高中数学常用函数图像及性质

高中数学常用函数图像及性质

1.指数函数

0(>=a a y x 且)1≠a

图像：

性质：恒过定点（0,1）；

当0=x 时，1=y ；

当1>a 时，y 单调递增，当)0,(-∞∈x 时，)1,0(∈y ；当),0(+∞∈x 时，),1(+∞∈y .

当10<<a 时，y 单调递减，当)0,(-∞∈x 时，),1(+∞∈y ；当

),0(+∞∈x 时，)0,1(∈y .

2.对数函数

0(log >=a x y a 且)1≠a

对数运算法则：

N M MN a a a log log log += N M N

M

a a a

log log log -= M n M a n a log log =)(R n ∈ N N a a =log （对数恒等式）

a

N

N b b a log log log =

（换底公式） 图像

y

O

x

)

1(>=a a y x )

10(<<=a a y x 1

性质：恒过定点（1,0）；

当1=x 时，0=y ；

当1>a 时，y 单调递增，

当)1,0(∈x 时，)0,(-∞∈y ；当),1(+∞∈x 时，),0(+∞∈y .

当10<<a 时，y 单调递减，当)1,0(∈x 时，),0(+∞∈y ；当)

,1(+∞∈x 时，)0,(-∞∈y .

指数函数和对数函数的关系：互为反函数

3.初等函数

⑴：2x y ±= 图像

2x y = ：开口向上，)0,(-∞∈x 时，),0(+∞∈y ，函数单调递减；),0(+∞∈x ，

时，),0(+∞∈y ，函数单调递增，且是偶函数。

2x y -= ：开口向下，)0,(-∞∈x 时，)0,(-∞∈y ，函数单调递增；

),0(+∞∈x ，时，)0,(-∞∈y ，函数单调递减。

)

0(log >=a x y )

10(log <<=a x y x

y

O

1

性质：图像都是关于y 轴对称 ⑵：3x y = 图像

性质：R y R x ∈∈,，函数是增函数，也是奇函数 ⑶：1-=x y

1

1

1

-1

-O

x

y

3

x y =O

x

y

1

1

1

-1

-2

x y =2

x y -=

图像

性质：R x ∈且0≠x ，R y ∈且0≠y ；函数在)0,(-∞∈x 内和),0(+∞∈x 内都是单调递减，且函数是奇函数。 ⑷：2

1x y = 图像

性质：),0[,+∞∈y x ，函数为单调递增函数，且是非奇非偶函数。

x

O

y

111

-1

-1

-=x y O x

y

2

1x

y =1

1

5.三角函数

⑴：x y sin = 图像

性质：对称轴2

π

π+=k x ；对称中心)0,(πk ；函数是奇函数；周期π2=T ；

函数在区间)2

2,2

2(ππππ+-k k 上单调递增，在区间)2

32,2

2(π

ππ

π+

+k k 上单调递减。 ⑵：x y cos = 图像

O

π

π

2π

-π

2-1

-1

x

y

性质：对称轴πk x =；对称中心)0,2

(π

π+k ，函数是偶函数；周期π2=T ；

函数在区间)2,2(πππk k -上单调递增，在区间)2,2(πππ+k k 上单调递减。 ⑶：x y tan = 图像

性质：对称中心)0,2

(

π

k ；函数是奇函数；周期π=T ；函数区间)2

,2

(π

ππ

π+

-

k k 内单调递增。

6.椭圆

O

1

-1

x

y 2

π-2

3π2

π23π-π

2

3π2

πO

2

π-

π

-2

3π

-

x

y

⑴：标准方程：)0(122

22>>=+b a b

y a x 图像如下

性质：范围a x a ≤≤-，b y b ≤≤- 顶点：)0,(a ，)0,(a -，),0(b ，),0(b - 焦点：)0,(1c F -，)0,(2c F

准线：e

a

c a x ±=±=2

对称轴：关于x 轴，y 轴及原点对称 两轴：长轴长为a 2，短轴长为b 2 焦距：)0(2||21>=c c F F ，222b a c -= 离心率：)10(<<=e a

c e

⑵：标准方程：)0(122

22>>=+b a b

x a y 图像如下

x

y

O

1

F 2

F M