 , )，
U(P0,) P |P0| P
( x , y ) |( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 . P 0
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成
都 有 | f ( x, y) A | 成 立 ， 则 称 A 为 函 数 z f ( x, y) 当
x x0， y y0时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明：
即为开集．
P
E
如果P点 的任一个邻域内 于E既 的有 点属 ， 也有不属 E的 于点（P点 本身可以E属 ，于 也 可以不属 E）于，则P称 为E的边界点．
P
E的边界点的全体 E的 称边 为界．
E
设 D 是开集．如果对D于内 任何两点，都可用折连线结起来， 且该折线上的点都属D于 ，则称 开集D 是连通的．
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（1）二元函数的定义 设D是平面上的一个点集，如果对于每个点 P( x, y) D，
变量 z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z 是变量
x, y的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f (P)）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n元函数统称为多元函数.
离．
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U ( P 0 ,) P |P 0 | , P R n
内点、边界点、区域等概念也可定义．
二、多元函数的概念
r
引例: 圆柱体的体积
Vr2h, (r,h )r 0 ,h 0
h
定量理想气体的压强
p RT V
(R为常数, ） ( V ,T )V 0 ,T T 0
（2）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得 两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任 何值至少一次．
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限 次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示 的多元函数叫多元初等函数
例如
z

x2 x 1 y2
y
zsix ny() zln 1x (y)
y0
其中
lim
x0
sin( x
x2 2y
y
)
y0
u x2y lim sin u 1,
u0 u
x2y x2 y2
1x 2
x 00,
lxim0sxi2n(x2yy2) 0. y0
若当点 P(x,y以) 不同方式趋于 P0(x0,y0)时, 函数趋于不同
lim f (x, y) A？
( x, y)( x0 , y0 )
思考题解答 不能.
例
f(x,y)(xx23yy24)2, (x,y) (0,0) 取 ykx,
f(x,kx)(xx23kk42xx42)2 x 00
但是 lim f不(x存,y在) .
(x,y) (0,0)
U(P0).
o
点 P0的去心邻域记为 U(P0)P0P0Pδ
（2）区域
设E是平面上的一P个 是点 平集 面， 上的
一个点．如果 P的 存某 在一 点U 邻(P域 )E，
则称 P为E的内. 点E的内点属E于.
P
E
如果点集 E的点都是内点， 则称E为开集 .
例如， E 1{x (,y)1x2y24}
第八章 多元函数微分法 及其应用
一元函数微分学 推广
多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
第八章
第一节 多元函数的基本概念
一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
一、多元函数的概念
（1）邻域
设 P0( x0 , y0 )是 xoy平面上的一个点， 是某一正数，