2023届河南省部分学校高三12月大联考数学(理)试题(解析版)

2023届河南省部分学校高三12月大联考数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合{A x y ==，{}
e x B y y a ==+（a ∈R ），若A B ⋂=∅，则a 的取值范围为
（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．()3,+∞ D ．[)3,+∞
【答案】D
【分析】分别求出集合A 和集合B ，再由A B ⋂=∅进行求解.
【详解】由已知，集合A 即函数y = 由不等式2320x x +-≥，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，
∴{{}[]131,3A x y x x ===-≤≤=-，
集合B 即函数e x y a =+的值域，因为指数函数e x y =的值域为()0,∞+，所以函数e x y a =+的值域为
(),a +∞，
∴{}
()e ,x
B y y a a ∞==+=+，
∵A B ⋂=∅，
∴a 的取值范围是[)3,+∞. 故选：D.
2．已知复数z 满足(86i)512i z +=+，则z =（ ）
A B ．
1310
C ．
1714
D ．
1513
【答案】B
【分析】先由复数的运算化简z ，再计算模长.
【详解】()512i (86i)11266i 5633i (86i)(86i)
100
50
z +-++=
==+-，13
10
z === 故选：B
3．已知直线12:210,:220l x y l x my --=++=，若12l l ∥，则1l 与2l 之间的距离为（ ）
A ．1
B ．2
C D 【答案】A
【分析】根据直线平行求出m ，再由平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为12l l ∥，所以40m +=，解得4m =-，经检验符合题意；
所以2:210l x y -=， 所以1l 与2l
之间的距离1d ==
=， 故选：A
4．我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日晷影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．唐代僧一行在编制《大衍历》时发明了求任何地方每日晷影长和去极度的计算方法——“九服晷影法”，建立了晷影长l 与太阳天顶距θ之间的对应数表（世界上最早的正切函数表）．根据三角学知识知：晷影长l 等于表高h 与天顶距θ正切值的乘积，即
tan l h θ=．若对同一表高进行两次测量，测得晷影长分别是表高的2倍和3倍，记对应的天顶距分
别为1θ和2θ，则()12tan θθ-=（ ） A ．1- B ．1
7
-
C ．13
D ．1
【答案】B
【分析】根据已知条件得出12,tan tan θθ的值，利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】由题意知12tan 2,tan 3θθ==，所以()121212tan tan 231
tan 1tan tan 1237
θθθθθθ---===-++⨯
故选：B.
5．已知12,F F 是平面内两个不同的定点，P 为平面内的动点，则“12PF PF -的值为定值m ，且12m F F <”是“点P 的轨迹是双曲线”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】直接利用双曲线的定义，直接判断，可得答案.
【详解】“12PF PF -的值为定值m ，12m F F <”，若0m =，则P 点的轨迹不是双曲线，故充分性不成立；
“点P 的轨迹是双曲线”，则必有12,F F 是平面内两个不同的定点，且满足1212PF PF m F F -=<，故必要性成立； 故选：B
6．已知()sin 2tan 1f x x x =++，则曲线()y f x =在点π
π,
4
4f ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线方程为（ ） A ．26π0x y ++-= B ．23π0x y -+-= C ．426π0x y -+-= D ．426π0x y -++=
【答案】C
【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率π4f ⎛⎫
' ⎪⎝⎭
，结合
π34f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
可求得切线方程. 【详解】
()212cos 2cos f x x x
'=+，2ππ12cos 2
π42cos 4
f ⎛⎫
'∴=+= ⎪⎝⎭， 又πππsin tan 13424f ⎛⎫
=++= ⎪⎝⎭
，
∴所求切线方程为：π324y x ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭，即426π0x y -+-=.
故选：C.
7．已知双曲线22
22:1(0,0)y x C a b a b
-=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的
渐近线，过F
l 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 B
C
D
【答案】C
【分析】分别表示出A 、B 坐标，利用||||OA OB =求得3a b ，即可求出离心率.
【详解】因为F 为双曲线22
22:1(0,0)y x C a b a b
-=>>的下焦点，不妨设()0,F c -，
所以过F
y c =-，
所以)
,0B .
因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:a
l y x b
=
.
由y x c
a y x b
⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
联立解得：A .
因为||||OA OB =
，所以2
2
2
3c +=，解得：3a
b .
所以离心率c e a ====
. 故选：C
8．函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛
⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π6
个单
位长度得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ）
A ．2cos2x
B π326x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
C π326x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
D ．π2sin 26x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
【答案】A
【分析】由函数周期可求出ω，又由特殊值5π
(
)=012
f 和(0)=1f ，可求得ϕ和A ，进而可得()f x 的解析式，再利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()
g x 的解析式．
【详解】依题意有
2π
11π5π2π1212ω⎛⎫
=⨯-= ⎪⎝⎭
，得2ω=， 又5π5π()sin 2+=01212f A ϕ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭
，所以5π2+π2π,Z 12k k ϕ⨯=+∈，且π
02ϕ<<，得π=6ϕ，
又π
(0)sin =16
f A =，得=2A ，
所以()π2sin 26f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
所以()πππ2sin 22cos 2666g x f x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．
故选：A ．
9．已知12F F 、分别是椭圆22
22:1(0)x y
C a b a b
+=>>的左、右焦点，椭圆C 过(2,0)A -和(0,1)B 两点，
点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的取值范围为（ ）
A ．11,5⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
B ．371,5⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．[2,1]-
D ．11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【答案】D
【分析】根据椭圆过点求出,a b ，再求出焦点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解. 【详解】因为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点(2,0)A -和(0,1)B ，
所以224,1a b ==，可得223c a b - 所以1(3,0)F -，23)F ，
设(,)P x y ，由题意直线AB 的方程为
12
x
y +=-，即220x y ， 因为点P 在线段AB 上，所以(,)P x y 满足20,01x y -≤≤≤≤，
则222212(,),)3(22)3PF PF x y x y x y y y ⋅=--⋅-=+-=-+-
22411
5815()55y y y =-+=--，[0,1]y ∈，
当45y =
时，12min 11
()5
PF PF ⋅=-，当0y =时，12max ()1PF PF ⋅=， 所以12PF PF ⋅的取值范围为11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
故选：D
10．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①0,()0x f x ∀><；②对任意正数x ，y ，当x y <时，
()()yf x xf y >恒成立．若(0.1)
(sin0.1)sin0.1,,(tan0.1)tan0.110
f a f b c f ==
=，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>
C ．b c a >>
D ．b a c >>
【答案】A
【分析】根据函数性质可知，
()
f x x
在(0,)+∞上单调递减，又根据0,()0x f x ∀><，可构造函数()xf x ，且函数()xf x 为单调递减，又因为sin0.10.1tan0.1<<，即可得出a b c >>. 【详解】由题意可知，对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >，即()()
f x f y x y
> 所以函数
()f x x
在(0,)+∞上单调递减，即导函数
2()()
0xf x f x x -<'在(0,)+∞恒成立； 可得()()xf x f x '<；
构造函数()()g x xf x =，则()()()2()0g x f x xf x f x ''=+<<， 所以，()()g x xf x =在(0,)+∞上单调递减；
设函数()sin ,(0,1)h x x x x =-∈，则()cos 10h x x '=-<，
即()h x 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0h h <=,即sin 0.10.1<； 设函数()tan ,(0,1)x x x x ϕ=-∈，则22
1
()1tan 0cos x x x
ϕ'=-
=-<， 即()ϕx 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0ϕϕ=<，即0.1tan 0.1<； 综上可知，sin0.10.1tan0.1<<，(sin 0.1)(0.1)(tan 0.1)g g g >> 即(0.1)
(sin 0.1)sin 0.10.1(0.1)(tan 0.1)tan 0.110
f f f f =>> 即得a b c >>. 故选：A.
11．在四面体ABCD 中，,AB AC AB BD ⊥⊥，异面直线AC 与BD 所成的角为30︒，二面角C AB D
--
为锐二面角，4,5,3AB AC BD ===，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．234153- B ．3
C ．5
D ．10
【答案】C
【分析】根据题意，如图，将四面体放在长方体中，为三棱锥D ABC -，过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ，结合二面角和异面直线所成的角的定义可得30DBE ︒∠=，求出DE ，利用三棱锥的体积公式计算即可.
【详解】
如图，在长方体中，4,5,3AB AC BD ===， 过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ， 所以DBE ∠为二面角C AB D --的所成角，为锐角，
DBE ∠为异面直线AC 与BD 的所成角，所以30DBE ︒∠=，
所以1322
DE BD =
=. 由题意知，该四面体ABCD 为三棱锥D ABC -， 由1
102
ABC
S
AC AB =
⋅=， 所以该三棱锥D ABC -的体积为1
13105332
D ABC ABC
V S
DE -=⋅=⨯⨯=. 故选：C.
12．将曲线221:1(0)169x y C x +=≤和曲线22
2:1(0)49
x y C x +=>合成曲线E ．斜率为k 的直线l 与E 交
于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，则下列判断错误的是（ ） A ．曲线E 所围成图形的面积小于36 B ．曲线E 与其对称轴仅有两个交点 C ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上 D ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 【答案】D
【分析】画出曲线表示的图形，分析AB 选项；
选项C ，分析当0k =时，设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y ，然后根据题意分析点P 的轨迹总在某个椭圆上即可；
选项D ，结合C 的部分条件，加上中点公式，以及差点法，若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则0000(R)y k x k -∈为常数，化简分析即可解决问题. 【详解】选项A ：如图，曲线E 所围成图形在正方形PQGH 内部，
由正方形PQGH 的面积为6636⨯=，
所以曲线E 所围成图形的面积小于36，故A 正确； 由A 中图形可知，曲线E 关于x 轴对称，
所以曲线E 与其对称轴仅有两个交点，故B 正确； 选项C ：设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y 12
1202
2
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨
+⎪=⎪⎩， 当0k =时，12120,x x y y <<=
22
1122
22
1169
14
9
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减的：22
112202164x x x x -=⇒=- 所以22220020012
2222x x x x x x y y y y y -+⎧
=-=
=-⎧⎪⇒⎨⎨
=⎩⎪==⎩， 又2222149x y +=，所以()22
22
000011499
2y y x x -+=⇔+= 故存在0k =，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上，C 正确
选项D ： 由()00,P x y ，12
1202
2
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，
由题意若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，
则2
2
112
2
22
1169
149
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：2222
1212
01649x x y y --+=
即()()22
121
212
01649
y y y y x x --++=， 又120
12122y y y y y k x x +=⎧⎪-⎨=⎪-⎩
，所以()22
01212
201649ky x x x x --+=， 即
()
2
22101294162x x y k x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭=-， 又
12
02
x x x +=， 所以若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上， 则0000(R)y k x k -∈为常数，
即()2221120
12941622
x x x x k k x x ⎛⎫- ⎪
+⎝⎭--
()()()()
2221012121212941622x x kk x x x x k x x k x x ⎛⎫- ⎪
-+⎝⎭=--- ()
()
222221012
1294162x x kk x x k x x ⎛⎫--- ⎪⎝
⎭=- ()22020112994162kk x kk x k x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭=-为定值， 因为分子分母12,x x 次数不同，
故若上式为定值，则22
020*******kk x kk x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
恒成立，
即0099
0416kk kk +=+=，无解，假设不成立， 所以不存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 所以选项D 不正确； 故选：D.
二、填空题
13．已知向量,a b 满足||3,||1,||2a b a b ==+=，则a b +与a b -的夹角为_______________． 【答案】π3
【分析】根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】()
2
22
||242431240a b a b
a b a b a b a b +=⇒+=⇒++⋅=⇒++⋅=⇒⋅=，
()
2
22
2312a b a b a b a b -=
-=+-⋅=+-，
设a b +与a b -的夹角为([0,π])θθ∈，
()()22
311
cos 2242
a b a b a
b a b a b
θ⋅-+--==⨯⋅-=
=+， 因为[0,π]θ∈， 所以π3
θ=
， 故答案为：π
3
14．直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________． 【答案】2x =或43110x y +-=.
【分析】先求出圆的圆心和半径，然后分直线l 的斜率不存在和存在两种情况求解即可. 【详解】由22(1)9x y ++=，得圆心为(1,0)C -，半径3r =，
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，此时直线恰好与圆相切，符合题意， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(2)y k x -=-，则
3=，22(13)9(1)k k -=+，
解得4
3
k =-，
所以直线l 的方程为4
1(2)3
y x -=--，即43110x y +-=，
综上，直线l 的方程为2x =或43110x y +-=， 故答案为：2x =或43110x y +-=.
15．如图，直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，D 为C 上异于A ，B 的一点，若AD BD ⊥，则点D 到直线x t =的距离与p 的比值为__________．
【答案】2
【分析】根据题意得到,A B 的坐标，设(002D x px ，由题意可得1AD BD k k ⋅=-，列出方程即可得到结果.
【详解】因为直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，不妨设((2,,2A t pt B t pt 且D 为C 上异于A ，B 的一点，由抛物线的对称性，不妨设(002D x px
则00002222AD BD px pt px pt
k k -+由AD BD ⊥000022221px pt px pt
-+=-
化简可得
()
()
02
021p x t x t -=--，因为0x t ≠，则02p t x =-
即点D 到直线x t =的距离与p 的比值为0
2t x p
-= 故答案为:2
16．若12,x x 是函数()()21e 12
x
f x ax a =-+∈R 的两个极值点，且212x x ≥，则实数a 的取值范围为
_____________． 【答案】2,ln 2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与()e x
g x x
=有两个不同交点12,x x ；利用导数可求得
()g x 单调性，并由此得到()g x 的图象；采用数形结合的方式可确定1201x x <<<且e a >；假设
212x x t ==，由()()12g x g x =可确定2ln 2t =，进而得到()1g x 的值，结合图象可确定a 的取值范围. 【详解】
()e x f x ax '=-，12,x x 是()f x 的两个极值点，
12,x x ∴是e 0x ax -=的两根，又当0x =时，方程不成立，
y a ∴=与e x
y x
=有两个不同的交点；
令()e x g x x =，则()()2
1e x x g x x -'=， ∴当()
(),00,1x ∈-∞时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>；
()g x ∴在()(),0,0,1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，
则()g x 图象如下图所示，
由图象可知：1201x x <<<且e a >； 2
1
2x x ≥，212x x ∴≥； 当212x x =时，不妨令212x x t ==，则2
e e 2t
t
t t =，即2e 2e t t =，2e 2t
∴=，解得：2ln 2t =，
∴当212x x =时，()()2ln 212e 2
2ln 2ln 2
g x g x ==
=， ∴若212x x ≥，则2ln 2a ≥，即a 的取值范围为2,ln 2⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭. 故答案为：2,ln 2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
三、解答题
17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin ()sin a A c C b c B -=-． (1)求A 的大小；
(2)若ABC 为锐角三角形，求b
c 的取值范围．
【答案】(1)π
3
(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】（1）根据正弦定理可得到222a b c bc =+-，进而得到2cos 1A =，即可求出A 的大小； （2）根据三角形内角和为π，且ABC 为锐角三角形，从而可得出C 的取值范围，再将b
c 转化为关
于tan C 的函数即可求解．
【详解】（1）由sin sin ()sin a A c C b c B -=-，
则根据正弦定理有22()a c b c b -=-，即222a b c bc =+-， 又由余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，得2cos 1A =， 所以在ABC 中，得π3
A =；
（2）由ABC 为锐角三角形，且π
3
A =，
则有π02
2ππ032C C ⎧
<<⎪⎪⎨⎪<-<
⎪⎩
，得ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，即tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭
，即(1tan C ∈，
所以根据正弦定理有π1sin sin sin 111322,2sin sin sin tan 22C C C
b B
c C C C C ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭====+∈ ⎪
⎝⎭
． 18．已知直线12:20,:20()l x ay l ax y a a -+=+-=∈R ，若1l 与2l 的交点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；
(2)若圆22:220E x y mx ny +--=
的圆心在直线y =上，且与曲线C 相交所得公共弦MN
的长为
m ，n 的值． 【答案】(1)224(2)x y x +=≠
(2)
1,m n =1,m n =-=
【分析】（1）由12,l l 判断出点P 的轨迹为以AB 为直径的圆(除去点(2,0)B )，进而求其方程; （2）由圆E 的圆心的位置得m ,n 的关系,两个圆方程相减得MN 的方程,由弦长求m ,n . 【详解】（1）当0,2y x ==-
故直线1:20l x ay -+=过定点(2,0)A -，
直线2:l (2)0a x y -+=，当2,0x y ==，故其过定点(2,0)B ， 又110a a ⨯-⨯=,所以12l l ⊥,所以点P 的轨迹为以AB 为直径的圆， 当0a =时，两直线交点为()2,0A -，但交点P 无法与点B 重合， 故需除去点()2,0B
其圆心为原点O ,半径为2r =,所以曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠； （2）由(1)知,曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠，
又圆22:220E x y mx ny +--=的圆心为(,)E m n 在直线y =上,
所以n =,0m ≠，
两圆方程作差得两个圆的公共弦MN 的方程为224mx ny +=,
即20mx -=,
因为两个圆的公共弦MN 的长为原点O 到直线MN 的距离为
1
||
d m =
=,
所以=解得1m =或1m =-,
所以
1,m n =1,m
n =-=19．在正项数列{}n a 中，11a =，2n ∀≥，12
11
3
232
n n a a a a n --+++
=-． (1)求{}n a 的通项公式；
(2)若数列{}n b 满足11b a =，221b a =-，且21ln ln 2ln n n n b b b +++=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：
221n n n T T T ++⋅<．
【答案】(1)21n a n =- (2)证明见解析
【分析】（1）由12
11
3
232
n n a a a a n --+
++
=-可得到12121n n a n a n ++=-，根据累乘法求通项的方法，即可求出
{}n a 的通项公式；
（2）由21ln ln 2ln n n n b b b +++=可知2
21n n n b b b ++⋅=，可判断数列{}n b 为等比数列，根据等比数列的前n
项和公式求出n T ，2
210n n n T T T ++⋅<-即可求证. 【详解】（1）解：已知12
11
,23
232
n n a a a a n n --+++
=≥-①， 则212312a a a -=
⇒=，且11211
,3
23212n n n a a a a
a n n -+-+++
+=--②， -②①，得
1212n n n a a a
n +-=-，整理得121,221n n
a n n a n ++=≥-， ∴325
3a a =，3475a a =，，212325n n a n a n ---=-12123
n n a n a n --=-，， 由累乘法可得()`221
2133
n n a n a n n a -=-=⇒≥， 又11a =，23a =，符合上式， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.
（2）由（1）可知111b a ==，221312b a =-=-=，
因为21ln ln 2ln n n n b b b +++=，所以2
21n n n b b b ++⋅=，
则数列{}n b 是首项为1，公比为
2
1
2b b =的等比数列， ∴()1122112
n n n T -=
=--，
()()()2
22121212121n n n n n n T T T ++++∴⋅---=⋅--()22
22222
221221n n n n n ++++=--+--+20n =-<，即221n n n
T T T ++⋅<，得证.
20．在边长为2的正方形ABCD 外作等边BCQ △（如图1），将BCQ △沿BC 折起到PBC 处，使得PD =E 为AB 的中点（如图2）
．
(1)求证：平面PDE ⊥ 平面PCD ； (2)求二面角E PD A --的正弦值． 【答案】(1)答案见解析 7
【分析】取BC 中点为O ，建立以O 为原点的空间直角坐标系.
（1）设平面PDE 法向量为m ，平面PCD 法向量为n ， 利用0m n ⋅=可证面面垂直.
（2）求得平面P AD 的法向量t ，后用向量法可求得二面角E PD A --的余弦值，后可求得正弦值. 【详解】（1）因四边形ABCD 为正方形，则DC CB ⊥.
又在三角形PCD 中，2PC CD ==，22PD =222PC CD PD +=， 则DC PC ⊥.又CB ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，∩CB
PC C =， 则DC ⊥平面PCD .取BC 中点为O ，AD 中点为F ，连接PO ，OF . 则//,,OF CD PO BC OF BC ⊥⊥.又PO ⊂平面PCD ，则DC PO ⊥， 得FO PO ⊥.
故如图建立以O 为原点，以射线OB 方向为x 轴正方向，射线FO 方向为y 轴正方向， 射线OP 方向为z 轴正方向的空间直角坐标系.
则()()()()()000120100100120,,，,,，,,，,,，,,O A B C D ----， (()003110,，,,P E -.
得()()(103123113,,，
,,，,,PC PD PE =--=---=--， 设平面PDE 法向量为()111,,m x y z =，则111111230
30PD m x y z PE m x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩
，
取(123,,m =-.
设PCD 法向量为()222,,x n y z =，则22222230
30PD n x y z PC n x z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩
，
取()
3,0,1n =-. 因330m n ⋅=-+
=，则平面PDE ⊥ 平面PCD .
（2）由（1）分析可知，平面PDE 法向量为()
123,,m =-. 又()
123,,PA =--，设平面P AD 的法向量()333,,t x y z =， 则333332230
230
PD t x y z PA n x y z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()
032,,t =-. 则43
4342
714334
227
cos ,m t m t m t
⋅=
=
=
=
++⨯+⨯⋅，
又由图可知二面角E PD A --平面角α为锐角，则427
cos α=
， 得二面角E PD A --的正弦值427
1497
sin α=-
=
.
21．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的一个焦点为1(1,0)F -，其左顶点为A ，上顶点为B ，且1F 到
直线AB 的距离为
7
||7
OB （O 为坐标原点）
．
(1)求C 的方程；
(2)若椭圆2
222:(01)x y E a b
λλλ+=>≠且，则称椭圆E 为椭圆C 的λ倍相似椭圆．已知椭圆E 是椭圆C
的3倍相似椭圆，直线:l y kx m =+与椭圆C ，E 交于四点（依次为M ，N ，P ，Q ，如图），且2PQ NQ MQ +=，证明：点(,)T k m 在定曲线上． 【答案】(1)22
143
x y +
=； (2)证明见解析.
【分析】（1）由已知条件推导出2227(1)a b a +=-，221b a =-，由此能求出椭圆C 的方程． （2）分别联立直线与椭圆C 、椭圆E 的方程消元，可证明线段NP 、MQ 中点相同，然后结合2PQ NQ MQ +=可得3MQ PN =，由此可证明.
【详解】（1）
()(),0,0,A a B b -，
∴直线AB 的方程为
1x y
a b
+=-，即0bx ay ab -+=，
1(1,0)F ∴-到直线AB 的距离为d =
=
， 2227(1)a b a ∴+=-，
又221b a =-，解得2a =，b = ∴椭圆C 的方程为：22
143
x y +=．
（2）椭圆C 的3倍相似椭圆E 的方程为22
1129
x y +
=， 设N ，P ，M ，Q 各点坐标依次为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，4(x ，4)y ， 将y kx m =+代入椭圆C 方程，得：222(34)84120k x kmx m +++-=， ∴222221(8)4(34)(412)48(43)0km k m k m ∆=-+-=+->，(*)
122834km x x k +=-+，2122
412
34m x x k -=+，
12x x ∴-， 将y kx m =+代入椭圆E 的方程得222(34)84360k x kmx m +++-=，
342834km x x k ∴+=-+，234243634m x x k -=+，34x x -
1234x x x x ∴+=+，
∴线段NP ，MQ 中点相同，MN PQ ∴=，
由2PQ NQ MQ +=可得NM PN =，
3P MQ N ∴=，所以3412||3||x x x x -=-，
∴3=化简得221294k m +=，满足(*)式，
∴2244193m k -=，即点(,)k m 在定曲线22
44193
y x -=上．
22．已知()2
ln =++f x x x a x （a ∈R ）．
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)若1a =，函数()()1g x x f x =+-，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，()()122112x g x x g x x x λ->-恒成立，求实数λ的取值范围．
【答案】(1)当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；
当a<0时，()f x
在区间⎛ ⎝⎭
上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. (2)15,ln 222⎛
⎤-∞+ ⎥⎝
⎦
【分析】（1）先求出()f x 的导数()2
2x x a
f x x
'++=，根据a 的取值范围进行分类讨论即可；
（2）当120x x >，时，()()122112x g x x g x x x λ->-⇔()()212121
11
g x g x x x x x λ->-，去绝对值后，构造函数求解即可.
【详解】（1）由已知，()2
ln =++f x x x a x （a ∈R ）的定义域为()0,∞+，
()2221a x x a f x x x x
++'=++=，
①当0a ≥时，0f x
在区间()0,∞+上恒成立，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；
②当0a <时，令()0f x '=，则220x x a ++=，180a ∆=->，
解得10x =
<
（舍）
，20x >，
∴
当x ⎛∈ ⎝⎭时，220x x a ++<，∴()0f x '<， ∴()f x
在区间⎛ ⎝⎭
上单调递减，
当x ⎫
∈+∞⎪⎪⎝⎭时，220x x a ++>，∴0f x ，
∴()f x
在区间⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
上单调递增， 综上所述，当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；
当a<0时，()f x
在区间⎛ ⎝⎭
上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭
上单调递增. （2）当1a =时，()()22
1ln ln 1g x x x x x x x =+-++=--+，()0,x ∈+∞，
1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠， ()()122112x g x x g x x x λ->-等价于
()()
122112
12
12
x g x x g x x x x x x x λ
-->， 即
()()212121
11
g x g x x x x x λ->-， 令()()g x h x x
=
，()0,x ∈+∞，则()()2121
11
h x h x x x λ
->-恒成立 ()()()()2222212ln 1ln 2x x x x xg x g x x x x h x x x x ⎛
⎫-----+ ⎪'---⎝⎭'===
， 令()2
ln 2F x x x =--，()0,x ∈+∞，则()2
1122x F x x x x
-'=-=，
令()0F x '
=，解得
x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0F x '>，()F
x 在区间⎛ ⎝⎭单调递增；
当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0F x '<，()
F x 在区间⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
单调递减，
∴当()0,x ∈+∞时，()F
x
的最大值为115
2ln 20222F =--=--<⎝⎭
， ∴当()0,x ∈+∞时，()2
15ln 2ln 2022F x x x =--≤--<，即()22
ln 2
0x x h x x --'=<，
∴()()g x h x x
=
在区间()0,∞+上单调递减，
不妨设12x x <，∴1x ∀，2(0,)x ∈+∞，有()()12h x h x >，
又∵1y x
=在区间()0,∞+上单调递减， 1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，有12
11x x >， ∴()()212111
h x h x x x λ->-等价于()()121211h x x x x h λ⎛⎫->- ⎪⎝⎭
， ∴()()2
121
h x x x h x λ
λ
-
>-
，
设()()G x h x x
λ
=-
，()0,x ∈+∞，
则1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，()()2
121
h x x x h x λ
λ
-
>-
等价于()()12G x G x >，
即()G x 在(0,)+∞上单调递减，∴()()2
0G x h x x
λ
''=+
≤，
∴()2
x h x λ'≤-，∴()2
2
2
ln 2
x x x F x x
λ--≤-⋅=-， ∵当()0,x ∈+∞时，()F x
的最大值为15
ln 222F =--⎝⎭， ∴()F x -的最小值为15
ln 222
+，
∴15
ln 222
λ≤+，
综上所述，满足题意的实数λ的取值范围是15,ln 222⎛
⎤-∞+ ⎥⎝
⎦.
【点睛】本题第（2）问解题的关键点有两个，一个是将()()122112x g x x g x x x λ->-等价转换为
()()21212111g x g x x x x x λ->-，便于构造函数；另一个是通过构造函数()()g x h x x =，借助导数判断出
函数()h x 的单调性去绝对值.。