新课标高三月考卷(六)数学(理)试题-Word版含答案

高中新课标高三第六次考前基础强化
理科数学试卷
一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.已知集合{}{}2,1,0,1,0,1,A B =--=-则A B =U
A. {}2-
B. {}1,0-
C. {}1,0,1-
D.{}2,1,0,1-- 2.若复数z 满足()325i z i +⋅=-，则z = A. 1 B.
2 C. 2 D.223.已知点()()3,0,0,2A B -在椭圆22
221x y m n
+=上，则椭圆的标准方程为
A.
22132x y += B. 22194x y += C. 22
13x y += D. 22154
x y += 4.在等比数列{}n a 中，已知12453
,122
a a a a +=-
+=，则数列是 A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D.常数列 5.已知函数()ln ,0
,0
x x f x x x >⎧=⎨-<⎩，若
()11
33
f f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a 的值为
A.
127 B. 127- C. ln 27 D.1ln 27
6.如图，ABC ∆中的阴影部分是由曲线2
y x =与直线20x y -+=所围成的，向ABC ∆内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 A.
732 B. 932 C. 716 D. 916
7.右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图
,a b
分别为
（图中""aMODb 表示a 除以b 的余数），若输入的
595,245，则输出的a =
A. 490
B. 210
C. 105
D. 35
8.如图所示，某几何体的三视图中，正视图和俯视图都是腰长为1的等腰
直角三角形，则该几何体的体积为 A.
16 B. 1
3
C. 1
D. 129.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，若()()
2
2
24f a a f a a ->-，则实数a 的取值范围是
A. (),0-∞
B. ()0,3
C. ()3,+∞
D. (),0-∞U ()3,+∞ 10.等边三角形ABC 中，2,,AB E F =分别是边,AB AC 上运动，若
1
3
AEF ABC S S ∆∆=，则EF 长度的最小值为
A.
3 B. 43 C. 1 D.2
3
11.三棱锥P ABC -中，5,AB AC PB PC PA BC =====若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，且球的表面积为34π，则棱PA 的长为
A. 3
B. C.
D.5
12.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b
-=>>与圆222
2:C x y c +=（c 是双曲线的半焦距）相交于第二象限内一点M ，
点N 在x 轴下方且在圆2C 上，又12,F F 分别是双曲线1C 的左右焦点，若23
F NM π
∠=
，则双曲线的离心率为
A.
B. 2
C.
1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 向量()()2,1,,1a b x =-=r r
，若2a b +r r 与b r 共线，则x = .
14. 若,x y 满足30240210x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≤⎩
，则3z x y =-的最大值为 .
15. 已知()5
2
12x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭的展开式中不含3
x 的项，则a = .
16. 已知函数()2
22f x x x =-+与函数()2
1
2
g x x ax b =-++-
的一个交点为P ，以P 为切点分别作函数()(),f x g x 的切线12,l l ，若12l l ⊥，则ab 的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）
已知ABC ∆
中，1,AB BC BD ==是AC 边上的中线. （1）求
sin sin ABD
CBD
∠∠；
（2
）若2
BD =
，求AC 的长.
18.（本题满分12分）
微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出风靡全国，甚至涌现出了一批在微信朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查每天微信用户使用微信的时间，某销售化妆品的微商在一商业广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户称为“微信控”，否则称其为“非微信控”.调查结果如下：
（1）根据上述数据，能否有60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关；
（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“微信控”和“非微信控”的人数；
（3）从（2）中抽取的5人随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.
19.（本题满分12分）
如图，边长为2的等边三角形ABC 中,D 为BC 的中点，将ABC ∆沿AD 翻折成直二面角B AD C --，点,E F 分别是,AB AC 的中点.
（1）求证：//BC 平面DEF ；
（2）在线段AB 上是否存在一点P ，使CP DF ⊥？
若存在，求出
AP
PB
的值；若不存在，请说明理由.
20.（本题满分12分）
已知动圆P 过点()2,0A ，且在y 轴上截得的弦长为4.
（1）求动圆圆心P 的轨迹C 的方程；
（2）设()()1122,,,A x y B x y 是曲线C 上两个动点，其中12x x ≠，且124x x +=，线段AB 的垂直平分线l 与x 轴相交于点Q ，求ABQ ∆面积的最大值.
21.（本题满分12分） 设函数()()1
21.2
x a f x x e
x -=-+
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若a e ≥-，讨论函数()f x 的零点的个数.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ--=，以极点为在平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴建
立平面直角坐标系xoy
，直线的参数方程为112
x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的参数方程化为普通方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于A,B 两点，与y 轴交于点M,求()
2
MA MB +的值.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数() 1.f x x =+
（1）求不等式()()2x f x f x ⋅>-的解集；
（2）若函数()()lg 3y f x f x a =-++⎡⎤⎣⎦的值域为R ，求实数a 的的取值范围.
参考答案（理科数学）
一、选择题
1. 解析：A B =U {}2,1,0,1--，选D ．
2. 解析：因为5i
1i 32i
z -=
=-+，所以z =B ． 3. 解析：依题意得2
9m =，2
4n =，选B ． 4. 解析：由已知得公比满足345128a a q a a +=
=-+，所以2
q =-，而12132a a a +=-=-，所以13
2
a =，故数列{}n a 是摆动数列，选C ．
5. 解析：因为
11()ln 033f =<，所以1()ln 027f a =<，所以1()ln ln 27f a a ==，1
27
a =
，选A ． 6. 解析：由已知可得C 、D 为曲线2y x =与直线20x y -+=的交点，易得C 、D 点坐标分别为(2,4)C 、(1,1)D -，
992816=，选D ．
7. 解析：辗转相除法是求两个正整数之最大公约数的算法，所以35a =，选D ．
8. 解析：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，底面是腰长为1的等腰直角三角形，高为1，所以它的体积
111
111326
V =⨯⨯⨯⨯=，选A ．
9. 解析：因为()f x 为R 上的增函数，所以()
22()24f a a f a a ->-，等价于22
24a a a a ->-，解得03a <<，选B ． 10. 解析：因为1
sin 2
ABC S AB AC A ∆=
⋅⋅13AEF ABC S S ∆∆==
，设,AE x AF y ==，则1sin 2AEF S xy A ∆=
⋅=43
xy =，又在AEF ∆中，222222cos60EF x y xy x y xy =+-=+-o 4
3xy ≥=，当且仅当x y =时等号成立．
所以EF A ． 11. 解析：设PA t =，依题意可将三棱锥补成长方体（如图），设长方
体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则2222222
25
25
a b b c t c a ⎧+=⎪
+=⎨⎪+=⎩
2
2
2
2
502
t a b c +⇒++=，由于球的表面积为34π，可得
D
A
2
2
2
34a b c ++=，所以2
50342
t +=，解得32t =C ．
12. 解析：由题设知圆2C 的直径为12F F ，连结1MF ，2MF ，则122
F MF π
∠=
，又1223
MF F F NM π
∠=∠=
，所以
126
F F M π
∠=
，所以1MF c =，23MF c =，由双曲线的定义得2MF -1MF 2a =，即
31)2c a =，所以3131
e ==-，选C ． 二、填空题
13. 解析：由已知可得2(4,1)a b x +=+-r r ，因为2a b +r
r 与b r 共线，所以
40x x ++=，解得2x =-．
14. 解析：画出可行域如图所示，目标函数在点A 处取得最大值，而
()5,2A --，故3z x y =-的最大值为1．
15. 解析：()5
5
5
5
2
22111122222x a x x x ax x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，其中含3x 的项的系数为:32421
255
2280800C a C a -=-=，所以1a =±． 16. 解析：()22f x x '=-，g ()2x x a '=-+，设()00,P x y ，
则()()
0000()g ()222f x x x x a ''⋅=--+
()20044221x a x a =-++-=-，即()200442210x a x a -++-=，
而00()g()f x x =，所以2200001
222
x x x ax b -+=-++-， 所以()2005
2202
x a x b -++
-=即()200442520x a x b -++-=，所以2152a b -=-，所以3a b +=，所以2
9
24
a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当32a b ==时等号成立，即ab 的最大值为94． 三、解答题
17. 解：(Ⅰ)因为BD 是AC 边上的中线，所以ABD ∆的面积与CBD ∆即11
sin sin 22
AB BD ABD BC BD CBD ⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅∠， 所
以
sin 3sin ABD BC CBD AB
∠==∠ ………5分
（Ⅱ）利用余弦定理，在ABD ∆中，
2222cos AB BD AD BD AD ADB =+-⋅⋅⋅∠ ……①
在BDC ∆中， 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠， 因为BDC ADB π∠=-∠，且AD DC =，
所以2222cos BC BD AD BD AD ADB =++⋅⋅⋅∠ …… ② ① +②得222222AB BC BD AD +=+，所以1
2
AD =
， 所以1AC =． ………12分 18. 解析：（Ⅰ）由列联表可得2K 的观测值为
所以没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关． ……… 4分 （Ⅱ）依题意可知，所抽取的5位女性中，“微信控”有3人，“非微信控”有2人． ……… 6分 （Ⅲ）X 的所有可能取值为1，2，3．
………10分
所以X 的分布列是：
所以X 的数学期望是5
10352101)(=⨯+⨯+⨯
=X E ． ……… 12分 19. 解：（Ⅰ）证明：因为点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，所以//EF BC ． 又因为BC ⊄平面DEF
，EF ⊂平面DEF ，所以//BC 平面
DEF ．
………5分
（Ⅱ）假设存在点P 满足条件．以D 为坐标原点，以直线,,DB DC
DA 分别为x 轴，y
轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得(0,0,0)D ，A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，1(0,2F
，设AP PB λ=u
u u r u u u r ，则(1P λλ+，由
CP DF ⊥，得0CP DF ⋅=u u u r u u u r
，
即113(,1,
)(0,,00112222(1)
λ
λ
λλ-⋅=-+=+++
，
解得2λ=
，故在线段AB 上存在点P ，使CP DF ⊥且
2AP
PB
=． ………12分 20. 解析：（Ⅰ）设(P x ，)y
=
24y x =，所以曲线C 的方程
是：2
4y x =． ………4分
（Ⅱ）依题意可知直线AB 的斜率存在且不为零，所以设直线AB ：(0)y kx m k =+≠，并联立方程2
4y x =消
x 得2440ky y m -+=，因为01mk ∆>⇒< ① ，且124y y k +=
② 124m y y k
= ③，又1212()242y y k x x m k m +=++=+4k
=， 由此得22m k k =-④把④代入①得2
12k >
⑥ ………6分 设线段AB 的中点为M ，则M (2，2
)k ，则直线l ：12(2)y x k k
=-
-+， 令04(4y x Q =⇒=⇒，0)， ………8分
设直线AB 与x 轴相交于点D ，则(m
D k
-，0)所以12142ABQ m S y y k ∆=+
-=142+
⑤
把②③④代入⑤化简得ABQ S ∆214(1)k =+
………10分
t =，由⑥知 0t >，且 22
1
2t k
=-，ABQ S ∆3124t t =-，令()f t 3124t t =-，2()121212(1)(1)f t t t t '=-=-+，当01t <<时，()f t '0>，当1t >时，()f t '0<，所以当1t =时，此时1k =±，
函数()f t 的最大值为(1)8f =，因此ABQ ∆的面积的最大值为8，此时直线AB 的方程为
y x =±． ………12分
21. 解: （Ⅰ）函数()f x 定义域为(,)-∞+∞，11()e (e )x x f x x ax x a --'=+=+， ………2分 ⑴ 0a ≥，当0x <时，()0f x '<；当 0x >时，()0f x '>，
所以函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞单调递增． ………3分 ⑵0a <，令()0f x '=得0x =或1ln()x a =+-，
①1
e
a =-时，11()(e e )0x f x x --'=-≥，所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；
②当1
0e a -<<时，1ln()0a +-<，
当1ln()x a <+-或0x >时，()0f x '>，当1ln()0a x +-<<时，()0f x '<，所以函数()f x 在(),1ln()a -∞+-，()0,+∞上单调递增，在()1ln(),0a +-单调递减；
③当1
e a <-时，1ln()0a +->，当1ln()x a >+-或0x <时，()0
f x '>，当01ln()x a <<+-时，()0f x '<，所以函数()
f x 在(),0-∞，()1ln(),a +-+∞上单调递增，在()0,1ln()a +-单调递减； ………6分
（Ⅱ）当0a =时，函数1()(1)e x f x x -=-只有一个零点1x =； ………7分
当0a >时，由（Ⅰ）得函数()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增，且1(0)0e f =-<，(1)02a
f =>，取03
x <-且01ln x a <+，则220000()(1)(1)3022
a a
f x x a x x ⎡⎤>-+
=+->⎣⎦，所以函数()f x 有两个零点；9分 当10e a -≤<时，由（Ⅰ）得函数()f x 在()0,+∞单调递增，且1
(0)0e f =-<，(2)e 20f a =+>，
而0x <时，()0f x <，所以函数()f x 只有一个零点． 当1
e e
a -≤<-
时，由（Ⅰ）得函数()f x 在()0,1ln()a +-单调递减，在()1ln(),a +-+∞上单调递增， 且1(1ln())(0)0e f a f +-<=-<，2299
(3)2e 2e e 022f a =+≥->，而0x <时，()0f x <，所以函数()f x 只有一个零
点． ………12分 第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22. 解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ--=，化为直角坐标方程为
22240x y x y +--=，直线l 的普通方程为0x ． ………5分
（Ⅱ）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得)
2130t t -
-=，
点M 对应的参数0t =，设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，
则121t t +=+，123t t ⋅=-，
所以EA EB +1212t t t t =+=-=
()
2
16MA MB +=+． ………10分
23. 解：（Ⅰ）由已知不等式()()2x f x f x ⋅>-，得11x x x +>-，所以显然0x >，
11x x x +>-⇔2
01
210
x x x <≤⎧⎨
+->⎩ 或 2
1
1
x x >⎧⎨
>-⎩，
11x <≤或1x >，所以不等式()()2x f x f x ⋅>-的解集为
)
1,+∞． ………5分
（Ⅱ）要函数()()lg 3y f x f x a =-++⎡⎤⎣⎦的值域为R ，
只要()21g x x x a =-+++能取到所有的正数，所以只需()g x 的最小值小于或等于0， 又()212130g x x x a x x a a =-+++≥---+=+≤，所以只需30a +≤，即3a ≤-， 所以实数a 的取值范围是(],3-∞-．。