信道的纠错编码PPT演示文稿
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6
检错与纠错方式和能力
⒈ 检纠错方式
❖ FEC（前向纠错）——纠错 ❖ ARQ （自动请求重发）——检错 ⒉ 几个概念
❖ 汉明距离/距离：在线性码中，两个码字 U、V 之 间对应码元位上符号取值不同的个数，称为码字 U、 V 之间的汉明距离。
❖ 例如：(7,3) 码的两个码字
U=0011101,V=0100111，它们之间第2、3、4和6 位不同。因此，码字 U 和 V 的距离为4。
3
纠错码的分类
❖ 按信息码元与监督码元之间的约束方式不同分：
分组码：将信息码元分为k位一组，每组相互独立，再按 编码规则变成n位码（n>k)，其中n-k=r位为监督码元， 我们称之为（n,k)分组码。本码组的监督码元仅和本码组 的信息码元相关。
卷积码：本码组的监督码元不仅和本码组的信息码元相 关，而且与前面码组的信息码元有关。
第9章 信道的纠错编码
信道编码的概念 线性分组码 循环码
1
信道编码的纠错原理
❖ 信道编码的目的：提高系统的可靠性 ❖ 实现方法：增加冗余度
❖ 信道编码的纠错原理
根据一定的规律在待发送的信息码元中人为的加入一些 冗余码元，这些冗余码元与信息码元之间以某种确定的规则 相互关联（约束）。
在接收端按照既定的规则检验信息码元与监督码元之间 的关系。如果传输过程出错，则信息码元与监督码元之间的 关系将受到破坏，从而可以发现错误乃至纠正错误。 —— ——纠错码
2
纠错码的分类
❖ 按功能分：
检错码：仅能检测误码。 纠错码：可纠正误码。
❖ 按信息码元与监督码元之间的检验关系分：
线性码：满足线性关系。 非线性码：不存在线性关系。
❖ 按信息码元在编码后是否保持原形式：
系统码：信息码元与监督码元在分组内有确定位置， 编码后的信息码元保持位置不变。
非系统码：信息位打乱，与编码前位置不同。
❖ 线性分组码的一个码字对应于 n 维线性空间中的 一点，码字间的距离即为空间中两对应点的距离。 7
检错与纠错方式和能力
❖ 最小码距：在码集合中，任两个码字间的距离为最小时， 该码距即为码集合的最小码距。
dminmind(c,c') cc'
❖ 码字的重量：码字中非0码元符号的个数，称为该码字 的重量，又称为汉明重量。
d min =2t + 1 或 t = (d min－1)/2
t
V
U
V’
dmin
9
图6.2.3 d =5,码距和纠错能力关系示意图
检错与纠错能力--2
❖ 最小码距与检错能力的关系：
定理：(n,k) 线性码能够发现 e个错误的充要条件是码
的最小距离为
d min =e + 1 或 e = d min－1
13
线性分组码
将消息码直接代入有：
1 0 0 1 C C 1C 2C 3C 4 [0 1 0]0 1 0 1 0101
0 0 1 1 1 0 0 1 C C 1C 2C 3C 4 [1 1 0]0 1 0 1 1100 0 0 1 1
思考：此码是否为系统码？
14
线性分组码
二、线性分组码的性质及定理
线性分组码是同时具有分组特性和线性特性的纠错码。 定义：一个（n,k）线性分组码C是称为码字c的n维向量的集合。
C{ccmG}
第一种编码方
式中： m 为消息矢量，G 是一个k行n列的秩为k（n﹥法k)的矩
阵，我们称它为线性码的生成矩阵。
g0,0 G
gk1,0
g0,1
gk1,1
g0,n1
gk1,n1
gi,j{0,1}
12
线性分组码
例：（4,3）偶校验码是一个（4,3）线性分组码，其
生成矩阵为
1 0 0 1 G 0 1 0 1
0 0 1 1
求消息码010，110所对应的线性码。
解：
1 0 0 1 C C1C2C3C4 [ m1 m2 m3]0 1 0 1
0 0 1 1
[ m1 m2
m3
m1m2 m3]
4
错误图样
⑴ 当系统无干扰时
R=C
⑵ 当系统有干扰时
R=C+E
其中，E称为信道的错误图样，
E=(e0,e1,…,en-1)；ei∈{ 0,1}；当ei=1，则第i位上有错；反 之，无错。
例： C = 0 0 1 0 1 1 0 1
E= 01001001
R= 01100100
由信道的对称性可知 p(0/1)=p(1/0)=p(e=1)=p
le
V’
V
U
dmin 10
检错与纠错能力--3
❖ 最小码距与检、纠错能力的关系：
定理：(n,k) 线性码能纠 t 个错误，并能发现e 个错误 (e >t ) 的充要条件是码的最小距离为 dmin=t +e +1 或 t +e =dmin－1
el
V’’
V’
tHale Waihona Puke Baidu
V
U
dmin
11
线性分组码
一、线性分组码的描述
15
线性分组码
16
线性分组码
三、线性分组码的监督阵
⒈ 线性分组码的监督阵 ❖ 编码就是给已知信息码组按预定规则添加监督码元，以构
反之，若已知R ，E 则可求出C，这就是纠错码的原理，如：
E= 01001001
R= 01100100
C= 00101101
5
检错与纠错的原理
⒈ 编码效率
设：信息码长度为k，经信道编码后长度为n，则我们定 义编码效率R为：
R=k/n ⒉ 几种简单的检纠错码
❖ 奇/偶校验码——检错码 ❖ 重复码——纠错码
❖ 当消息码为零向量0…0，所得的码字为零码字0…0。 ❖ 线性分组码的封闭性：线性分组码中任意两个码字之和
仍然是该码的码字。
❖ G中每一行 gi=(gin-1,gin-2,…, gi0 ) 都是一个码字； ❖ 对每一个信息组m，由矩阵G都可以求得 (n,k) 线性码对
应的码字。信息码组长k位，有 2k个不同的信息码组，则 有 2k 个码字与它们一一对应。 ❖ 在由 (n,k) 线性码构成的线性空间 Vn 的 k 维子空间中， 一定存在 k 个线性独立的码字：g0,g1,…, gk-1，码Ci 中其 它任何码字C都可以表为这 k 个码字的一种线性组合，即
❖ 码的最小重量：线性分组码CI中，非0码字重量最小 值，叫做码CI的最小重量：
Wmin =min{W(V),V∈CI ,V≠0} ❖ 最小码距与最小重量的关系：线性分组码的最小码距
等于它的最小重量。
dm inwm in
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检错与纠错能力--1
❖ 最小码距与纠错能力的关系：
定理：(n,k) 线性码能纠 t 个错误的充要条件是码 的最小距离为
检错与纠错方式和能力
⒈ 检纠错方式
❖ FEC（前向纠错）——纠错 ❖ ARQ （自动请求重发）——检错 ⒉ 几个概念
❖ 汉明距离/距离：在线性码中，两个码字 U、V 之 间对应码元位上符号取值不同的个数，称为码字 U、 V 之间的汉明距离。
❖ 例如：(7,3) 码的两个码字
U=0011101,V=0100111，它们之间第2、3、4和6 位不同。因此，码字 U 和 V 的距离为4。
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纠错码的分类
❖ 按信息码元与监督码元之间的约束方式不同分：
分组码：将信息码元分为k位一组，每组相互独立，再按 编码规则变成n位码（n>k)，其中n-k=r位为监督码元， 我们称之为（n,k)分组码。本码组的监督码元仅和本码组 的信息码元相关。
卷积码：本码组的监督码元不仅和本码组的信息码元相 关，而且与前面码组的信息码元有关。
第9章 信道的纠错编码
信道编码的概念 线性分组码 循环码
1
信道编码的纠错原理
❖ 信道编码的目的：提高系统的可靠性 ❖ 实现方法：增加冗余度
❖ 信道编码的纠错原理
根据一定的规律在待发送的信息码元中人为的加入一些 冗余码元，这些冗余码元与信息码元之间以某种确定的规则 相互关联（约束）。
在接收端按照既定的规则检验信息码元与监督码元之间 的关系。如果传输过程出错，则信息码元与监督码元之间的 关系将受到破坏，从而可以发现错误乃至纠正错误。 —— ——纠错码
2
纠错码的分类
❖ 按功能分：
检错码：仅能检测误码。 纠错码：可纠正误码。
❖ 按信息码元与监督码元之间的检验关系分：
线性码：满足线性关系。 非线性码：不存在线性关系。
❖ 按信息码元在编码后是否保持原形式：
系统码：信息码元与监督码元在分组内有确定位置， 编码后的信息码元保持位置不变。
非系统码：信息位打乱，与编码前位置不同。
❖ 线性分组码的一个码字对应于 n 维线性空间中的 一点，码字间的距离即为空间中两对应点的距离。 7
检错与纠错方式和能力
❖ 最小码距：在码集合中，任两个码字间的距离为最小时， 该码距即为码集合的最小码距。
dminmind(c,c') cc'
❖ 码字的重量：码字中非0码元符号的个数，称为该码字 的重量，又称为汉明重量。
d min =2t + 1 或 t = (d min－1)/2
t
V
U
V’
dmin
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图6.2.3 d =5,码距和纠错能力关系示意图
检错与纠错能力--2
❖ 最小码距与检错能力的关系：
定理：(n,k) 线性码能够发现 e个错误的充要条件是码
的最小距离为
d min =e + 1 或 e = d min－1
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线性分组码
将消息码直接代入有：
1 0 0 1 C C 1C 2C 3C 4 [0 1 0]0 1 0 1 0101
0 0 1 1 1 0 0 1 C C 1C 2C 3C 4 [1 1 0]0 1 0 1 1100 0 0 1 1
思考：此码是否为系统码？
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线性分组码
二、线性分组码的性质及定理
线性分组码是同时具有分组特性和线性特性的纠错码。 定义：一个（n,k）线性分组码C是称为码字c的n维向量的集合。
C{ccmG}
第一种编码方
式中： m 为消息矢量，G 是一个k行n列的秩为k（n﹥法k)的矩
阵，我们称它为线性码的生成矩阵。
g0,0 G
gk1,0
g0,1
gk1,1
g0,n1
gk1,n1
gi,j{0,1}
12
线性分组码
例：（4,3）偶校验码是一个（4,3）线性分组码，其
生成矩阵为
1 0 0 1 G 0 1 0 1
0 0 1 1
求消息码010，110所对应的线性码。
解：
1 0 0 1 C C1C2C3C4 [ m1 m2 m3]0 1 0 1
0 0 1 1
[ m1 m2
m3
m1m2 m3]
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错误图样
⑴ 当系统无干扰时
R=C
⑵ 当系统有干扰时
R=C+E
其中，E称为信道的错误图样，
E=(e0,e1,…,en-1)；ei∈{ 0,1}；当ei=1，则第i位上有错；反 之，无错。
例： C = 0 0 1 0 1 1 0 1
E= 01001001
R= 01100100
由信道的对称性可知 p(0/1)=p(1/0)=p(e=1)=p
le
V’
V
U
dmin 10
检错与纠错能力--3
❖ 最小码距与检、纠错能力的关系：
定理：(n,k) 线性码能纠 t 个错误，并能发现e 个错误 (e >t ) 的充要条件是码的最小距离为 dmin=t +e +1 或 t +e =dmin－1
el
V’’
V’
tHale Waihona Puke Baidu
V
U
dmin
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线性分组码
一、线性分组码的描述
15
线性分组码
16
线性分组码
三、线性分组码的监督阵
⒈ 线性分组码的监督阵 ❖ 编码就是给已知信息码组按预定规则添加监督码元，以构
反之，若已知R ，E 则可求出C，这就是纠错码的原理，如：
E= 01001001
R= 01100100
C= 00101101
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检错与纠错的原理
⒈ 编码效率
设：信息码长度为k，经信道编码后长度为n，则我们定 义编码效率R为：
R=k/n ⒉ 几种简单的检纠错码
❖ 奇/偶校验码——检错码 ❖ 重复码——纠错码
❖ 当消息码为零向量0…0，所得的码字为零码字0…0。 ❖ 线性分组码的封闭性：线性分组码中任意两个码字之和
仍然是该码的码字。
❖ G中每一行 gi=(gin-1,gin-2,…, gi0 ) 都是一个码字； ❖ 对每一个信息组m，由矩阵G都可以求得 (n,k) 线性码对
应的码字。信息码组长k位，有 2k个不同的信息码组，则 有 2k 个码字与它们一一对应。 ❖ 在由 (n,k) 线性码构成的线性空间 Vn 的 k 维子空间中， 一定存在 k 个线性独立的码字：g0,g1,…, gk-1，码Ci 中其 它任何码字C都可以表为这 k 个码字的一种线性组合，即
❖ 码的最小重量：线性分组码CI中，非0码字重量最小 值，叫做码CI的最小重量：
Wmin =min{W(V),V∈CI ,V≠0} ❖ 最小码距与最小重量的关系：线性分组码的最小码距
等于它的最小重量。
dm inwm in
8
检错与纠错能力--1
❖ 最小码距与纠错能力的关系：
定理：(n,k) 线性码能纠 t 个错误的充要条件是码 的最小距离为