(完整版)人教版初一数学下册相交线与平行线试题(带答案)解析

一、选择题
1．如图，//AB CD ，P 为平行线之间的一点，若AP CP ⊥，CP 平分∠ACD ，68ACD ∠=︒，则∠BAP 的度数为（ ）
A ．56︒
B ．58︒
C ．66︒
D ．68︒ 2．将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边//AD BC ，则翻折角1∠与2∠一定满足的
关系是（ ）
A ．122∠=∠
B ．1290∠+∠=︒
C ．1230∠-∠=︒
D ．213230∠-∠=︒ 3．直线//AB CD ，直线EF 与AB ，CD 分别交于点
E ，
F ，E
G EF ⊥．若155∠=︒，则
2∠的度数为（ ）
A ．25︒
B ．35︒
C ．45︒
D ．55︒
4．一副直角三角板如图放置，其中∠F ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝45°，∠B ＝60°，AB //DC ，则∠CAE 的度数为（ ）
A ．25°
B ．20°
C ．15°
D ．10°
5．下列几个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②如果1∠和2∠是对顶角，那么12∠=∠；
③一个角的余角一定小于这个角的补角；
④三角形的一个外角大于它的任一个内角．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4
6．如下图，在“A ”字型图中，AB 、AC 被DE 所截，则A ∠与4∠是（ ）
A ．同位角
B ．内错角
C ．同旁内角
D ．邻补角 7．如图，直线12//l l ，23216∠+∠=°，则1∠的度数为（ ）
A ．216︒
B ．36︒
C ．44︒
D ．18︒
8．如图，//AB CD ，AC 平分BAD ∠，B CDA ∠=∠，点E 在AD 的延长线上，连接EC ，2B CED ∠=∠，下列结论：①//BC AD ；②CA 平分BCD ∠；③AC EC ⊥；
④ECD CED ∠=∠．其中正确的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．如图，//AB CD ，点E 为AB 上方一点，,FB CG 分别为,EFG ECD ∠∠的角平分线，若2210E G ∠+∠=︒，则EFG 的度数为（ ）
A ．140︒
B ．150︒
C ．130︒
D ．160︒ 10．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（ ）
A ．50°、130°
B ．都是10°
C ．50°、130°或10°、10°
D ．以上都不对 二、填空题
11．已知//AB CD ，点M 、N 分别为AB 、CD 上的点，点E 、F 、G 为AB 、CD 内部的
点，连接FM 、FN 、EM 、EN 、CM 、GN ，ME NE ⊥于E ，35BMF BME ∠=∠，35
DNF DNE ∠=∠，MG 平分AMF ∠，NG 平分CNF ∠，则MGN ∠（小于平角）的度数为______．
12．如图，已知AB ∥CD ，点E ，F 分别在直线AB ，CD 上点P 在AB ，CD 之间且在EF 的左侧．若将射线EA 沿EP 折叠，射线FC 沿FP 折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则∠EPF 的度数为 _____．
13．如图，在平面内，两条直线1l ，2l 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p ，q 分别是点M 到直线1l ，2l 的距离，则称(,)p q 为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2,1)的点共有________个．
14．如图，AB ∥CD ，CF 平分∠DCG ，GE 平分∠CGB 交FC 的延长线于点E ，若∠E ＝34°，则∠B 的度数为____________．
15．如图,AB ∥CD,BF 平分∠ABE,DF 平分∠CDE,∠BFD=35°，那么∠BED 的度数为_______.
16．如图，AB ∥CD ，点P 为CD 上一点，∠EBA 、∠EPC 的角平分线于点F ，已知∠F ＝40°，则∠E ＝_____度．
17．如图，已知直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝______．
18．已知，//BC OA ，100B A ∠=∠=︒，点E ，F 在BC 上，OE 平分BOF ∠，且FOC AOC ∠=∠，下列结论正确得是：__________．
①//OB AC ；
②45EOC ∠=︒；
③:1:3OCB OFB ∠∠=；
④若OEB OCA ∠=∠，则60OCA ∠=︒.
19．已知//AB CD ，ABE α∠=，FCD β∠=，CFE γ∠=，且BE EF ⊥，请直接写出α、β、γ的数量关系________．
20．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6BC =，将长方形ABCD 沿着BC 方向平移得到长方形A B C D ''''．若ABB A ''是正方形，则四边形ABC D ''的周长是______．
三、解答题
21．已知：AB //CD ．点E 在CD 上，点F ，H 在AB 上，点G 在AB ，CD 之间，连接FG ，EH ，GE ，∠GFB ＝∠CEH ．
（1）如图1，求证：GF //EH ；
（2）如图2，若∠GEH ＝α，FM 平分∠AFG ，EM 平分∠GEC ，试问∠M 与α之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示∠M ）？请写出你的猜想，并加以证明．
22．已知，如图1，射线PE 分别与直线AB ，CD 相交于E 、F 两点，∠PFD 的平分线与直线AB 相交于点M ，射线PM 交CD 于点N ，设∠PFM ＝α°，∠EMF ＝β°，且（40﹣2α）2＋|β﹣20|＝0
（1）α＝ ，β＝ ；直线AB 与CD 的位置关系是 ；
（2）如图2，若点G 、H 分别在射线MA 和线段MF 上，且∠MGH ＝∠PNF ，试找出∠FMN 与∠GHF 之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若将图中的射线PM 绕着端点P 逆时针方向旋转（如图3），分别与AB 、CD 相交于点M 1和点N 1时，作∠PM 1B 的角平分线M 1Q 与射线FM 相交于点Q ，问在旋转的过程中1FPN Q
∠∠的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 23．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯A 射出的光束自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射出的光束自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 射出的光束转动的速度是a ︒/秒，灯B 射出的光束转动的速度是b ︒/秒，且a 、b 满足20)34(a b a b -++-=．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即//PQ MN ，且
45BAN ∠=︒．
（1）求a 、b 的值；
（2）如图2，两灯同时转动，在灯A 射出的光束到达AN 之前，若两灯射出的光束交于点C ，过C 作CD AC ⊥交PQ 于点D ，若20BCD ∠=︒，求BAC ∠的度数；
（3）若灯B 射线先转动30秒，灯A 射出的光束才开始转动，在灯B 射出的光束到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行?
24．已知//AB CD ，点E 在AB 与CD 之间．
（1）图1中，试说明：BED ABE CDE ∠=∠+∠；
（2）图2中，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线相交于点F ，请利用（1）的结论说明：2BED BFD ∠=∠．
（3）图3中，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线相交于点F ，请直接写出BED ∠与BFD ∠之间的数量关系．
25．已知//AB CD ，定点E ，F 分别在直线AB ，CD 上，在平行线AB ，CD 之间有一动点P ．
（1）如图1所示时，试问AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠满足怎样的数量关系?并说明理由． （2）除了（1）的结论外，试问AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明
（3）当EPF ∠满足0180EPF ︒<∠<︒，且QE ，QF 分别平分PEB ∠和PFD ∠， ①若60EPF ∠=︒，则EQF ∠=__________°．
②猜想EPF ∠与EQF ∠的数量关系．（直接写出结论）
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
过P点作PM//AB交AC于点M，直接利用平行线的性质以及平行公理分别分析即可得出答案．
【详解】
解：如图，过P点作PM//AB交AC于点M．
∵CP平分∠ACD，∠ACD＝68°，
∠ACD＝34°．
∴∠4＝1
2
∵AB//CD，PM//AB，
∴PM//CD，
∴∠3＝∠4＝34°，
∵AP⊥CP，
∴∠APC＝90°，
∴∠2＝∠APC－∠3＝56°，
∵PM//AB，
∴∠1＝∠2＝56°，
即：∠BAP的度数为56°，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及平行公理等知识，正确利用平行线的性质分析是解题关键．
2．B
解析：B
【分析】
根据平行可得出∠DAB+∠CBA=180°，再根据折叠和平角定义可求出1290
∠+∠=︒．
【详解】
解：由翻折可知，∠DAE=21
∠，∠CBF=22
∠，
∵//
AD BC,
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∴∠DAE+∠CBF=180°，
∠+∠=°，
即2122180
∴1290
∠+∠=︒，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计算．
3．B
解析：B
【分析】
由对顶角相等得∠DFE =55°，然后利用平行线的性质，得到∠BEF =125°，即可求出2∠的度数．
【详解】
解：由题意，根据对顶角相等，则
155DFE ∠=∠=︒，
∵//AB CD ，
∴180DFE BEF ∠+∠=︒，
∴18055125BEF ∠=︒-︒=︒，
∵EG EF ⊥，
∴90FEG ∠=︒，
∴21259035∠=︒-︒=︒；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握平行线的性质，正确的求出125BEF ∠=︒．
4．C
解析：C
【分析】
利用平行线的性质和给出的已知数据即可求出CAE ∠的度数．
【详解】
解：90F ∠=︒，45D ∠=︒，
45DEF ∴∠=︒，
90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，
30BAC ∴∠=︒，
//AB DC ，
∴∠=∠=︒，
BAE DEF
45
∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
CAE BAE BAC
453015
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟记平行线的性质．
5．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质对①进行判断；根据对顶角的性质对②进行判断；根据余角与补角的定义对③进行判断；根据三角形外角性质对④进行判断．
【详解】
解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；
如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，所以②正确；
一个角的余角一定小于这个角的补角，所以③正确；
三角形的外角大于任何一个与之不相邻的一个内角，所以④错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
6．A
解析：A
【分析】
根据同位角，内错角，同旁内角和邻补角的定义判断即可．
【详解】
解：在“A”字型图中，两条直线AB、AC被DE所截形成的角中，∠A与∠4都在直线AB、DE的同侧，并且在第三条直线（截线）AC的同旁，则∠A与∠4是同位角．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角和邻补角的定义，正确理解定义是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
记∠1顶点为A，∠2顶点为B，∠3顶点为C，过点B作BD∥l1，由平行线的性质可得∠3+∠DBC=180°，∠ABD+(180°－∠1)=180°，由此得到∠3+∠2+(180°－∠1)=360°，再结合已知条件即可求出结果．
【详解】
如图，过点B作BD∥l1，
∵12//l l ，
∴BD ∥l 1∥l 2，
∴∠3+∠DBC =180°，∠ABD +(180°－∠1)=180°，
∴∠3+∠DBC +∠ABD +(180°－∠1)=360°，即∠3+∠2+(180°－∠1)=360°，
又∵∠2+∠3=216°，
∴216°+(180°－∠1)=360°，
∴∠1=36°．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 8．D
解析：D
【分析】
结合平行线性质和平分线判断出①②正确，再结合平行线和平分线根据等量代换判断出③④正确即可．
【详解】
解：∵AB //CD ，
∴∠1=∠2，
∵AC 平分∠BAD ，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠B =∠CDA ，
∴∠1=∠4，
∴∠3=∠4，
∴BC //AD ，
∴①正确；
∴CA 平分∠BCD ，
∴②正确；
∵∠B =2∠CED ，
∴∠CDA =2∠CED ，
∵∠CDA =∠DCE +∠CED ，
∴∠ECD =∠CED ，
∴④正确；
∵BC //AD ，
∴∠BCE+∠AEC= 180°，
∴∠1+∠4+∠DCE+∠CED= 180°，
∴∠1+∠DCE = 90°，
∴∠ACE= 90°，
∴AC⊥EC，
∴③正确
故其中正确的有①②③④，4个，
故选：D．
【点睛】
此题考查平行线的性质和角平分线的性质，难度一般，利用性质定理判断是关键．9．A
解析：A
【分析】
过G作GM//AB，根据平行线的性质可得∠2=∠5，∠6=∠4，进而可得∠FGC=∠2+∠4，再利用平行线的性质进行等量代换可得3∠1=210°，求出∠1的度数，然后可得答案．【详解】
解：过G作GM//AB，
∴∠2=∠5，
∵AB//CD，
∴MG//CD，
∴∠6=∠4，
∴∠FGC=∠5+∠6=∠2+∠4，
∵FG、CG分别为∠EFG，∠ECD的角平分线，
∴∠1=∠2=1
2∠EFG，∠3=∠4=1
2
∠ECD，
∵∠E+2∠G=210°，
∴∠E+∠1+∠2+∠ECD=210°，∵AB//CD，
∴∠ENB=∠ECD，
∴∠E+∠1+∠2+∠ENB=210°，∵∠1=∠E+∠ENB，
∴∠1+∠1+∠2=210°，
∴3∠1=210°，
∴∠1=70°，
∴∠EFG=2×70°=140°．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，关键是正确作出辅助线，掌握两直线平行同位角相等，内错角相等．
10．C
解析：C
【分析】
首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．
【详解】
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角相等或互补．
设其中一角为x°，
若这两个角相等，则x＝3x﹣20，
解得：x＝10，
∴这两个角的度数是10°和10°；
若这两个角互补，
则180﹣x＝3x﹣20，
解得：x＝50，
∴这两个角的度数是50°和130°．
∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．
二、填空题
11．【分析】
过点，做平行于，根据平行线的传递性及性质得，同理得出，令，则，，则，通过等量关系先计算出，再根据角平分线的性质及等量代换进行求解．
解：过点，做平行于，如下图：
，
，
则，
解析：153︒
【分析】
过点,,E F G ，做,,EH FK GJ 平行于AB ，根据平行线的传递性及性质得
MEN BME DNE ∠=∠+∠，同理得出∠=∠+∠MGN AMG CNG ，令5∠=BME a ，则3∠=BMF a ，5∠=DNE b ，则3∠=DNF b ，通过等量关系先计算出18+=︒a b ，再根据角平分线的性质及等量代换进行求解．
【详解】
解：过点,,E F G ，做,,EH FK GJ 平行于AB ，如下图：
//,//AB EH AB CD ，
//EH CD ，
则,∠=∠∠=∠BME HEM DNE HEN ，
∴∠=∠+∠=∠+∠MEN HEM HEN BME DNE ，
同理可得：∠=∠+∠MGN AMG CNG ，
令5∠=BME a ，则3∠=BMF a ，
5∠=DNE b ，则3∠=DNF b ，
则5590∠=∠+∠=+=︒MEN BME DNE a b ，
18∴+=︒a b ，
1801803∠=︒-∠=︒-AMF BMF a ，
1801803∠=︒-∠=︒-CNF DNF b ， MG 平分AMF ∠，NG 平分CNF ∠，
131390,902222
AMG AMF a CNG CNF b ∴∠=∠=︒-∠=∠=︒-， 3180()1532
∴∠=∠+=︒-+=︒MGN AMG CNG a b ， 故答案是：153︒．
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质，解题的关键是添加适当的辅助线，找到角之间的关系，利用等量代换的思想进行计算求解．
12．45°或135°
【分析】
根据题意画出图形，然后利用平行线的性质得出∠EMF 与∠AEM 和∠CFM 的关系，然后可得答案．
【详解】
解：如图1，
过作，
，
，
，，
，
，
同理可得，
由折叠可
解析：45°或135°
【分析】
根据题意画出图形，然后利用平行线的性质得出∠EMF 与∠AEM 和∠CFM 的关系，然后可得答案．
【详解】
解：如图1，
过M 作//MN AB ，
//AB CD ，
////AB CD NM ∴，
AEM EMN ∴∠=∠，NMF MFC ∠=∠，
90EMF ∠=︒，
90AEM CFM ∴∠+∠=︒，
同理可得P AEP CFP ∠=∠+∠，
由折叠可得：12AEP PEM AEM ∠=∠=∠，12
PFC PFM CFM ∠=∠=∠， 1()452
P AEM CFM ∴∠=∠+∠=︒， 如图2，
过M 作//MN AB ，
//AB CD ， ////AB CD NM ∴，
180AEM EMN ∴∠+∠=︒，180NMF MFC ∠+∠=︒，
360AEM EMF CFM ∴∠+∠+∠=︒，
90EMF ∠=︒，
36090270AEM CFM ∴∠+∠=︒-︒=︒，
由折叠可得：12AEP PEM AEM ∠=∠=∠，12
PFC PFM CFM ∠=∠=∠， 12701352
P ∴∠=︒⨯=︒， 综上所述：EPF ∠的度数为45︒或135︒，
故答案为：45°或135°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，关键是正确画出图形，分两种情况分别计算出∠EPF 的度数．
13．4
【分析】
到的距离是2的点，在与平行且与的距离是2的两条直线上；同理，点在与的距离是1的点，在与平行，且到的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个．
【详解】
解：
解析：4
【分析】
到1l 的距离是2的点，在与1l 平行且与1l 的距离是2的两条直线上；同理，点M 在与2l 的距离是1的点，在与2l 平行，且到2l 的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个．
【详解】
解：到1l的距离是2的点，在与1l平行且与1l的距离是2的两条直线上；
到2l的距离是1的点，在与2l平行且与2l的距离是1的两条直线上；
以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是(2,1)的点共有4个．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了到直线的距离等于定长的点的集合．
14．68°
【分析】
如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，
∠CGE=∠MGE=y．构建方程组证明∠GMC=2∠E即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长DC交BG于M．由题意
解析：68°
【分析】
如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．构建方程组证明∠GMC=2∠E即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．
则有
22
x y GMC
x y E
=+∠
⎧
⎨
=+∠
⎩
①
②
，
①-2×②得：∠GMC=2∠E,
∵∠E=34°，
∴∠GMC=68°，
∵AB∥CD，
∴∠GMC=∠B=68°，
故答案为:68°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟悉基本图形，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的能力题．15．70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性
质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥A
解析：70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥AB，
∴∠5=∠ABE，∠3=∠1，
又∵AB∥CD，
∴EG∥CD，FH∥CD，
∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=35°．
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，
∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×35°=70°．
故答案为70°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，根据题中的条件作出辅助线EG∥AB，FH∥AB，再灵活运用平行线的性质是解本题的关键．
16．80
【详解】
如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.
故答案为80.
解析：80
【详解】
如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=1
2
∠CPE=∠F+∠1，
∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA ，即∠E=2∠F=2×40°=80°.
故答案为80.
17．【分析】
延长AB ，交两平行线与C 、D ，根据平行线的性质和领补角的性质计算即可；
【详解】
延长AB ，交两平行线与C 、D ，
∵直线l1∥l2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，
∴，，，
∴，
∴，
解析：17︒
【分析】
延长AB ，交两平行线与C 、D ，根据平行线的性质和领补角的性质计算即可；
【详解】
延长AB ，交两平行线与C 、D ，
∵直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，
∴4285∠+∠=︒，13125∠+∠=︒，34180∠+∠=︒，
∴852*******︒-∠+︒-∠=︒，
∴1230∠+∠=︒，
又∵∠1比∠2大4°，
∴2=14∠∠-︒，
∴2134∠=︒，
∴117∠=︒；
故答案是17︒．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质应用，准确计算是解题的关键．
18．①④
【分析】
①由BC∥OA，∠B=∠A=100°，∠AOB=∠ACB=180°-100°=80°，得到
∠A+∠AOB=180°，得出OB∥AC．②OE平分∠BOF，得出∠FOE=∠BOE=∠BO 解析：①④
【分析】
①由BC∥OA，∠B=∠A=100°，∠AOB=∠ACB=180°-100°=80°，得到∠A+∠AOB=180°，得出
OB∥AC．②OE平分∠BOF，得出∠FOE=∠BOE=1
2∠BOF，∠FOC=∠AOC=1
2
∠AOF，从而
计算出∠EOC=∠FOE+∠FOC=40°．③由∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF=2∠AOC，得出∠OCB：∠OFB=1：2．④由∠OEB=∠OCA=∠AOE=∠BOC，得到∠AOE-∠COE=∠BOC-
∠COE，∠BOE=∠AOC，再得到∠BOE=∠FOE=∠FOC=∠AOC=1
4
∠AOB=20°，从而计算出
∠OCA=∠BOC=3∠BOE=60°．
【详解】
解：∵BC∥OA，∠B=∠A=100°，
∴∠AOB=∠ACB=180°-100°=80°，
∴∠A+∠AOB=180°，
∴OB∥AC．故①正确；
∵OE平分∠BOF，
∴∠FOE=∠BOE=1
2
∠BOF，
∴∠FOC=∠AOC=1
2
∠AOF，
∴∠EOC=∠FOE+∠FOC=1
2（∠BOF+∠AOF）=1
2
×80°=40°．故②错误；
∵∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF=2∠AOC，
∴∠OCB：∠OFB=1：2．故③错误；
∵∠OEB=∠OCA=∠AOE=∠BOC，
∴∠AOE-∠COE=∠BOC-∠COE，
∴∠BOE=∠AOC，
∴∠BOE=∠FOE=∠FOC=∠AOC=1
4
∠AOB=20°，
∴∠OCA=∠BOC=3∠BOE=60°．故④正确．
故答案为：①④．
【点睛】
本题考查了平行线的性质及判定，以及角的计算，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
19．（上式变式都正确）
【分析】
过点E作，过点F作，可得出（根据平行于同一直线的两条直线互相平行），
根据平行线的性质，可得出各个角之间的关系，利用等量代换、等式的性质即可得出答案．
【详解】
解：如图
解析：90γαβ+=︒+（上式变式都正确）
【分析】
过点E 作//EM AB ，过点F 作//FN AB ，可得出//////AB EM FN CD （根据平行于同一直线的两条直线互相平行），根据平行线的性质，可得出各个角之间的关系，利用等量代换、等式的性质即可得出答案．
【详解】
解：如图所示，过点E 作//EM AB ，过点F 作//FN AB ，
∵//AB CD ，
∴//////AB EM FN CD ，
∵//AB EM ，
∴ABE BEM ∠=∠，
∵//EM FN ，
∴MEF EFN ∠=∠，
∵//NF CD ，
∴NFC FCD ∠=∠，
∴ABE EFN NFC BEM MEF FCD ∠+∠+∠=∠+∠+∠，
∴ABE EFC BEF FCD ∠+∠=∠+∠，
∵ABE α∠=，FCD β∠=，CFE γ∠=，且BE EF ⊥，
∴90αγβ+=︒+，
故答案为：90αγβ+=︒+．
【点睛】
题目主要考察平行线的性质及等式的性质，作出相应的辅助线、找出相应的角的关系是解题关键．
20．28
【分析】
根据平移的性质求出，再由长方形的周长公式求解即可．
【详解】
解：由题意可知，四边形是正方形，
∴，，
又∵长方形由长方形平移得到，
∴
∵
∴四边形的周长为：
故答案为：28
【点
解析：28
【分析】
根据平移的性质求出10BC '=，再由长方形的周长公式求解即可．
【详解】
解：由题意可知，四边形ABB A ''是正方形，
∴4BB AB '==，642B C BC '==-=，
又∵长方形A B C D ''''由长方形ABCD 平移得到，
∴6B C BC ''==
∵4610BC BB B C ''''=+=+=
∴四边形ABC D '的周长为：(104)228+⨯=
故答案为：28
【点睛】
此题主要考查了平移的性质，求出10BC '=是解答此题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）902FME α∠=︒-
，证明见解析． 【分析】
（1）由平行线的性质得到CEH EHB ∠=∠，等量代换得出GFB EHB ∠=∠，即可根据“同位角相等，两直线平行”得解；
（2）过点M 作//MQ AB ，过点G 作//GP AB ，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．
【详解】
（1）证明：//AB CD ，
CEH EHB ∴∠=∠，
GFB CEH ∠=∠，
GFB EHB ∴∠=∠，
//GF EH ∴；
（2）解：902FME α
∠=︒-，理由如下：
如图2，过点M 作//MQ AB ，过点G 作//GP AB ，
//AB CD ，
//MQ CD ∴，
AFM FMQ ∴∠=∠，QME MEC ∠=∠，
FME FMQ QME AFM MEC ∴∠=∠+∠=∠+∠，
同理，FGE FGP PGE AFG GEC ∠=∠+∠=∠+∠，
FM 平分AFG ∠，EM 平分GEC ∠，
2AFG AFM ∴∠=∠，2GEC MEC ∠=∠，
2FGE FME ∴∠=∠，
由（1）知，//GF EH ，
180FGE GEH ∴∠+∠=︒，
GEH α∠=，
180FGE α∴∠=︒-，
2180FME α∴∠=︒-，
902FME α
∴∠=︒-．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的关键． 22．（1）20，20，//AB CD ；（2）180FMN GHF ∠+∠=︒；（3）
1FPN Q
∠∠的值不变，12FPN Q =∠∠ 【分析】
（1）根据2(402)|20|0αβ-+-=，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证//AB CD ； （2）先根据内错角相等证//GH PN ，再根据同旁内角互补和等量代换得出
180FMN GHF ∠+∠=︒；
（3）作1PEM ∠的平分线交1M Q 的延长线于R ，先根据同位角相等证//ER FQ ，得1FQM R =∠∠，设PER REB x ==∠∠，11PM R RM B y ==∠∠，得出12EPM R ∠=∠，即可
得12FPN Q
=∠∠． 【详解】
解：（1）2(402)|20|0αβ-+-=，
4020α∴-=，200β-=，
20αβ∴==，
20PFM MFN ∴∠=∠=︒，20EMF ∠=︒，
EMF MFN ∴∠=∠，
//AB CD ∴；
故答案为：20、20，//AB CD ；
（2）180FMN GHF ∠+∠=︒；
理由：由（1）得//AB CD ，
MNF PME ∴∠=∠，
MGH MNF ∠=∠，
PME MGH ∴∠=∠，
//GH PN ∴，
GHM FMN ∴∠=∠，
180GHF GHM ∠+∠=︒，
180FMN GHF ∴∠+∠=︒；
（3）1FPN Q ∠∠的值不变，12FPN Q
=∠∠； 理由：如图3中，作1PEM ∠的平分线交1M Q 的延长线于R ，
//AB CD ，
1PEM PFN ∴∠=∠，
112PER PEM ∠=∠，12
PFQ PFN =∠∠， PER PFQ ∴∠=∠，
//ER FQ ∴，
1FQM R ∴∠=∠，
设PER REB x ==∠∠，11PM R RM B y ==∠∠，
则有：122y x R y x EPM =+∠⎧⎨=+∠⎩
， 可得12EPM R ∠=∠，
112EPM FQM ∴∠=∠，
∴112EPM FQM ∠=∠． 【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．
23．（1）3a =，1b =；（2）30°；（3）15秒或82.5秒
【分析】
（1）解出式子()2340a b a b -++-=即可；
（2）根据//PQ MN ，用含t 的式子表示出BCA ∠，根据（2）中给出的条件得出方程式 ()()9090180229020⎡⎤∠=︒-∠=︒-︒-︒=︒-︒=︒⎣⎦BCD BCA t t ，求出 t 的值，进而求出BAC ∠的度数；
（3）根据灯B 的要求，t <150，在这个时间段内A 可以转3次，分情况讨论．
【详解】
解：（1）2|3|(4)0a b a b -++-=．
又|3|0a b -≥，2(4)0a b +-≥．
3a ∴=，1b =；
（2）设A 灯转动时间为t 秒，
如图，作//CE PQ ，而//,PQ MN
////,PQ CE MN ∴
1803ACE CAN t ∴∠=∠=︒-︒，BCE CBD t ∠=∠=︒，
()()18031802∴∠=∠+∠=︒+︒-︒=︒-︒BCA CBD CAN t t t ，
90ACD ∠=︒，
[]9090180(2)(2)9020∴∠=︒-∠=︒-︒-︒=︒-︒=︒BCD BCA t t ，
55∴=t
()1803∠=︒-︒CAN t ，
()()451803313516513530∴∠=︒-︒-︒=︒-︒=︒-︒=︒⎡⎤⎣⎦BAC t t
（3）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行．
依题意得0150t <<
①当060t <<时，
两河岸平行，所以()233
t ∠=∠=︒ 两光线平行，所以2130t ∠=∠=+︒
所以，13∠=∠
即：330=+t t ，
解得15t =；
②当60120t <<时，
两光束平行，所以()2330t ∠=∠=+︒
两河岸平行，所以12180∠+∠=︒
13180t ∠=-︒
所以，318030180-++=t t ，
解得82.5t =；
③当120150t <<时，图大概如①所示
336030t t -=+，
解得195150t =>（不合题意）
综上所述，当15t =秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．
【点睛】
这道题考察的是平行线的性质和一元一次方程的应用．根据平行线的性质找到对应角列出方程是解题的关键．
24．（1）说明过程请看解答；（2）说明过程请看解答；（3）∠BED =360°-2∠BFD ．
【分析】
（1）图1中，过点E 作EG ∥AB ，则∠BEG =∠ABE ，根据AB ∥CD ，EG ∥AB ，所以CD ∥EG ，所以∠DEG =∠CDE ，进而可得∠BED =∠ABE +∠CDE ；
（2）图2中，根据∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线相交于点F ，结合（1）的结论即可说明：∠BED =2∠BFD ；
（3）图3中，根据∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线相交于点F ，过点E 作EG ∥AB ，则∠BEG +∠ABE =180°，因为AB ∥CD ，EG ∥AB ，所以CD ∥EG ，所以∠DEG +∠CDE =180°，再结合（1）的结论即可说明∠BED 与∠BFD 之间的数量关系．
【详解】
解：（1）如图1中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG=∠ABE，
因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG=∠CDE，
所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE，
即∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF），由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BED=∠ABE+∠CDE，
∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=2∠BFD．
（3）∠BED=360°-2∠BFD．
图3中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG+∠ABE=180°，
因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG+∠CDE=180°，
所以∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE），
即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE），
因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF），
由（1）得：因为AB ∥CD ，
所以∠BFD =∠ABF +∠CDF ，
所以∠BED =360°-2∠BFD ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
25．（1）∠AEP +∠PFC =∠EPF ；（2）∠AEP +∠EPF +∠PFC =360°；（3）①150°或30；②∠EPF +2∠EQF =360°或∠EPF =2∠EQF
【分析】
（1）由于点P 是平行线AB ，CD 之间有一动点，因此需要对点P 的位置进行分类讨论：如图1，当P 点在EF 的左侧时，AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠满足数量关系为：
EPF AEP PFC ∠=∠+∠；
（2）当P 点在EF 的右侧时，AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠满足数量关系为：
360AEP EPF PFC ∠+∠+∠=︒；
（3）①若当P 点在EF 的左侧时，150EQF BEQ QFD ∠=∠+∠=︒；当P 点在EF 的右侧时，可求得30BEQ QFD ∠+∠=︒；
②结合①可得180218023602()EPF BEQ DFQ BEQ PFD ∠=︒-∠+︒-∠=︒-∠+∠，由
EQF BEQ DFQ ∠=∠+∠，得出2360EPF EQF ∠+∠=︒；可得EPF BEP PFD =∠+∠，由BEQ DFQ EQF ∠+∠=∠，得出2EPF EQF ∠=∠．
【详解】
解：（1）如图1，过点P 作//PG AB ，
//PG AB ，
EPG AEP ∴∠=∠，
//AB CD ，
//PG CD ∴，
FPG PFC ∴∠=∠，
AEP PFC EPF ∴∠+∠=∠；
（2）如图2，当P 点在EF 的右侧时，AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠满足数量关系为：360AEP EPF PFC ∠+∠+∠=︒；
过点P 作//PG AB ，
//PG AB ，
180EPG AEP ∴∠+∠=︒，
//AB CD ，
//PG CD ∴，
180FPG PFC ∴∠+∠=︒，
360AEP EPF PFC ∴∠+∠+∠=︒；
（3）①如图3，若当P 点在EF 的左侧时，
60EPF ∠=︒，
36060300PEB PFD ∴∠+∠=︒-︒=︒， EQ ，FQ 分别平分PEB ∠和PFD ∠， 12BEQ PEB ∴∠=∠，12QFD PFD ∠=∠， 11()30015022
EQF BEQ QFD PEB PFD ∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒； 如图4，当P 点在EF 的右侧时，
60EPF ∠=︒，
60PEB PFD ∴∠+∠=︒，
11()603022
BEQ QFD PEB PFD ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒； 故答案为：150︒或30；
②由①可知：11()(360)22
EQF BEQ QFD PEB PFD EPF ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠，
2360EPF EQF ∴∠+∠=︒； 11()22
EQF BEQ QFD PEB PFD EPF ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 2EPF EQF ∴∠=∠．
综合以上可得EPF ∠与EQF ∠的数量关系为：2360EPF EQF ∠+∠=︒或2EPF EQF ∠=∠．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键．。