实变函数度(A)(解答)

华中师范大学 2006 –2007 学年第一学期
期末考试试卷（A 卷）（解答）
课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师
判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。

共5小题，每题3分，共
5×3=15分）
1、可数个可数集的并集是可数集。

（ 对 ）
2、可测集E 上的非负可测函数必Lebesgue 可积。

（ 错 ）
3、R n 上全体Lebesgue 可测集所组成的集类 具有连续势。

（ 错 ）
4、非空开集的Lebesgue 测度必大于零。

（ 对 ）
5、若()n f x （1n =，2，）
和()f x 都为可测集E 上的可测函数，且lim ()()n n f x f x →∞
=，..a e E ，则()()n f x f x ⇒，x E ∈。

（ 错 ）
二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分)
1、单调收敛定理（即Levi 定理）
答：设E 是Lebesgue 可测集，()n f x (1n =，2，)为E 上的非负可测函数，
若{()n f x }是单调递增的，记()lim ()n n f x f x →∞
=，则lim
()()n n E
E
f x dx f x dx →∞
=⎰
⎰。

2、R n
中开集的结构定理
答：R n
中的任一非空开集总可表示成R n
中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。

（或R n
中的任一开集或为空集或可表示成R n
中至多可数个互不相交的半开半闭区间的
并。

）
3、R n
中的集合E 是Lebesgue 可测集的卡氏定义（即C .Caratheodory 定义）
答：设n E R ⊂，如果对任意n
T R ⊂，总有
***()()c m T m T E m T E =⋂+⋂
则称E 为R n 中的Lebesgue 可测集，或称E 是Lebesgue 可测的。

4、F .Riesz 定理（黎斯定理）
答：设E 为Lebesgue 可测集，()n f x (1n =，2，)和()f x 都是E 上的几乎处处有
限的可测函数，
如果()()n f x f x ⇒ x E ∈，则存在{()n f x }的一个子列{()k n f x }，使得
lim ()()k n k f x f x →∞
=..a e 于E 。

5、有界闭区间[,]a b 上绝对连续函数的定义
答：设()f x 是定义在有界闭区间[,]a b 上实函数，如果0ε∀>，存在0δ>，使得对[,]a b 内任意有限个互不相交的开区间(,)i i αβ 1i =，2，
，n ，只要它们的总长
1
()n
i
i i β
αδ=-<∑，总有
1
()()n
i i i f f βαε=-<∑。

则称()f x 是有界闭区间[,]a b 上绝对连续函数。

三、计算题（共1题，共1×10 = 10分）
设0D 为[0,]π中的零测集，300
sin ,(),x x x D f x e x D ∉⎧⎪=⎨∈⎪⎩ ，求
[0,]
()d f x x π⎰。

解：由题设()sin f x x =，..a e 于[0,]π，而sin x 在[0,]π上连续，
于是由积分的惟一性和L 积分与R 积分的关系得
[0,]
[0,]
()d sin d ()sin (cos )
2f x x x x R xdx x π
π
ππ===-=⎰
⎰
⎰。

四、解答题（共6小题，每题10分，共6×10 = 60分）
1、设F 为R n
中的F σ集，证明：必存在R n
中的一列单调递增的闭集1{}k k F ∞
=，使得
1
k k F F ∞
==⋃。

证明：因为F 为R n 中的F σ集，所以一列闭集1{}k k F ∞=，使得
1
k k F F ∞
==⋃
取1
k
k i i F F ==⋃，由闭集的性质知k F 是闭集，且{k F }单调递增
1
11
1
()k k i k k k i k F F F F ∞∞∞
====⋃=⋃⋃=⋃=。

2、证明：R n 中互不相交的开区间所构成的集族必为至多可数集。

证明：记E 为R n 中互不相交的开区间所构成的集族，对任意I E ∈，由有理点的稠密性，I 中必存在有理点，取其中的一个有理点记为I r I ∈，并记{}n I B r I E Q =∈⊂，于是
B 必为至多可数集。

作E 到B 的映射ϕ如下：
:()I
E B
I I r ϕϕ→→=
由于E 中任意两个不同的1I 和2I 不相交，所以12I I r r ≠，于是ϕ是E 到B 的单射（实际上还是一一映射），所以 n
E B Q ≤≤，故E 也是至多可数集。

3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值函数，且()f x 在(,)-∞+∞上的任一有限区间上都可测，则()f x 在(,)-∞+∞上也可测。

证明：因为 1(,)[,]n n n ∞
=-∞+∞=⋃-，而()f x 是[,]n n -上的可测函数，
所以 由可测函数的性质得()f x 在(,)-∞+∞上也可测。

4、用Fubini 定理证明：若(,)f x y 为2
R =(,+)(,+)-∞∞⨯-∞∞上的非负可测函数，则
d (,)d d (,)d x y
x f x y y y f x y x +∞+∞+∞=⎰
⎰⎰
⎰。

证
明
：
记
00{(,)
}{(,)
}
0x y D x y x y y x
y x ≤<+∞≤<+∞==≤≤≤≤+∞
，
令
(,),(,)(,)0,
(,)f x y x y D
F x y x y D ∈⎧=⎨
∉⎩，
由题设易知(,)F x y 也是2R 上的非负可测函数，于是，由非负可测函数的Fubini 定理
2
d (,)d d (,)d (,)d d x R x f x y y x F x y y F x y x y +∞+∞+∞-∞
-∞
==
⎰
⎰⎰
⎰
⎰
d (,)d d (,)d y
y F x y x y f x y x +∞
+∞
+∞+∞-∞
-∞==⎰
⎰
⎰⎰。

5、设E 是R n
中的可测集，若（1）1
k k E E ∞
==⋃，其中k E 为可测集，12E E ⊂⊂
；
（2）()f x ，()n f x (12)n =都是E 上的可测函数，且lim ()()n n f x f x →∞
= ..a e 于E ；
（3）存在E 上的Lebesgue 可积函数()F x ，使得n ∀，()()n f x F x ≤ ()x E ∈。

证明：()f x 在E 上也Lebesgue 可积，且 lim
()()n
n n E E
f x dx f x dx →∞
=⎰⎰。

证明：记()()()n n n E f x f x x χ=⋅，由题设知lim ()()n n f x f x →∞
= ..a e 于E （事实上x E ∀∈，
存在0n ，当0n n ≥时，总有n x E ∈，从而()1n E x χ=，于是()()()()n n n E n f x f x x f x χ=⋅=。

） 又 ()()()()()n n n E n f x f x x f x F x χ=⋅≤≤，()F x 在E 上Lebesgue 可积 所以 由Lebesgue 控制收敛定理，并注意到
()()()()n n
n n E n E
E
E f x dx f x x dx f x dx χ=⋅=
⎰
⎰⎰
可
得
lim ()lim ()()n
n n n n E E
E
f x dx f x dx f x dx →∞
→∞
==⎰⎰⎰。

6、设E 是Lebesgue 可测集，()n f x (12)n =，()f x 都是E 上的Lebesgue 可积函数，
若
lim ()()n n f x f x →∞
= ()x E ∈，且lim ()d ()d n n E
E
f x x f x x →∞
=⎰⎰，
证明：（1）()()()()()n n n F x f x f x f x f x =+--在E 上非负可测；
（2）用Fatou 引理证明：lim
()()d 0n n E
f x f x x →∞
-=⎰。

证明：（1）由可测函数的运算性质得 ()()()()()n n n F x f x f x f x f x =+--是E 上可测函数，
又 ()()()()n n f x f x f x f x -≤+，从而()0n F x ≥，
所以 ()()()()()n n n F x f x f x f x f x =+--在E 上非负可测。

（2）由题设lim ()2()n n F x f x →∞
=，再由Fatou 引理得
2()lim ()lim [()()()()]n n n n n E
E E
f x dx F x dx f x f x f x f x dx →∞
→∞
=≤+--⎰⎰⎰
2()lim ()()]n n E
E
f x dx f x f x dx →∞
=--⎰⎰，
即lim
()()]0n n E
f x f x dx →∞
-≤⎰
，
从而 0lim ()()]lim ()()]0n n n n E
E
f x f x dx f x f x dx →∞
→∞
≤-≤-≤⎰
⎰
故 lim
()()d 0n n E
f x f x x →∞
-=⎰。