第12课时 正方形的判定0

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3.如图,平行四边形ABCD的对角线互相垂直,要使ABCD成为正 方形,还需添加的一个条件是 ∠ABC=90°(答案不唯一) (只 需添加一个即可).
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4.在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,请你再添加一个条件, 使该四边形是正方形,你所添加的条件是
AB=BC(答案不唯一) (只需添加一个即可).
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5.如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB, BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形.
证明:∵BF∥CE,CF∥BE, ∴四边形BECF是平行四边形, 又∵在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB, ∴∠EBC=∠ECB=45°,∴∠BEC=90°,BE=CE, ∴四边形BECF是正方形.
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10.(新题速递)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°, AD=25 cm,BC=30 cm,点P从A点出发,以2 cm/s 的速度向D点 运动,点Q从C点同时出发,以3 cm/s的速度向B点运动,规定一 个动点到达端点时,另一个动点也停止,运动时间为t.
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(1)当t= 5 s时,四边形PQCD是平行四边形; (2)当t= 6 s时,四边形ABQP是矩形; (3)在(2)的条件下,当AB= 12 cm时,四边形ABQP是正方形.
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11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D 为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为点 F,连接CD,BE.
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(1)求证:CE=AD; (2)当D为AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?请说明 你的理由; (3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形 BECD是正方形?请说明你的理由.
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6.如图,在矩形ABCD中,∠A的平分线交BC于E,∠B的平分线交 AD于F,求证:四边形ABEF是正方形.
数学 证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAF=90°,AD∥BC,∴∠2=∠3, ∵AE平分∠BAF,∴∠1=∠2, ∴∠1=∠3, ∴AB=BE,同理可得AB=AF, ∴BE=AF, ∵AD∥BC,∴AF∥BE, ∴四边形ABEF是平行四边形, ∵∠BAF=90°,∴四边形ABEF是矩形, ∵AB=AF,∴四边形ABEF是正方形.
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(3)解:当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由如下: ∵∠ACB=90°,∠A=45°, ∴∠ABC=∠A=45°,∴AC=BC. ∵D为BA中点,∴CD⊥AB,∴∠CDB=90°. 由(2)可知四边形BECD是菱形,∴菱形BECD是正方形, 即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.
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7.如图,四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,且 OA=OB=OC=OD=1,AB= 2.求证:四边形 ABCD 是正方形.
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证明:∵OA=OB=OC=OD, ∴四边形 ABCD 是平行四边形,OA+OC=OD+OB, ∴AC=BD,∴四边形 ABCD 是矩形. ∵OA=OB=1,∴OA2+OB2=2, ∵AB= 2,∴AB2=2,∴OA2+OB2=AB2,∴∠AOB=90°, 即 AC⊥BD,∴矩形 ABCD 是正方形.
2021八年级下册（RJ） 数学
第十八章 平行四边形
第12课时 正方形的判定
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1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,要使矩形 ABCD成为正方形,应添加的一个条件是
AB=BC(答案不唯一) (只需添加一个即可).
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2.如图,若使菱形ABCD是正方形,则需添加的条件是 ∠ABC=90°(答案不唯一) (只需添加一个即可).
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9.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC于点D,过点 B作BE∥AD交∠BAF的平分线于点E. (1)求证:四边形ADBE是矩形; (2)当∠BAC满足什么条件时,四边形ADBE是正方形.
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(1)证明:∵AB=AC,AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=1∠BAC,AD⊥BC,
AM=DM, 在△ABM 和△DCM 中, ∠A=∠D,
AB=DC, ∴△ABM≌△DCM(SAS).
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8.如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别 是线段BM,CM的中点. (1)求证:△ABM≌△DCM; (2)直接填空:当AB∶AD= 1∶2 时,四边形MENF是正方 形.
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(1)证明:∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°. ∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB, ∴AC∥DE. ∵MN∥AB,即CE∥AD, ∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE=AD.
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(2)解:四边形BECD是菱形,理由如下: ∵D为AB中点,∴AD=BD. ∵CE=AD,∴BD=CE. ∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形. ∵DE⊥BC,∴平行四边形BECD是菱形.
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∵AE 是△ABC 的外角平分线,∴∠BAE=1∠BAF,
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∵∠BAC+∠BAF=180°, ∴∠BAD+∠BAE=90°,即∠DAE=90°,∴AD⊥AE, ∵AD⊥BC,∴AE∥BC, 又∵BE∥AD,∠DAE=90°,∴四边形 ADBE 是矩形.
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(2)解:当∠BAC=90°时,四边形ADBE是正方形.理由如下: ∵AB=AC,AD平分∠BAC,∠BAC=90°, ∴∠ABC=∠C=∠BAD=∠CAD=45°,∴AD=BD, 又∵四边形ADBE是矩形,∴矩形ADBE是正方形.
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8.如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别
是线段BM,CM的中点.
(1)求证:△ABM≌△DCM;
(2)直接填空:当AB∶AD=
时,四边形MENF是正方
形.
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(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AB=DC,∠A=∠D=90°. ∵M 为 AD 的中点,∴AM=DM.