最新年高中数学 第一讲1.2 绝对值不等式 1.2.2 绝对不等式的解法高效演练 新人教A版选修4-5(考试必备)

1.2.2 绝对不等式的解法

A 级 基础巩固

一、选择题

1．不等式⎪⎪⎪⎪

⎪⎪x －2x ＞x －2x 的解集是( ) A ．(0，2) B ．(－∞，0)

C ．(2，＋∞)

D ．(－∞，0)∪(2，＋∞) 解析：由绝对值的意义知，⎪⎪⎪⎪

⎪⎪x －2x ＞x －2x 等价于x －2x ＜0， 即x (x －2)＜0，解得0＜x ＜2.

答案：A

2．不等式|x －1|－|x －5|＜2的解集是( )

A ．(－∞，4)

B ．(－∞，1)

C ．(1，4)

D ．(1，5)

解析：法一：当x ＜1时，原不等式化为1－x －(5－x )＜2即－4＜2，不等式恒成立；当1≤x ＜5时，原不等式即x －1－(5－x )＜2，解得x ＜4；当x ≥5时，原不等式化为x －1－(x －5)＜2即4＜2，显然不成立，综上可得不等式的解集为(－∞，4)．

法二：由绝对值的几何意义可得数轴上的点x 到1，5两点(距离为4)的距离之差小于2的点满足x ＜4，所求不等式的解集为(－∞，4)．

答案：A

3．(2017·天津卷)设θ∈R ，则“⎪

⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( ) A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：因为⎪

⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，所以－π12＜θ－π12＜π12， 即0＜θ＜π6

. 显然0＜θ＜π6时，sin θ＜12

成立．

但sin θ＜12时，由周期函数的性质知0＜θ＜π6

不一定成立． 故⎪

⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12是sin θ＜12的充分而不必要条件． 故选A.

答案：A

4．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1，2)，则实数a 的取值为( )

A ．8

B ．2

C ．－4

D ．－8

解析：原不等式化为－6＜ax ＋2＜6，即－8＜ax ＜4.

又因为－1＜x ＜2，所以验证选项易知a ＝－4适合．

答案：C

5．当|x －2|＜a 时，不等式|x 2

－4|＜1成立，则正数a 的取值范围是( )

A ．a ＞5－2

B ．0＜a ≤5－2

C ．a ≥5－2

D ．以上都不正确 解析：由|x －2|＜a ，得－a ＋2＜x ＜a ＋2，

由|x 2

－4|＜1，得3＜x ＜5或－5＜x ＜－ 3. 所以⎩⎨⎧a ＋2≤5，－a ＋2≥3，

即0＜a ≤5－2， 或⎩⎨⎧a ＋2≤－3，－a ＋2≥－5，

无解． 答案：B

二、填空题

6．不等式|2x －1|＋x ＞1的解集是________．

解析：法一 把|2x －1|＋x ＞1移项，得|2x －1|＞1－x ，把此不等式看作|f (x )|＞g (x )的形式得2x －1＞1－x 或2x －1＜－(1－x )，

所以x ＞23或x ＜0，故解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞23或x ＜0. 法二 用分类讨论的方法去掉绝对值符号．

当x ＞12时， 2x －1＋x ＞1，所以x ＞23

； 当x ≤12

时，1－2x ＋x ＞1，所以x ＜0. 综上得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞23或x ＜0.

答案：⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞23或x ＜0 7．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a

对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．

解析：当a ＜0时，显然成立；

因为|x ＋1|＋|x －3|的最小值为4，所以a ＋4a

≤4.所以a ＝2， 综上可知a ∈(－∞，0)∪{2}．

答案：(－∞，0)∪{2}

8．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集是∅，则a 的取值范围是________． 解析：|x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3，所以a ＜3.

答案：a ＜3

三、解答题

9．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.

(1)解不等式f (x )＞2；

(2)求函数y ＝f (x )的最小值.

解：(1)由f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|，

得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ≤－12，3x －3，－12＜x ＜4，x ＋5，x ≥4.

作出函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|的图象(图象略)，这与直线y ＝2的交点为(－7，2)和⎝ ⎛⎭

⎪⎫53，2. 所以|2x ＋1|－|x －4|＞2的解集为(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫53，＋∞. (2)由y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图象(图略)可知，

当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|－|x －4|取得最小值－92

. 10．(2016·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .

(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；

(2)设g (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围．

解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.

解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.

因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．