测试信号分析与处理-第9章(打印版)

最直接的方法，将：
ω p , ωs , α p , α s
Ω p , Ωs
ω 利用： = ΩTs
α p , α s不变.
数字滤波器的 单位抽样响应
模拟滤波器的 单位冲激响应
∞
利用前面介绍的方法，可设计出模拟滤波器
令： h(nTs ) = g (t ) |t = nTs = g (t )∑ δ (t − nTs )
s
0
1 于是: p (t ) = Ts
k = −∞
∑e
∞
j kΩ s t
- 15 -
1 采样函数 p (t ) ： p (t ) = ∑ δ (t − nTs ) = Ts n = −∞ 采样函数 p (t ) 的频谱：
⎡1 P( jΩ) = F [ p (t ) ] = F ⎢ ⎣ Ts
∞ k =−∞
n =0
G ( p ), G ( s )
z = e sTs , s = 1 ln z Ts
⇒
H ( z)
s= 1 ln z Ts
H ( z ) = G (s)
×
- 10 -
冲激响应 不变法
- 11 -
本次课程内容安排
第9章 §9.1 §9.2 §9.3 无限冲激响应 (IIR) 数字滤波器的设计 用冲激响应不变法设计IIR数字滤波器 用双线性变换法设计IIR数字滤波器 数字高通、带通及带阻滤波器的设计
转移函数 H (z ) 与 G (s ) 之间的关系
1 = Ts
k =−∞
∑ G(s − j T
2π
s
k)
- 21 -
§9.1 用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器
冲激响应不变法是把模拟滤波器的 S 平面变换成数字滤 波器的 Z 平面。 变换关系式:
ω = ΩTs
Ω:−
π
Ts
~
π
Ts
⇔ ω : −π ~ π
1 = Ts = = 1 Ts 1 Ts
∞
− Ωc 0 Ωc P ( jΩ ) 2π Ts
0
Ω
p(t )
∫
∞
−∞ ∞
G ( jτ ) ∑ δ (Ω − kΩ s − τ )dτ
k = −∞ ∞ −∞
∞
…
0
Ts … ) g (t )
t
…
− Ωs
Ωs
…
Ω
k = −∞ ∞
∑∫
G ( jτ )δ (Ω − kΩ s − τ )dτ
) G ( jΩ )
…
0
- 18 -
k = −∞
∑ G( jΩ − jkΩs )
n
…
− Ωs − Ω c 0 Ω c Ωs
Ω
- 19 -
) 1 G ( jΩ ) = Ts
k =−∞
∑ G ( jΩ − jk Ω )
s
1. 连续信号经理想采样，其频谱将以采样频率 Ωs 为 间隔而周期重复。 ——频谱的周期延拓 2. 若 g (t ) 是最高频率不超过采样频率一半 Ω s 2 的限带 信号，则其频谱和各次延拓分量的谱彼此不交叠，可 不失真地恢复。——Shanon (Nyquist) 采样定理 否则，需加抗混叠滤波器，滤除一切高于 Ω s 2 的频 率成分。
s
∞
k =−∞
−n
∑
G (s − j
2π k） Ts
∑ g (nT ) z
s
z = e sTs z = e sTs
⎧G ( jΩ) G ( jΩ ) = ⎨ ⎩0
Ω < Ωs 2 其它
- 20 -
n =−∞
∑ h( n) z
z=e
sTs
∞
−n
z = e sTs
∞
= H ( z)
于是， H ( z )
s s ∞ −∞
∞
− st
dt
得到模拟低通、高通、带通、带阻滤波器 H ( s ) 得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器 H ( z )
-6-
n = −∞ ∞
∑ x(nTs )∫ δ (t − nTs )e −st dt ∑ x(nT )e
s − snTs
-7-
n = −∞
从拉普拉斯 (L) 变换过渡到 Z 变换：
s
∞
− sTs n
转换成模拟滤波器的技术指标 Ω p , Ω s , α p , α s (更多) 转换成模拟低通滤波器的技术指标
记 z = e sTs ， ( z ) = X ( s ) ，将 x(nTs ) 简记为 x(n) ， X 有 X ( z) =
λp , λs , α p , α s
n = −∞
λp , λs , α p , α s
) ∞ ) ) 被采样信号的 L 变换： X ( s ) = L [x (t )] = ∫ x (t )e − st dt
−∞
n = −∞
∑ x(nT )δ (t − nT )
s s
设计模拟低通滤波器 G ( p)
s⇒z
=∫ = =
∞
−∞ ∞
n = −∞
∑ x(nT )δ (t − nT )e
被采样信号：
∞ ) x(t ) = x(t ) ∑δ (t − nTs ) n=−∞
数字IIR滤波器设计的具体步骤：
给定数字滤波器的技术指标
ω p , ωs , α p , α s (更多)
) ) 被采样信号的 L 变换： X ( s ) = L [x (t )] =
)
n = −∞
∑ x(nT )e
− Ωs
∞ s
Ωs
s
…
Ω
利用公式
2π = Ts = Ωs
k =−∞ ∞
∑ δ (Ω − k Ω )
s s
∞
∫
∞
−∞
e± jxt dt= 2πδ ( x)
n=−∞
∑δ (t − nT ) ⇔ Ω ∑δ (Ω − kΩ )
k =−∞
Ωs =
2π Ts
k =−∞
∑ δ (Ω − k Ω )
- 16 - 17 -
∞
k = −∞
∑e
∞
jkΩ s t
时域的冲激串
频域的冲激串
∑e
∞
jk Ω s t
⎤ ⎥ ⎦
p(t )
…
0
∞
Ts …
t
s
…
P ( jΩ ) 2π Ts
0
∞ ⎡1 ⎤ = ∫ e − jΩt ⎢ ∑ e jk Ωst ⎥ dt −∞ ⎣ Ts k =−∞ ⎦ ∞ ∞ 1 = ∑ ∫ e − j( Ω− k Ωs )t dt Ts k =−∞ −∞
被采样信号：
) g (t ) =
n = −∞
p (t )
∑ g (t )δ (t − nT ) = g (t ) p(t )
s
…
0
…t
1 ck = Ts =
t
∫
Ts 2
Ts −2 Ts 2
p (t )e
− jkΩ s t
1 dt = Ts 1 Ts
∫ ∑ δ (t − nT )e
Ts −2
Ts 2
∞
数字滤波器转移函数 H (z ) 与模拟滤波器传输函数 G (s ) 之间的关系： ) 1 ∞
G ( jΩ ) =
) 1 令 s = jΩ ， 则 G ( s ) = Ts
) ) 另外， G ( s) = Z [ g (t )] = =
∞ n =−∞
Ts
k =−∞
∑ G ( jΩ − j k Ω )
滤波器的转移函数：H ( z ) = ∑ h ( n ) z
n=0
∞
−n
本次课程内容安排
第9章 §9.1 §9.2 §9.3 无限冲激响应 (IIR) 数字滤波器的设计 用冲激响应不变法设计IIR数字滤波器 用双线性变换法设计IIR数字滤波器 数字高通、带通及带阻滤波器的设计
以滤波器冲激响应的延续长度来划分，数字滤 波器可分为两类： 无限冲激响应数字滤波器
2π k )Ts Ts
z = eσTs ⋅ e jΩTs = eσTs ⋅ e
z = e sTs
j( Ω +
(k 为任意整数)
⎧ s = σ + jΩ ⎨ jω ⎩ z = re
S 平面
⎧r = eσTs ⎨ ⎩ω = ΩTs
当 σ 不变， Ω 每变化
jΩ
3π Ts
π Ts
0
2π 整倍数时，映射值不变。 Ts
模拟滤波器 VS 数字滤波器
模拟滤波器： 硬件结构简单
测试信号分析与处理(9)
——IIR数字滤波器设计
不便于实现高阶次 不便于灵活调整参数和结构 (硬件调整) 滤波器参数易受外界环境影响 数字滤波器： 硬件结构复杂 便于实现高阶次 参数和结构调整灵活 (软件调整) 滤波器参数不受外界环境影响
-1-
-3-
) 1 G ( jΩ ) = G ( jΩ ) ∗ P ( jΩ ) 2π 2π ∞ P ( jΩ ) = ∑ δ (Ω − kΩs ) Ts k = −∞
(a) (b)
g (t )
G ( jΩ )
0
t
把 (b) 式代入 (a) 式, 得: ) ⎤ 1 ⎡ 2π ∞ G ( jΩ ) = ∑ δ (Ω − kΩs ) ∗ G( jΩ)⎥ ⎢ 2π ⎣ Ts k = −∞ ⎦
∑ x ( n) z
∞
−n
Z 变换的定义
z=e
sTs
设计模拟低通滤波器 G ( p)
s⇒z
⎧ s = σ + jΩ ⎨ jω ⎩ z = re