第七章 纠错编码代数基础

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交换群 如果 * 运算还满足交换律， 即对任何a , b ∈ G，有a ∗ b = b ∗ a，则G 称作交换群 交换群。 交换群 加法群是交换群，而乘法群不一定是 交换群，如矩阵乘法不满足交换律。 群的阶 群的阶就是群中所含元素的个数。 如整数加法群和非0实数乘法群的阶都是无穷 值。
有限群。 有限群 阶为有限值的群称作有限群 有限群
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7.2 环 7.2.1 环的定义 1. 多项式的相关概念
多项式的性质在很多方面类似于整数的性质。系数取自 集合F的多项式的表示形式为 f (x) = fn xn + fn-1 xn-1 + … + f1 x + f0 fi ∈ F 首一多项式 多项式的最高次数的系数为1，即fn = 1。 多项式的阶 多项式中系数不为0的x的最高 次数,记为∂°f (x)。 即约多项式 阶大于0且在给定集合F上除了常 数和常数与本身的乘积外，不能被其它多项式 除尽的多项式
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7.3.3 有限域的本原元
定理7.13 元素个数相等的有限域必同构。 定理
本原元 在GF(q)中，某一元素α 的阶为q - 1， 即α q-1 = e (q – 1 是使等式成立的最小正整数)，则 称α 为本原元。
本原多项式 是以本原元为根的即约多项式。
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7.3.4 有限域的结构
定理7.14 GF(q)的所有 定理 元素都是方程xq –x = 0 的根，反之，方程xq – x = 0的根必在GF(q)中。 有限域的特征 是有 限域中乘法单位元e 关于加法的级，也 就是使p ⋅ e = 0的最
模d的余数全体F = {0 , 1 , … , d - 1}对模d加法运算构成加 法交换群；对模d乘法运算满足封闭性、结合律和交换律； 还满足分配律，因此模d的余数全体构成交换环，称作整 整 数剩余类环。 数剩余类环 表7-6 {0 , 1 , … , d - 1}的模d加法表 + 0 1 … d-2 d-1 0 0 1 … d-2 d-1 1 1 2 … d-1 0 … … … … … … d–2 d–2 d-1 … d-4 d-3 d-1 d-1 0 … d-3
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d-2
7.2.3 多项式剩余类环
以p(x)为模的多项式的余式全体对模p (x)的加法运算构成 加法交换群；模p (x)的余式全体对模p (x)乘法满足封闭性、 结合律和交换律；其分配律为 [a (x) + b (x)] c (x) [mod p (x) ] = [a (x) c (x) + b (x) c (x)] [mod p (x) ] a (x) [b (x) + c (x)] [mod p (x) ] = [a (x) b (x) + a (x) c (x)] [mod p (x) ] 因此模p (x)的余式全体对模p (x)的运算构成交换环，称作 多项式剩余类环。 多项式剩余类环
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7.1.2 子群
1. 子群的定义 若群G的非空子集G′对于G中所定义的代数运算也构成群， 则称G′为G的子群 子群。 子群 定理7.4 定理 有限群的子群的阶一定整除群的阶。 2. 循环群 由一个单独元素α 的一切幂次所构成的群 {α0 = e , α , α2 , … , αn-1αn = e} 称为循环群 循环群。该元素α 称为循环群的 循环群 生成元。使αn = e的最小正整数n称为元素α 的阶。 生成元 定理7.5 定理 交换群G中的每一个元素α 都能生成一个循 环群，它是G的子群，元素α 的阶就是循环群的阶。 9
3. 子环
设F是一个环，S是F的一个非空子集，若S对加法和乘 法也构成一个环，则称S是F的一个子环，F是S的一个 扩环。 16
定理7.9 若S是环F的一个非空子集，则S是F的子环的充 定理 要条件是： 对任何a , b ∈ S，有a - b ∈ S和ab ∈ S 。 理想 理想是一类特殊的子 环。设F是一个可换环，I是F 的一个非空子集，如果对任意 a , b ∈ I，恒有a - b ∈ I，及对 任意a ∈ I和任意 x ∈ F，恒有 ax = xa ∈ I，则称I是F的一个 理想。
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3. 群的同构 设在. 运算下的集合G与在 ∗ 运算下的集合H是两个群，若 存在一个G到H的一一对应关系 f ，且对任何a , b ∈ G， 有f (ab) = f (a) ∗ f (b)，则称f是G到H的同构。 同构
通常把条件f (a.b) = f (a) ∗ f (b)称为f 保持群的运算关 系。一个同构映射f不仅保持运算关系，而且使两个 群的所有代数性质都一一对应。同构的系统本质上完 全相同，研究其中一个也就代替了对另一个的研究。
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定理7.2 定理 任何正整数a均可表示成其素因数的幂之积： r r r a = p11 p 22 L p nn p1 , p2 , … , pn：a的互不相同的素因数，ri：正整数。
定理7.3 定理 设a、b是不全为0的整数，则存在整数p、q使 pa + qb = (a , b) (a , b)为a、b的最大公约数， 当a、b互素时，(a , b) = 1，pa + qb =1。
元素阶的性质： (1) 若a是n阶元素，则am = e （对于加法为ma = e）的充 要条件是n整除m。
(2) 若某一群中，a为n阶元素，b 为m阶元素，且(n , m) = 1，则元 素a ⋅ b（或a + b）的阶为n ⋅ m。 (3) 若a为n阶元素，则元素ak n （或ka）的阶为
(n, k )
第七章 纠错编码代数基础
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第七章
纠错编码代数基础
内容提要： 内容提要： 抽象代数又称近世代数，其研究对象 抽象代数又称近世代数， 是定义在某些运算下的集合， 是定义在某些运算下的集合，运算对象可 以是数、多项式、矢量、矩阵、 以是数、多项式、矢量、矩阵、线性空间 等。编码理论是建立在码的代数结构基础 上的，为便于初学者理解， 上的，为便于初学者理解，本章简单介绍 抽象代数中与编码直接相关的基础知识， 抽象代数中与编码直接相关的基础知识， 主要涉及整数及多项式的一些基本概念及 域的基本知识。 群、环、域的基本知识。
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本章重点： 本章重点： 1.多项式 xn +1 的因式分解及有限域的本原 多项式 元的基本概念； 元的基本概念； 2. 有限域共轭根组的求解。 有限域共轭根组的求解。
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7.1 群 7.1.1 群的定义
1. 整数的相关概念 定理7.1 设a为整数，d为正整数，且a > d，则存在唯一的整 定理 数q 、r满足a = qd + r ，0 ≤ r < d 。d称作模，r称作余数 余数，r 模 余数 可记作a [mod d ]。 由于0 ≤ r < d，模d的全体余数为 {0 , 1 , … , d – 1}。 余数间可定义模d加法和模d乘法运算，设D = {0 , 1 , … , d – 1}，如果a , b ∈ D，有(a + b) [ mod d ] ∈ D 及 (a ⋅ b) [mod d ] ∈ D 说明模d的余数全体对模d加法和模d乘法满足封闭性。
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定理7.6 给定任意两个多项式f (x) 、p (x)，∂°f 定理 (x) > ∂°p (x)，一定存在唯一的多项式q (x)和r (x)，使 f (x) = q (x) ⋅ p (x) + r (x) 0 ≤ ∂°r (x) < ∂°p (x) p (x)称作模多项式，r (x)称作余式， r (x)记为f (x) [ mod p (x) ]。
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2. 群的定义 群G是一些元素构成的集合，该集合中定义一种运算 * （加法或乘法），满足： (1) 封闭性，对任 何a , b ∈ G， 有a ∗ b ∈ G
(2) 结合律，对任何a , b, c ∈ G， (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
(3) 存在单位元e ∈G， 使对任何a ∈ G有a ∗ e = e ∗ a=a (4) 对任何a ∈ G有逆元a-1 ∈ G，使 a ∗ a-1 = a-1 ∗ a = e
定理7.15 有限域的特征必为素数。 定理 素域 是GF(q)的最小子域，表示为GF(p) = {0 , e , 2e , … , (p - 1)e}。
主理想 在可换环F 中，由一个元素a ∈ F 的所有倍数及其线性组 合而生成的理想I [ a ] = {xa + na | x ∈ F , n ∈ Z } 称为环F的一个主理想， 元素a为该主理想的生 成元。
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4. 环的同构
设A和B是两个环，若存在一个A到B的一一对应关系f， 并且满足： 对任何a , b ∈ A，有 f (a + b) = f (a) + f (b) f (a ⋅ b) = f (a) ⋅ f (b) 则称f是环A到环B的一个同构 同构。 同构
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7.3.2 有限域
定理7.10 设d为素数，则以d为模的整数剩余类环构 定理 成d阶有限域GF(d)。
定理7.11 设p(x)为系数取自GF(q)上的n次 定理 即约多项式，则以p(x)为模的多项式剩余 类环构成qn阶有限域GF(qn)。
定理7.12 有限域的阶必为其子域阶之幂，即Q 定理 = qn。
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7.3 域 7.3.1 域的定义
域是一些元素构成的集合，该集合中定义加法和乘法两种运 算，满足： (1) 对加法构成交换加群。 (2) 非零元素全体对乘法构成交换乘群。 (3) 加法和乘法间具有分配律 a (b + c) = ab + ac (a + b) c = ac + bc 域的阶 域中元素 的个数。如复数域和 实数域的阶都是无穷 值。 有限域 元素个数有限的 域，用GF(q)表示q阶有限域。 如GF(5) = {0 , 1 , 2 , 3, 4}
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陪 h1∗g1=g1 =e h2∗g1 g2 h2∗g2 … … … hm-1∗g1 1∗gn hm∗g1 hm-1∗g2 hm∗g2