安徽省合肥八中-高三数学第二次月考试卷(文理)

安徽省合肥八中2008—2009学年度高三第三次月考数学卷
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小 题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的，请将答案填在答题卷的表格内。

．．．．．．．．．．．．．． 1．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面向上的概率是 （ ）
A ．
8
1
B ．
8
3 C ．
85 D ．8
7 2．下列程序运行时，循环体内语句执行的次数是
（ ）
1=i
WHILE 10<i i i i ⨯=
WEND PRINT i END A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
3．一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组数的频率和频数分别为0.125,40，则n 的值为（ ） A ．640 B ．320 C ．240 D ．160 4．若函数)2
,0,(),sin(2)(π
ωωϕω<>∈+=R x x x f 的最小正周期为π，且3)0(=f 则（ ）
A ．6,21πϕω==
B ．3,21πϕω==
C ．6,2πϕω==
D ．3
,2π
ϕω== 5．已知O ，A ，M ，B 为平面上的四点，且)2,1(,)1(∈-+=λλλOA OB OM 则 （ ）
A ．点M 在线段A
B 上 B ．点B 在线段AM 上
C ．点A 在线段BM 上
D ．O ，A ，M ，B 四点一定共线
6．把函数x x y sin 3cos -=的图象向左平移)0(>m m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最
小值是（ ）
A ．
6π B ．3
π C ．32π
D ．
6
5π
7．直线4:)2(2
2
=++=y x C x k y 被圆截得的线段长为2，则实数k 的值为
（ ）
A ．2±
B ．2
2±
C ．3±
D ．3
3±
8．一个球的半径为R ，其内接正四面体的高为h ，若正四面体的内切球半径为r ，则R ：r ：h 等于（ ） A ．3:1:4 B ．4:1:3 C ．3:2:4 D ．4:3:1 9．已知}02,0,4|),{(},0,0,6(|,{(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率是 （ ）
A ．
3
1
B ．
32 C ．
9
1 D ．
9
2
10．过点P （1，2）的直线l 将圆05422=--+x y x 分成两个弓形，当大小两个弓形的面积之差最大
时，直线l 的方程为
（ ）
A ．1=x
B ．042=-+y x
C ．012=+-y x
D ．032=+-y x
11．已知向量R ∈=-==ααα),sin 2,cos 2(),1,1(),1,1(，实数n m ,满足n m =+，则
22)3(n m +-的最大值为
（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．16
12．如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面
ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内 的轨迹为 （ ）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置上。

13．函数4
52)
3
1(-+-=x x y 的值域为
14．某企业有高级工程师26人，普通技工104人，其他职员若干人，为了了解该企业员工的工资收入
情况，若按分层抽样从该企业的所有员工中抽取56人进行调查，已知从其他职员中抽取了16人，则该企业共有员工 人。

15．函数)2
,2(,sin 1cos )(2π
π-∈-=x x x x f 的单调递增区间为
16．（文科）函数)4
cos(
222sin x x y ++=π
的最小值为
（理科）函数x
x x
x x x f cos 22)4
sin(2)(2
2++++
=π
的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
求与直线012=-+y x 切于点A （1，0），且过点B （2，-3）的圆的方程。

18．（本小题满分12分）
设函数)(cos sin 322cos )(R x x x x x f ∈+=的最大值为M ，最小正周期为.T
（I ）求M ，T 的值及单调递增区间；
（II ）10个互不相等的正数)10,,2,1(10,)()10,,2,1( =<==i x M x f i x i i i π且满足，求
1021x x x +++ 的值。

19．（本小题满分12分）
已知向量.)(),0,1,b a k f k a k b a ⋅=>-=
+==令且
（I ）求)(k f 的表达式； （II ）若函数2
1
2)(2
--≥tx x k f 对任意的]1,1[-∈t 恒成立，求实数x 的取值范围。

20．（本小题满分14分）
（文科）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，
.,901a AC CC BC ACB ===︒=∠
（I ）求证：⊥1BC 平面AB 1C ；（II ）求二面角B —AB 1—C 的大小； （III ）求三棱锥A 1—AB 1C 的体积。

（理科）如图，在,90,1,︒=∠==∆ACB BC AC ABC 中点D 在斜边AB 上，
)2
0(π
πα<
<=∠BCD ，把BCD ∆沿CD 折起到CD B '∆的位置，使平面⊥'CD B 平面ACD 。

（I ）求点B '到平面ACD 的距离（用α表示）；
（II ）求C B AD '⊥时，求三棱锥B '—ACD 的体积； （III ）当点B '在平面ACD 内的射影为线段CD 的中点时，
求异面直线AD 与B 'C 所成角的余弦值。

21．（本小题满分12分）
平面上有两个质点A （0，0），B （2，2）在某一时刻开始每隔1秒向上，下，左，右任一方向移动
一个单位，已知质点A 向左，右移动的概率都是41，向上，下移动的概率分别为p 和3
1
，质点B 向四个方向移动的概率均为.q （1）求p 和.q 的值；
（2）试判断至少需要几秒，A ，B 能同时到达D （1，2），并求出在最短时间内同时到达的概率。

22．（本小题满分12分） 已知不同三点ABC BC AB c c C b b B A ∆=⋅求若,0),,(),,(),1,1(22的外接圆的面积的最小值。

参考答案
一、
1—6DABDBC 7—12CADDDA
二、填空题：本大题共4小题，每小 题4分，共16分，把答案填在下列题号的相应位置上。

13．]1,9
3[
14．182 15．)2
,
0[π
16．文科221-- 理科2 三、 17．（本小题满分12分） 解：方法一：设所求圆的圆心为),(b a ，半径为r ，
由该圆与直线012=-+y x 切于点A （1，0）
得：
1)2
1
(1-=-⨯-a b ① 又所求圆过B （2，-3），
所以222
2)3()2()1(++-=
+-b a b a
即063=--b a ② 解①②得.2,0-==b a 所以5)1(22=+-=
b a r
故，所求圆的方程为5)2(2
2
=++y x
方法二：因为所求圆与直线012=-+y x 切于点A （1，0） 故设所求圆的方程为0)12()1(2
2
=-+++-y x y x λ
因为该圆经过点B （2，-3），
所以20]1)3(22[)3()12(3
2
=⇒=--⨯++-+-λλ
∴所求圆的方程为0)12(2)1(22=-+++-y x y x
即5)2(2
2
=++y x
注：本题解法较多，例如，设圆的一般方程，或根据圆心在过A （1，0）且与直线012=-+y x 垂
直即直线022=--y x 上，设圆心为)22,(-t t C ，再用CB AC =，等等，不再一一列举。

18．（本小题满分12分）
解：（I ）因为)6
2sin(22sin 32cos cos sin 322cos )(π
+
=+=+=x x x x x x x f
由Z k k x k Z k k x k ∈+
≤≤-
⇒∈+
≤+
≤-,6
3
)(2
26
22
2π
ππ
ππ
ππ
π
π
所以，)(x f 的最大值M=2，最小正周期π=T ， 单调递增区间为Z k k k ∈+
-
],6
,3
[π
ππ
π
（II ）由M x f i =)(（最大值）得， Z k k x Z k k x i i ∈+
=⇒∈+
=+
,6
)(2
26
2π
ππ
ππ
又正数,)()10,,2,1(M x f i x i i ==满足 且9,2,1,0),10,2,1(10 ==<k i x i 故π
所以，ππ
ππ
ππ
ππ
3
140
)6
9()6
2()6
(6
1021=
+
+++
++
+=
+++ x x x 19．（本小题满分12分）
解：（I 112
2
==⇒==b a
由)0>-=+k a k
得)0(2>-=+k k
即：k
k k k k k 41
)2(3222
2
2
2
2
2
+=⋅⇒+⋅-=+⋅+
所以，)0(41
)(2>+=k k
k k f （II ）因为2
1
1241)1(4141)(2=⋅⨯≥+=+=k k k k k k k f
其中当且仅当k
k 1
=
即1=k 时等号成立 所以)(k f 的最小值为,21
所以，2
12)(2
--≥tx x k f 对任意]1,1[-∈t 恒成立，
只需2
1
2122
≤-
-tx x 对任意]1,1[-∈t 恒成立。

即,0122≤--tx x 对任意]1,1[-∈t 恒成立。

令,12)(2--=tx x t g 0=x 当时成立， 若0≠x ，因为)(t g 是一次函数，只需
12210
120
120)1(0)1(22
-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--⇒⎩⎨
⎧≤≤-x x x x x g g
所以，实数x 的取值范围是]12,21[--
注：这种变元问题在近年高考中时有出现，体现了一种转化的思想。

20．（本小题满分14分） （文科）解：（I ）证明：因为该三棱柱为直三棱柱， BC=CC 1=a
所以四边形BCC 1B 1为正方形， 所以,11C B BC ⊥
又
111B BCC AC CB AC CC AC 平面⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥
所以AC BC ⊥1，所以C AB BC 11平面⊥
（II ）解：设C B BC 11与交于O ，过O 作1AB OE ⊥，垂足为E ，连接BE 因为C AB BC 11平面⊥，所以,,111AB BO AB BC ⊥⊥即 又1AB OE ⊥，所以⊥1AB 平面OEB ，所以1AB BE ⊥ 所以，OEB ∠就是二面角B —AB 1—C 的平面角。

在（I ）的证明中知，1ACB ∆是直角三角形
其中,32,11a AB a C B a AC =⇒==
由
a OE a
a a OE AB AC O B OE 66
32
211=⇒=⇒=
所以，︒=∠⇒===∠6036
6
22tan OEB a a
OE OB OEB
所以，二面角B —AB 1—C 的大小为60°
（III ）解：三棱锥A 1—AB 1C 的体积与三棱锥B 1—A 1AC 的体积相等， 又AC A C B 111平面⊥，所以体积为3116
12131311a a a a C B S AC A =⨯⨯⨯⨯=⋅∆
所以三棱锥A 1—AB 1C 的体积为
.6
13
a （理科）解：（I ）过CD O B B ⊥''作，垂足为O ，
由平面ADC O B ADC CD B 平面得平面⊥'⊥'
所以，O B '的 长（即右图的BO 长）就是B '到平面ACD 的距离。

又α=∠==BCD ，BC AC 1，所以，折起后的αsin ='O B 所以，点B '到平面ACD 的距离为.sin α
（II ）当C B AD '⊥时，由于O B AD '⊥，所以DC B AD '⊥平面 所以DC AD ⊥
所以ADC ∆︒=,45α为等腰直角三角形，且
2
2
,22=
'=
=O B DC AD
所以，三棱锥242
2222222131—=
⨯⨯⨯⨯
'的体积是ACD B
所以，三棱锥24
2
—的体积是
ACD B ' （III ）当点B '在平面内的射影O 为CD 的中点时，,C B D B '=' 因为2
22521351802135,45︒
=︒-︒=∠︒=∠='∠︒='∠ADC ，BDC CD B C B D 所以 设异面直线AD 与C B '所成的角为θ， 因为CD 是C B '在平面ADC 内的射影，
由三余弦公式：
4
2
22135cos 12135cos )2225180cos(2135cos
cos 2-=︒+=︒=︒-︒⋅︒=θ
所以，异面直线AD 与C B '所成角的余弦值为
4
2
2- 21．（本小题满分12分） 解：（I ）由随机变量的概率所具有的性质，
知：
,611314141=⇒=+++p p 4
1
14=⇒=q q
所以，4
161和的值分别为
和q p （II ）A 至少需要3秒能到达D （1，2），B 至少需要1秒到达D （1，2），
故至少需要3秒，A ，B 能同时到达D （1，2），
同时到达时，A 需要向右跳动1次，向上跳动2次，有三种移动方法，
即右，上，上；上，右，上；上，上，右
因而，概率为12
14131313=⨯⨯⨯
若B 在三秒内到达
（1）必须为向上跳动1次，向左跳动1次，向下跳动1次，其方法数为上，左，下的排列，
即：上，左，下；上，下，左；左，上，下；左，下，上；下，上，左；下，左，上共有6种 （2）向左跳动2次，向右跳动1次，
即左，右，左的排列，即：右，左，左；左右，左；左，左，右。

共有3种， 所以，B 在三秒内到达共有9种方法，
由于B 向上，下，左，右跳动的概率均为
4
1 故B 在三秒内到达的概率为649
4141419=⨯⨯⨯
所以，A ，B 同时到达的概率为2563
649121=⨯
所以，A ，B 同时到达的概率为.256
3 22．（本小题满分12分） 解：因为),(),1,1(222b c b c BC b b AB --=--= 由0))(1())(1(:0222=--+--=⋅b c b b c b 得 由A ，B ，C 为不同三点，知c b b ≠≠,1 所以， ,0))(1(1=+++b c b
所以，]1
1
)1[(111+++-=-+-=
b b b b c
由21
1
1211111)1(=++≥+++=++
+b b b b b b 得21
1
)1(211)1(≥+++-≤++
+b b b b 或 又2
3
,1-≠≠c b 所以
所以.312
3
23≥-≤<--<c c c 或或
因为该三角形为直角三角形，
故其外接圆半径R
22)1()1(24222+--=-+-=c c c c c
设)312
3
23(22)(2
4
≥-≤<--
<+--=c c c c c c c f 或或 ])1()[1(2)122)(1(2224)(2223++-=++-=--='c c c c c c c c c f
所以，0)(,)23
,(<'--∞∈c f c 时恒成立，因为)2
3,()(--∞在c f 上单调递减；
0)(,]1,23(<'--
∈c f c 时恒成立，因为]1,2
3
()(--在c f 单调递减； 0)(,),3[>'+∞∈c f c 时恒成立，因为),3[)(+∞在c f 上单调递增 又68)3(,4)1(==-f f
24=⇒=
所以，外接圆半径的最小值为1，因此，ABC ∆的外接圆的面积的最小值为π。