山西省运城市景胜中学2021-2022高一数学下学期期末模考试题

山西省运城市景胜中学2021-2022高一数学下学期期末模考试题
一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分，）
1. 若角的终边过点，则的值为( )
A. B. C. D.
2. 已知，则
A. B. C. D.
3. 在中，若，，，则）
A. B. C. D.
4. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，成等差数列，，，成等比数列，
则
A. B. C. D.
5. 已知等差数列中，＝，前项的和等于前项的和，若＝，则＝
A. B. C. D.
6. 若实数，满足，则＝的最大值为（）
A. B. C. D.
7. 如图是函数＝在区间上的图象，为了得到＝的图象，只需将函数的图象上所有的点（）
A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
A. B. C. D.
9. 设，满足条件若目标函数的最大值为，则的最小值为（）
A. B. C. D.
10. 如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于，的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
11. 若函数在上有两个零点，则的取值范围是
A. B. C. D.
12. 一辆邮车从地往地运送邮件，沿途共有地，依次记为，，…（为地，为地）．从地出发时，装上发往后面地的邮件各件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各件，记该邮车到达，，…各地装卸完毕后剩余的邮件数记为＝,…,．则的表达式为（）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）
13. 点和在直线＝的两侧，则实数的取值范围是________．
14. 记为数列的前项和，，则_______.
15. 已知是单位向量，且满足，则向量在方向上的投影是______．
16. 已知函数的周期为，当时，函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是________．
三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分，）
17.(10分) 设等差数列的前项和为，已知，．
若数列满足：，求数列的前项和.
18.(12分) 在锐角中，角，，所对的边分别是，，，且．
（1）求角的大小；
（2）求的范围．
19.(12分) 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
证明：；
若的面积，求角的大小．
20.(12分) 已知，且，求：
的最小值；
的最小值．
21.(12分) 设数列中＝，＝，且数列，，…，，…，是以为公比的等比数列．（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
22.(12分) 已知函数.
求函数的最小正周期及单调递增区间；
在中，角所对的边分别为，且，求面积的最大值.
参考答案与试题解析
景胜中学2021--2021度第二学期期末模考（6月）
高一数学
一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）
1.
【答案】
C
【解答】
解：∵ 角的终边过点，
∴ 根据三角函数的定义知
，
故选．
2.
解：，
.
故选.
3.
【答案】
A
【解答】
解：∵ 在中，，，
∴ 由正弦定理可得，
∴ .
故选.
4.
【答案】
A
【解答】
解：由题意可得，，成等差数列，可得，
，，成等比数列，
，
由正弦定理可得，
∴ ,
∴ ，
∵ ，
∴ .
故选．
5.
【答案】
B
【解答】
设等差数列的公差为，＝，前项的和等于前的和，＝，则＝，＝，
解得＝．
6.
【答案】
D
【解答】
画出实数，满足可行域，
由图可知目标函数＝经过点时取得最大值．
D
【解答】
根据函数＝在区间上的图象，
可得＝，，∴ ＝．
再根据五点法作图，＝，求得，故函数＝．
故把的图象向右平移个单位长度，可得＝的图象；
再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，可得＝的图象，8.
【答案】
C
【解答】
解：设，则对称轴为，
若，即时，则在，上是减函数，
应有，
若，即时，则在，上是增函数，
应有恒成立，
故，
若，即，
则应有恒成立，
故，
综上，有．
故选.
9.
【答案】
D
【解答】
解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线过直线与直线的交点时，目标函数取得最大值，
∴ ，即，
∴ .
当且仅当时，的最小值为.
故选D．
10.
【答案】
C
【解答】
∴ ，
所以，
∵ 与共线且方向相反
∴ 当大小相等时点乘积最小，
由条件知当时，
最小值为.
故选.
11.
【答案】
C
【解答】
解：，
则当，
，又在上有两个零点，
，解得.
故选.
12.
【答案】
D
【解答】
根据题意，该邮车到第站时，一共装上了……件邮件，
需要卸下……件邮件，
则，
二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）
13.
【答案】
【解答】
由题意点和在直线＝的两侧
∴
即
解得
14.
【答案】
【解答】
解：由，
得，
两式相减得，
即，
所以，
由，
得，所以，
故答案为：.
15.
【答案】
解：∵ ，
∴ ，
∴
，
∴ .
又∵ ,
∴ 向量在方向上的投影为：.
故答案为：.
16.
【答案】
【解答】
解：．
因为，所以，
所以．
因为，所以，
所以，
由得，
即的图象与直线恰有两个交点，
结合图象（图略）可知，即．
故实数的取值范围是．
故答案为：．
三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分）
17.
【答案】
解：设数列的公差为，
由，得，
又．
解得，，
因此的通项公式是：.
由知
，
所以
．
【解答】
解：设数列的公差为，
由，得，
又．
解得，，
因此的通项公式是：.
由知
，
所以
．
18.
【答案】
解：（1）因为，
所以，
又，
所以，可得：，
因为是锐角三角形，
所以，，，
（2）因为，
所以，，
因为是锐角三角形，
所以，的范围．
【解答】
解：（1）因为，
所以，
因为，
所以，
又，
所以，可得：，
因为是锐角三角形，
所以，，，
（2）因为，
所以，，
因为是锐角三角形，
所以，的范围．
19.
【答案】
证明：∵ ，
∴ 由正弦定理得，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∵ ，是三角形中的角，∴ ，
∴ ；
∵ 的面积，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，或，
∴ 或．
【解答】
证明：∵ ，
∴ 由正弦定理得，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∵ ，是三角形中的角，
∵ 的面积，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，或，
∴ 或．
20.
【答案】
解：∵ ，且，
∴ ，
∴ ，∴ ，
当且仅当时取等号，
故的最小值为；
由，得：，
又，，
∴
，
当且仅当时取等号，
故的最小值为．
【解答】
解：∵ ，且，
∴ ，
∴ ，∴ ，
当且仅当时取等号，
故的最小值为；
由，得：，
又，，
∴
，
当且仅当时取等号，
故的最小值为．
21.
【答案】
数列，，…，，…，是以为首项，为公比的等比数列，可得＝，
可得＝
＝＝；
由＝，可得数列为首项为，为公比的等比数列，
可得前项和．
【解答】
数列，，…，，…，是以为首项，为公比的等比数列，可得＝，
可得＝
＝＝；
由＝，可得数列为首项为，为公比的等比数列，
22.
【答案】
解：
，
所以函数的最小正周期为. 令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
由，得，
又，所以，解得.
由，得，
即，
亦即，当且仅当时等号成立. 从而，
所以面积的最大值为.
【解答】
解：
，
所以函数的最小正周期为. 令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
由，得，
又，所以，解得.
由，得，
即，
亦即，当且仅当时等号成立. 从而，
所以面积的最大值为.。