高中物理竞赛讲义之—程稼夫篇

电磁学
静电学
1、 静电场的性质
静电场是一个保守场，也是一个有源场。

F dl o ⋅=⎰ 高斯定理
静电力环路积分等于零 i
o
s
q E ds E ⋅=
∑⎰⎰
电场强度与电势是描述同一静电场的两种办法，两者有联系
a
b E dr U
U ⋅=-∑ ①
过程 E dr dU ⋅=-
一维情况下 x dU
E dx dx
=-
x dU
E dx
=- ② 2、 几个对称性的电场
（1） 球对称的电场
均匀对电球面
均匀带点球体
例:一半径为1R 的球体均匀带电,体电荷密度为ρ,球内有一半径为2R 的小球形空腔,空腔中心与与球心相距为a ,如图
(1)求空腔中心处的电场E
(2)求空腔中心处的电势U
解:(1)在空腔中任选一点p ,
p E 可以看成两个均匀带电球体产生的电场强度之差,
即 ()121
2
333p o
o
o
E r r r r E E E ρ
ρ
ρ
=
-
=
-
令12a o o =
这个与p 在空腔中位置无关,所以空腔中心处23o o
E a E ρ
=
(2)求空腔中心处的电势
电势也满足叠加原理
p U 可以看成两个均匀带电球体产生电势之差
即 ()()()22222
2212123303666o o
o
o U R a R R R a E E E ρ
ρ
ρ⎡⎤=
--
-=
--⎣
⎦
假设上面球面上,有两个无限小面原i j s s ,计算i s ,受到除了i s 上电荷
之处,球面上其它电荷对i s 的静电力,这个静电力包含了j s 上电荷对i s 上电荷的作用力.
同样j s 受到除了i s 上电荷以外,球面上其它电荷对j s 上电荷的作用力,这个力同样包含了i s 对j s 的作用力.
如果把这里的i j s s 所受力相加,则,i j s s 之间的相互作用力相抵消。

出于这个想法，现在把上半球面分成无限小的面元，把每个面元上所受的静电力（除去各自小面元）相加，其和就是下半球面上的
电荷对上半球面上电荷的作用力。

求法
:
2
2
222
2=f 224o o o R Q F R R E E R σππππ⎛⎫=⋅==
⎪⎝⎭
再观察下,均匀带电球面上的电场强度=?
通常谈论的表面上电场强度是指什么?
例:求均匀带电球面(),Q R ,单位面积受到的静电力?o f =
解:令()R R R
R R →+≤
过程无限缓慢
得出此过程中静电力做功的表达式:
或者算出2o o
f E E E σ
σ=⋅=
表面表面
而且可以推广到一般的面电荷()σ
在此面上电场强度 ()121
2
E E E =
+表面 例:一个半径为R,带电量为Q 的均匀带电球面,求上下两半球之间的静电力?
解:原则上,这个作用力是上半球面上的电荷受到来自下半球面的电荷产生的
电场强度的空间分布,对上半球面上各电荷作用力之和,由于下半球面上电荷所产生的电场强度分布,所以这样计较有困难.
例:求半径为R,带电量为Q 的均匀带电球面,外侧的静电场能量密度.
解:静电场(真空)能量密度 21
2
o E E ω=
本题球面外侧: 2
14o Q
E E R π=
推论:如果在上述带电球体外侧无限空间中充满了相对电常数为r E 的多向同
性均匀电合质,
下面求张力:它等于右半球表面所收到的静电力之和
前面求出过
本小题:,0
3d E ρε=
本题:
导体球放在匀强电场中,产生感应电荷的分布,令为
由于要求导体内0E =
例:一个半径为R,原不带电的导体球放置于匀强电场o E 中,求由于静电感应所产生的感应电荷,所带来的两半球之间新增
的张力.
解:预备知识:
⑴一个半径为R 的均匀各向同性介质在匀强电场中受到极化,求极化电荷
的分布.
解:
o θ=时,
o d σρ=
⑵求极化介质球,由于极化电荷所产生的介质球内的电场强度,E 例:带电圈环:,R q (均匀带电)
求图中带电圈环与带电半直线之间的相互作用力.
解:这题取下面方法:
先求均匀带电半直线产生的电场强度,对均匀
带电圈处的电荷的作用力
上图中圈环上的点离半直线两端点的距离为
R,环上P点处的电场强度,可以用辅助1
4
圈弧(λ)在P点产生的场强大小.
圈环受到合力在
,o
qλ均为正值时，方向向左，大小为
在达到静电平衡的整个空间中，如果有一个处于静电平衡的带电面，在计算此面上某处受到的静电力，无需用整个空间中的各带电体，面，线，点，计算对其作用之和，只需先求出此面上该处的电场强度，该表面受到的静电力。

其原因是，这样的计算，已经考虑了全空间电荷的作用，不必重复考虑。

例：一个半径为R，带电量为Q的均匀带点表面，求因表面带电所增加的表面张力系数。

解：法一：球面上取一个小面元，半径为r，此面受两个力平衡：
静电力，沿径向向处，大小为此面元边界上新增表面张力的合力，径向向里，设新增表面张力系数为α
大小为
力平衡方程：
2
2
2
o
r d f r
R
π
π=
柱对称电场
场源E U
3、带电荷粒子在电场中的运动
例1：一个带点粒子从一开始就在垂直于均匀带电的长直导线平面内运动，它从这
导线旁飞过，最后与开始入射方向偏转小角度α，
如图，如果当粒子飞入带电直线电场中时，它的动能为k E ，电量为e ，导线单位长度带电量为λ，离导线距离γ处电场强度设为r
E 02πελ
=
，求α=？
解：本题情况，一般入射粒子速度比较大，由于速度快，所以带电直线受到的横向
冲量就比较小（时间短），这样产生的α角度就会如题中告知是一个小量，
利用微元法处理，当带电粒子到达位置ψ时相距位矢量为，此刻带电粒子受力大
小
r e eE F 02πελ=
=，ψπελ
ψcos 2cos 0r
e F F y =
= 此刻y 方向动力方程为
其中dt 可以利用x 方向动力学方程表达
其中dx 与d Ψ满足关系（如图所示几何关系）
化简整理∑
∑-
=
2
2
02π
π
ψπεy
v y x
dv d mv ey
利用y x x x v v e mv E =⇒=
2421ελ 例2：如图所示一很细、很长圆柱形的电子术由速度为V 的匀速运动的低速电子组
成，电子在电子束中均匀分布，沿电子束轴线每单位长度包含n 个电子，每个电子的电荷量-e （e>0）,质量为m ，
该电子束从远处沿垂直于平行板电容极板方向射向电容器，其前端（右端）于t=0
时刻刚好达到电容器左极板，电容器两极板上多开一个小孔使电子可以不受阻碍地穿过电
容器两极板AB,加有如图所示的变化电压AB V ，电压的最大最小值分别为00,v v -+，周期为T ，若以τ表示每个周期中电压处于最大的时间间隔，则)(τ-T 是周期中电压处于最小的时间
间隔，已知τ的值正好使在AB V 变化的第一个周期内通过电容器达电容器右边的所有电子，能够在某一个时刻b t 形成均匀分布的一段电子束。

设两级间距很小，，电子穿越时间，且026eV mV =,不计电子间相互作用
（1） 满足题给条件的τ，0t 的值分别为？
（2）
试在下图中画出t=2T 那一刻，在0——2T 时间内通过电容器的电子在电容
器的右侧空间形成电流I,随离开右极板距离x 的变化曲线，并在图上标出图线特征点的横、纵坐标。

取X 正方向为电流正方向，图中x=0处为右极板B 的小孔位置，横坐标单位
m
ev T
S 0= 解：（1）第一个周期内通过的所有电子在通过前是一段速度为V 的均匀电子束（孔
的左侧）。

通过小孔以后，分成两段速度不同的电子束。

0——τ时间内，所加电压为0V +，通过小孔后速度由V 减小，设为V1，满足关系
τ——T 时间内，所加电压为0V -，通过小孔后速度由V 增大，设为V2，满足关系式，
再由题中告知：τ的值正好在AB V 的变化的第一个周期内通过电容器达右边的所有电
子，能够在b t 时刻形成均匀分布的一段电子束V
此话要求①在t=b t 时刻，达到小孔右侧的这两束电子束在前端应该在某处相重 ②达到小孔右侧的两电子束的长度相等 由此可写方程
得到2
12V V T V +=
τ
所以m eV V 012
=，m
eV V 0
222= （3） 由于T t b 2=，观察的就是这个时刻右侧空间的电流分布，应该确定两件事情：
① 电流在空间位置的分布
② 电流强度的大小分布
电子束长度
4、静电势能、电势
例1：如图所示N 对e 、-e 离子，等间距a ，沿直线排列 （1） 设∞→N ,试确定某个e 的电势能+W 和-e 的电势能-W （2） N 足够大时，+W -W 近似取小题（1）的结论，求系统的电势能W
（3）
N 足够大时，将非边缘的一对离子e 、-e 一起缓慢地移到无限远，其余离
子仍在原位，试求外力做的功A.
提示 (3)
2
)1ln(3
2
-+
-
=+x x x x
解：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅-++-=+...34442000a e
a e a e U πεπεπε
（2）足够大的N,
（4） 将一个正离子缓慢移到无限远处，余下系统电势能+-W W
此时该正离子的空位相邻的一个负离子的所具有的电势能为a
e W W 02
4'πε-==--
再将该负离子移到无限远处，余下系统的电势能'1-+--=W W W W
无限远处负离子移到正离子旁边，这一对正负离子的电势能a
e W 02
24πε-=
利用动能关系，求出外力做功
例2 如图两个点电荷位于X 轴上，在他们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，
则X 轴上多点的电势如图曲线所示，当0→x 时，电势∞→U ;当∞→x ，电势0→U ，
电势为零的坐标为0x ;电势极小值为0U -的点的坐标为0x α（α>0）,试根据图线提供的信息，确定这两个点电荷所带电的符号，电量的大小以及在X 轴的位置。

解：由图中信息可知，带正电荷的电荷Q1在x=0处，由于0x x =处电势为0，所以
另一个点电荷必须为负（-Q2）.它在x<0的位置上（设距离x=0距离为a ）
利用图中x=0点电势为零方程：
X 在0x α处，合电势为0U -,方程
X 在0x α处，合电力等于0,方程
联立三个方程得到
0)2(x a -=αα，k
U x Q 0012-=αα，k x U Q 00222)1(--=ααα 例3：在水平平面上有两相垂直相交的内壁光滑的联通细管，管内放置两个质量均为m ，电荷量均为q 的同号带电质点为A 、B,初始时质点A 至两管交点O 的距离为d ，质点B 位于交点O 处，速度相互垂直，方向如图，大小均为md kq u 20=
求质点运动中，它们之间的最小距离
解：通常，这里应该采用两质点的相对运动处理。

设运动过程中，A,B 两质点的位置矢量为,A r B r ,则相对位矢为A B r r r -=
分别写出A 、B 两质点的动力学方程，然后写出相对动力学方程：
r e r
kq a m 22
=（其中a 是B 相对A 的相对加速度） B 在运动时所受的力只有相反向的静电力，这个静电力是个有心力，同时又是一个保守力，上述两个方程为角动量守恒，守恒量可由初始值确定。

初始时，相对于A 的运动为右图，守恒方程——联系初态和相距最近状态，m m v r , 联系消去m v ，解得m r 解之前利用22020kq mdu md
kq u =⇒= 联立解得0u r d v m
m =，d r m 451+=
例4：电荷均匀分布在半径为R 的圆面上，电荷量的密度为σ，试求园面边缘的电势。

解：利用∑=r
dq k u 0，其中dr r dq m θσ2⋅=（这里m θ是r 的函数） 电势和电势能
例1：当电荷连续分布时，求静电能量有两个公式
∑=udq W ，∑=udq W 21
试说明这两个公式的物理意义，并以平行板电容为例，分别利用上述公式求出它在电容C ，蓄电量为Q 时的静电场。

解：（1）利用∑=udq W 计算
（2）利用∑=udq W 21
计算
)(Q U dq U i -=∑--,)(Q U dq U i +=∑++
导体旁移动电荷，求外力做功
例1：如图一个原来不带电电荷的同心球壳，内外半径分别为a ，b ，球心处放一个点电荷，电量为Q
现在用外力把此点电荷从球心移到无限远处，求外力做功等于多少？
解：由于在Q 移动过程中，导体球壳表面感应电荷变化，所产生的电场不是静电场，因此需要另外想办法。

初始时刻，Q 未移动之前，在Q 处，导体球壳内，外表面的感应电荷产生的静电场有电势，其值：
（
另Q=nq ，然后逐个移动q 计算外力做功
.
.
外力做功之和
其中初始吧Q=nq （分散），移到无限远，又把nq=Q （集中）,合起来做功为零。

解法二：
如图 外力做功a
-b ab 4其中,2'020πε==-=C C Q W W A f 例2：一块接地无限大导体平板，离板距离为a 处有一个带电量为Q 的点电荷，现在吧Q 沿垂直于板的方向移到无限远处，求外力做多少功？
解法一：上一例的解法
解法二：。

解法三：
设移动Q 过程中离板距离达到X ，且移动缓慢，移动过程中外力始终等于作用在Q 上的静
电力，即
所以外力做功为
电场线
例1：计算在通过导体面上以0为圆心，R 为半径的圆上的电量等于由Q 发出的全部电量一半的条件下，求R=?
解：一个方法是先求出导体面上相对于0的表明感应电荷面密度的分布，求出半径为R 的园面上电量为2
1 时，R=? 这里采用初等方法，由于导体板右侧电场强度分布是由点电荷Q 和导体板上感应电荷共同激发产生，或者等价的认为：导体板右侧电场分布是由点电荷Q 及其相应的电荷-Q 共同激发产生。

由于右侧空间电场强度分布的非球形对称性，所以计算通过导体板上半径为R 的园面上电通量较困难，这是因为右侧的电场，已经由Q,-Q 两点电荷产生的场叠加后形成的分布。

这里采用方法是：在计算通过导体板上园面的电通量宁可不用叠加后的电场计算，而用叠加前的由Q 发出，由-Q 吸收的两个球对称的电场来处理，其结果显然是相同的。

以Q 为球心，r 为半径做一个球面
假设由Q 发出的电量为N,那么具有球对称的，由Q 发出的电通量，通过圆的电通量为 同样，由-Q 吸收电场线，通过导体上同一个园面上的电通量必为这个值，而且通量方向相同。

写出通过圆面电通量的方程：
对应的R 为：a R a R tg 3,3==π
例2：一个半径为R 的接地导体球，球外距球心为d 处放置一个电量为q 的点电荷A,已知导体球面上0θθ≤，区域的感应电荷量为q 2
1-，求0θ 解：本系统球外有一个点电荷Q 和导体球上感应电荷共同激发产生的电场分布，或者说球外有一个由电荷q 及其相应的电荷q d
R q -=' 如图 几何关系：R
x d R q q r r ==='21 化简整理得：)3(2cos 2230d R R d -=
θ 例3：点电荷+q 和-q ’（q ’<q ）分别位于x 轴上A.B 两点，A,B 的距离为L ，从+q 发出的某一条电力线与连线AB 成α角度，
求：（1）求该电场线最终的场线与x 轴间的夹角
（2）求该电场线或其最终的场线与x 轴的交点c 的位置
解：题给的那条由q 发出的电场线将来去向何处，首先应该在q 发出的千万条电场线中找出一条能达到B 而未达到B 的那条电场线在A 发出时与AB 的夹角α0
由于点电荷发出或者接受的电通量与该电荷的电量成正比，所以在写电量时均对应的电量
表示，
（1） 当0αα<时，题给的电场线将在B 点，设这条电场线最终与AB 夹角为β 解得⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=)cos 1('1arccos αβq q （2） 当0αα>时， 解得⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-=1)cos 1('arccos αβq q q 当0αα<时，c 点即为B 点
如图,21r r ≈
ΔPCA 中，ϕθsin sin 1
1
r x =
ΔPCB 中，ϕϕsin sin 2
2
r x =
利用21r r ≈，ϕ
θsin sin 21=x x 又),,('q q E E E 三角形中，
ϕθsin sin 'q q E E = 所以q
q x x '21=，另一个方程L x x =-12 L q q q X ''1-=⇒,L q q q X '
2-=⇒
例4.；两条均匀带电的无限平行直线，单位长的电荷量分别为λ和-λ，相距2a ，两带电线构成的平面为Z-X 平面，使Z 轴与两线平行且距离相等，取直角坐标，试证明。

（1） 电势为U 的等势面半径为122-=k ka r 的圆柱面，其中⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=λπεU k 02exp ，圆柱的轴线与两带电的直线平行且共面，位置在x 轴上，a k k x 1
1220-+=处。

（2） 在X-Y 平面上，电场线的方程为0222=--+a by y x ，即圆心在y 轴上的圆，其
中b 为常量。

证明：本系统是一个相对Z 轴具有一定对称性的系统，即在任意一个垂直于Z 轴平面内，电场的分不相同，所以可在X-Y 平面内讨论
（1） 写出P(X,Y)点处的电势表达式，设为U
222)(y a x r +-=+，222)(y a x r ++=- 因为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=λπεU k 02exp ，整理后的 22222212)11(⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=+-+-k ka y a k k x 得证 （2） 在X-Y 平面内，如图写出P(X,Y)点电场强度为
在P 点电场线的斜率
整理得
所以0222=--+a by y x 得证。

例：两个导体相距很远，其中一个导体带电荷Q1，电势为U1，另一个导体带电荷为Q2，电势为U2，电容为C 电容器原来不带电，现在用极细的导体将它与两个导体相连，如图所示，求，电容器充电后的电压。

解：用细导线相连，电容器冲电，并使电容器两极板间电势差为U,则此时电容器带电量为Q=CU ，因此导致两导体带电量变为（Q1-CU ）.(Q2-CU)
由于孤立导体所带电荷量与导体之比为Q/U,与其带电量多少无关，因此，末态两导体的电势','21U U 满足1111)('Q U CU Q U -=,2
222)('Q U CU Q U += 两导体间电势差等于电容器的两极板间电势差，即 解得)()(11221212121221121Q U Q U C Q Q U U Q Q Q U Q U C U U U ++-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-= 由于无限长带电直线上无限多个无限小线小线元与辅助半圆上无限多个无限小弧之具有对应关系，所以ΔL 在P 点产生的电场强度与ΔL2在P 点产生的电场强度完全相同。

所以P 点的电场强度用同样带有λ的带电辅助半圆在P 点产生的电场强度代替。

下面计算：‘
P 点电场强度大小——在P 点放一个单位正电荷，它受带电半圆的作用力大小。

——P 点处单位正电荷对带电半圆的作用力大小
——它等于带电半圆上单位长带电量受到P 处单位正电荷的作用力
ar L a r L E ∆⋅=⋅∆⋅=∆λπελπε02041241
,利用图θcos 1L L ∆=∆
作一个辅助圆（以P 点为圆心，a 为半径作半个圆（与常电直线相似）利用
a
r 21L L ∆=∆，带入上式子 无限长带电直线上任意一段无限小带电线元ΔL 在P 点产生的电场强度大小和方向正好等于同样带电线密度为λ的一段对应的弧元ΔL2在P 点产生的电场强度的大小和方向。

解法：如图，在无限大带电平面上，任取一无限带电元ΔS, S q ∆=∆σ 利用2221a S r S ∆=∆
此式子告诉我们：在无限大均匀带电平面上，任意一个无限小面元在P 点产生的电场强度在Z 方向分量正好等于辅助半球面上对应的小球面元ΔS2上电荷在P 点产生的电场强度的大小。

再求无限长带电直线周围电势分布
r e r E λπε021
=（柱坐标） 所以r U ln 20
πελ-= ，则P 点的电场强度（一定时Z 方向）等于
例：如图计算无限长均匀带电直线周围电场强度表达式
解：方法一：利用高斯定理
如图：带电直线为轴取高为ΔL1，半径为r 的高斯面
0d 上底=⋅⎰⎰S E ，0d 下底=⋅⎰⎰S E
方法二：初等方法
例：平面对称的电场，无限大带电平面，σ，求周围电场强度。

解法一：利用高斯定理
如图取一个高斯面
例：有三个同心的导体薄球壳，半径分别为a ，b ，c ，其中内、外球壳均接地，而中间球壳是由两个半球壳拼接而成，且其中带有一定电量。

试问：三个球壳半a ，b ，c 之间满足什么关系，才能使中间球壳的两部分不会相互分离
解：设内、外球壳因感应产生带电量分别为c a Q Q ,,中间球壳带电量为Q
根据题意可知，内、外球壳接地，电势为零，可以列方程：
再求中间球壳受力方向（向外为正）
中间球壳两半球不分离的条件是球壳上受到的合力小于等于零
带入Qa ，整理可得
0)(222≤-+-==a c b bc ac ab b
Q k QE F b b （两半球不分离条件） 用c>a.
条件为02≤+-bc ac ab
例：在正N 变形的顶点上依次分布着电荷，所带电量公差为q 的等差数列，即q ，2q ，3q …Nq,从N 边行中心到任意一个顶点的距离均为R ，求多边形中心电场强度E 的大小 解：（1）先确定N 边行带电系统在中心O 点的合场强方向
① 当N 为偶数时，图（b ）作N1边中垂线'XX (过O 点)设想以'XX 轴将正N 边行对折，
即将右边1,2,3…多点叠加在右边N,N-1，N-2…上，各点电荷量均为（N+1）q ，由对称性，各点在O 点引起的电场元矢量和的方向垂直于'XX 轴，可知原系统在O 点的和电场方向必与'XX 轴垂直。

这是因为对折前后沿'XX 方向电场分量为0
② 当N 奇数时，同样做中垂线'XX ，设想以'XX 为轴将正N 边行对折，即将右边1,2,3…多点叠加在右边N,N-1，N-2…上，叠加后，除'XX 轴上的一个顶点的电量为q
N 21
+（下端）除外，其余多点的电量均为（N+1）q 。

再将与图（c ）所示系统关于'XX 轴成完全对称的另一个系统（第二次叠加）与之叠加，叠加后的系统如图（d ），此新的系统多顶点的电量均为（N+1）q ，因此这个系统的中心0点，电场强度为0，因此图（c ）所示系统在O 点的电场强度没有沿'XX 轴方向的分量。

由此可知，原系统在O 点合场强方向必与'XX 轴垂直，
综上可知，无论N 为什么数，原系统在O 点的合场强方向垂直
（2）现取N0为'Y Y 轴，将两个N 边行带电系统关于'Y Y 轴镜像对称地叠加如图（e ）， 此时除N 点电荷为2Nq ，其他多点电荷均为Nq ，显然两个系统叠加后再O 点引起的合场强方向沿'Y O 方向大小为
20R
Nq k E =,每个系统对应场强与0E 关系为 这就是原正N 边行中心处电场强度E 的大小
电偶极子
观察远处电场强度时，可用一个量来代表这个电偶极子：
电偶极距q p e =
小结：（1）电偶极子的电偶极距q p e =
（2）电偶极子在其延长线方向和中垂线上的电场强度分布
如图所示
3011241r p E πε=，30141
r p E πε= （3）如图所示，
在p （r ，θ）点处，电偶极子的产生电场强度分量为
（4）电偶极子在p （r ，θ）处产生的电势，如图
3041
r r p U πε=，或者30
cos 41r p U θπε= E 与U 的关系
2121U U d -=⋅∑,dX
dU E x -
= 柱坐标下∇
（5）电偶极子在外电场的势能（如图所示）
例：
解：分析
t=0时产生大的一个微粒，由于此时以及随后A 板加上正电压U0，所以这个带负电的微粒，将被加速。

这个微粒可以有T/2的加速时间，在这段时间内，设微粒可以经历的路程为X ，
依据所给表达式
所以x>L
这个说明t=0时产生的第一个微粒可以到达A 板
① 设10t t t =→=这段时间产生微粒正好能全部到达A 板，这里最后产生的那个微粒刚
好能到A 板，这个微粒产生后向A 板加速的时间设为Δt1，则
t t T
∆+=12，求t1，如图所示
找方程,设加速度a ，
五个方程，五个未知量，联立求解得 说明：41T t t ==时刻产生的那个微粒未到A 板
② 假设某一个时刻产生的一个微粒，将要到达但是还未到达A 板，掉过来反向加速，求到
达B 板需要多长？（近A 板时，速度为零） 利用题给式子⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20222163T m q U L 4
23T =τ 反向向B 加速时间为)4
(238382T T T
T
==- 这个微粒可足够时间到达B 板，这种情况正好是
4T
t =时，在A 板附近的那个微粒。

③ 24T
t T
t =→=时间内产生的那个微粒
可以肯定，这些微粒不能到达A 板，而且在距A 板前一段距离停止，然后反向加速，反之，那么这些微粒到达B 板需要?1=τ
如图所示，A 板处，在02v -的作用下已经经历了8T <的时间，所以反向向B 的加速时间将1τ>，而离A 板较远处开始向B 板加速到达B 板时间将τ<，因此2
4T t T t =→=
内产生的微粒，在掉头向B 加速过过程中有更富裕的时间到达B 板。

最后的结论：在20T
t t =→=时间内产生的微粒，只有40T
t t =→=内产生的微
粒可以到达A 板，粒子数目为80
例：细直开口管子质量为m ，可无摩擦的沿线滑行，管子均匀带电Q ，长度为l.系统处于图中所示的电场中，在画箭头区域为均匀电场，场强为E,未画箭头的区域宽度为L>l 、无电场。

求：管子的振幅A 沿线振动的周期。

解：（1）当长度为X(X<l)的管子进入到电场中时，管子受到的电场力为
可见管子进入电场的过程中受力与位移大小成正比，与位移方向相反的力作用，管子在这个阶段做简谐振动。

（2）设管子振动到振幅位置，管子左（右）端进入左（右）电场边界距离为0X ,由图中几何关系l A L X +=+220 解得2
20L l A x -+=
下面分两种情况讨论管子运动周期
① 当l x ≤0时，即到达振幅位置时，管子还未完全进入到电场区域。

这种情况，管子
的振动周期由两部分构成
A:电场区域的一个全振动时间E T
B:无电场区域来回的匀速直线运动时间0T
k m T E π2=，0
0)(2v l L T -= 式子中0v 为管子做简谐振动的最大速度，即管子在无电场区域运动速度。

根据简谐振动运动过程0
00x m k x v ==ω 带入0T 表达式)22()(2)(200L l A m k l L x m k l L T -+-=-=
② 当l x >0时，即振幅位置时管子已经完全进入到电场区域，这种情况管子的振动周
期由三部分组成：
A 、无电场区域匀速运动0T
B 、管子未完全进入电场区域时简谐振动时间E T
C 、管子完全进入电场区域后，在电场中作匀变速直线运动'E T
设管子完全进入电场区域时速度为t v ，管子在电场中作变速直线运动，速度为m
QE ，位移
)(0l x -，有)(20
l x m QE v t -= 设管子刚进入电场区域时速度，即管子做简谐振动的速度为0v ，能量守恒： 从中解得
)(2020l x m
QE l m k v -+=，利用)(l QE k = 再利用简谐振动的规律t v v t ωcos 0=，得到
这个t 是管子在一个周期内，在电场区域作简谐振动所需时间的四分之一，因此 再由QE l x m l L v l L T )(2)(2)(2000--=-= 将)(l QE k =，220L l A x -+=带入得到最后结果。