2024高中教师资格考试数学试卷

选择题
下列函数中，在区间(0, +∞)内单调递增的是：
A. y = x^2 - 4x
B. y = (1/2)^x
C. y = ln(x)
D. y = cos(x)
若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1 在区间[a, a+1] 上的最大值为g(a)，则g(a) 的表达式为：
A. 2a^2 - 4a + 1
B. 2a^2 - 2a - 1
C. 2a^2 - 4a + 3
D. 取决于a 的取值范围
对于任意的x ∈ ∈，若函数f(x) 的导数f'(x) 总是大于等于0，则：
A. f(x) 是单调递增的
B. f(x) 是单调递减的
C. f(x) 是常数函数
D. f(x) 的图像可能有拐点
已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，则a · b =：
A. 7
B. 10
C. 12
D. 14
复数z 满足z(1 + i) = 2i，则z =：
A. 1 - i
B. 1 + i
C. -1 + i
D. -1 - i
设f(x) 是定义在R 上的奇函数，且当x > 0 时，f(x) = x^2 - 2x，则f(-3) =：
A. 3
B. -3
C. 9
D. -9
填空题
已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，则f'(x) = _______。

若直线l 的方程为3x - 4y + 5 = 0，则直线l 的斜率为_______。

已知等差数列{a_n} 的前n 项和为S_n，若a_1 = 1，d = 2，则S_5 = _______。

若3^x = 81，则x = _______。

已知双曲线(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 (a, b > 0) 的一条渐近线方程为y = (√3/3)x，则a/b = _______。

已知函数f(x) = { x^2, x ≥ 0; -x, x < 0 }，则f(f(-2)) = _______。

简答题
简述函数极值的定义，并说明如何判断一个函数在某点是否取得极值。

已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(x) 的单调递增区间。

设A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) 是抛物线y = x^2 上不同的两点，O 是坐标原点，若OA ∈ OB，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

已知数列{a_n} 的前n 项和为S_n，且a_1 = 1，a_{n+1} = 2S_n + 1 (n ∈ ∈*)，求数列{a_n} 的通项公式。

已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 9x + a 在区间[0, 2] 上有最小值1，求a 的值。

已知椭圆C: (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为。