材料力学_超静定结构

B1
1
B
C1 No
C
a
IAm1 ag2e
A
a
l
e
C1
C'
3
B1
1
C1
A1
2
l1 = l2
B C
A
l C1
3
l3 e
C''
（1）变形几何方程为 Δl1 Δl3 Δe
（2）物理方程
Δl1
FN1l1 EA
Δl3
FN3l E3 A3
FN1
B'
（3）补充方程
FN3l Δe FN1l
E3 A3
EA
FN3 C' FN2 A'
判断下列结构属于哪类超静定
（a）
外力超静定
（b）
内力超静定
（c）
混合超静定
（d）
外力超静定
（e）
内力超静定
（f）
混合超静定
三、工程中的超静定结构（ Statically indeterminate structure in engineering）
在机械和工程结构中常采用超静定结构增加系统的刚度，提 高构件的承载能力 .
A
（3）补充方程
l ΔT
l
FRB l EA
（4）温度内力
FRA A
FRB EA l ΔT
由此得温度应力
T
FRB A
l E ΔT
B
lT B'
lF
B
B'FRB
§2-3 简单超静定梁的解法—变形比较法
求解超静定梁的步骤
q
(procedure for solving a statically
B
FN1
FN 3
EA E3 A3
cos2
FN3 1 2
F EA
cos2
E3 A3
FN1
FN 2
1 2cos
F
E
Δl3
E3 A3
A cos2
1
3
2
A
1 3F 2
A
Δl1
A'
总结:
1.仅由静力平衡方程不能求解 2.不仅与外力和几何结构有关,还与刚度有关 3.强度总有富余 4.强度,刚度校核与静定问题相同 4.补充方程实际上是变形体的平衡条件
例题3 两铸件用两根钢杆 1. 2 连接,其间距为 l =200mm. 现要将
制造得过长了e=0.11mm的铜杆 3 装入铸件之间,并保持三根杆
的轴线平行且等间距 a,试计算各杆内的装配应力. 已知：钢杆直
径 d=10mm,铜杆横截面积为2030mm的矩形,钢的弹性模量
E=210GPa,铜的弹性模量E3=100GPa. 铸件很厚,其变形可略去不 计,故可看作刚体.
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构,统称
为超静定结构或系统（statically indeterminate structure）,也称
为静不定结构或系统.
在超静定结构中,超过维持静力学平衡所必须的约束称为多 余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力,多余约束的
数目为结构的超静定次数（degree of statically indeterminate）.
A
B
l
解: 这是一次超静定问题 变形相容条件是
杆的总长度不变.
Δl 0
A l
A
杆的变形为两部分,
即由温度升高引起的变形
lT 以及与轴向压力FR相 应的弹性变形 lF
FRA A
B
lT B'
lF
B
FRBB'
（1）变形几何方程
A
Δl ΔlT ΔlF 0
l
（2）物理方程
ΔlF
FRB l EA
ΔlT lΔT l
C
变形几何方程为
(wA )q (wA )FN l wA
B
2q
在例题 中已求得
q
(wA )q
7qa4 12EI
(wAபைடு நூலகம்)q
C B
可算出:
FN
(wA )FN
FNa3 EI
(w A )FN
B
C
拉杆 AD 的伸长为: l FNl EA
B
A
代以与其相应的多余反
l
力偶 MA 得基本静定系.
变形相容条件为
A0
q
MA
A
B
l
请同学们自行完成 ！
例题5 梁AC如图所示,梁的A端用一钢杆AD与梁AC铰接, 在梁受 荷载作用前, 杆AD内没有内力,已知梁和杆用同样的钢材制成, 材 料的弹性模量为E, 钢梁横截面的惯性矩为I, 拉杆横截面的面积为 A,其余尺寸见图,试求钢杆AD内的拉力FN.
x
（4）平衡方程
FN1 FN2 FN3 FN1 FN2 0
联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力，进而求出 装配应力.
三、温度应力 (Thermal stresses or temperature stresses)
温度变化将引起物体的膨胀或收缩.静定结构可以自由变形, 不会引起构件的内力,但在超静定结构中变形将受到部分或 全部约束,温度变化时往往就要引起内力,与之相对应的应力
二、超静定问题分类 （Classification for statically indeterminate）
第一类:仅在结构外部存在多余约束,即支反力是静不定的, 可称为外力超静定系统;
第二类:仅在结构内部存在多余约束,即内力是静不定的,可称 为内力超静定系统;
第三类:在结构外部和内部均存在多余约束,即支反力和内力 是静不定的,也称联合超静定结构.
例题2 图示平行杆系1、2、3 悬吊着刚性横梁AB，在横梁上作 用着荷载F。各杆的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A， l，E. 试求三杆的轴力 FN1, FN2, FN3.
3
2
1
l
a
a
B
C
A
F
解：（1） 平衡方程
Fx 0 Fx 0 l
3 a
2 a
1
Fy 0
B
C
A
FN1 FN2 FN3 F 0
B 1
D 3
C FN1FN3
FN2
2
x
A
FN2 cos FN3 F 0 A
F
这是一次超静定问题﹗
F
y
B
DC
1
3 2
A
F （2）变形几何方程
FN1FN3
FN2
x
A
F
B
DC
1
3
2
A
A'
由于问题在几何,物理及 受力方面都是对称,所以变形后A点将沿
铅垂方向下移.变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起﹗
例题1 设 1，2，3 三杆用绞链连结如图所示，F=40kN，E1 = E2
= 200GPa，弹性模量E3 = 100GPa 。[ ]1 [ ]2 100MPa [ ]3 60M
试求在沿铅垂方向的外力F作用下各杆的轴力. 设计A1 ,A2 ,A3
解： （1）列平衡方程
y
Fx 0 FN1 FN2 Fy 0 FN1 cos
D
3
A l3
l1
A
C
2
l
（3）补充方程
FN3l E3 A3
FN1l
E1 A1 cos2
（4） 平衡方程
B
1
D
3
C
2
l
FN1 sin FN2 sin 0 FN3 FN1 cos FN2 cos 0
（5）联立平衡方程与补充方程求解
A l3
l1 A
FN1
FN3 FN2
FN1， FN2， FN3
MB 0
F FN3
FN2
FN1
3 a
2 a
1
FN1 2a FN2a 0
B
C
A
Fx
这是一次超静定问题,且假设均为拉杆. F
3
2
1
B
C
A
l
3 a
2 a
1
l3
l2 C
l1 A
B
B
C
A
F
（2） 变形几何方程 Δl1 Δl3 2Δl2
物理方程
Δl1
FN1l1 EA1
Δl2
FN 2 l EA
（3） 补充方程 FN1 FN3 2FN2
D
l
2q
q
C
A
B
a
2a
解:这是一次超静定问题.将AD杆与梁AC之间的连结绞看作多余 约束.拉力FN为多余反力.基本静定系如图
DD
FFNN
22qq
AA
A
q q
CC
l
FN wA
BB
A1
FN A点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点.即
wA l
根据叠加法A端的挠度为 FN
2q
q
wA (wA )q (wA )FN
FRA
q
ql 4 FRBl 3 0 8EI 3EI
MA A
由该式解得
FRB
3 ql 8
q A
5.求解其它问题（反力,应力,变形等）
求出该梁固定端的两个支反力
FRB
5 ql 8
MA
1 8
ql 2
A
B
FRB
B (wB )q
(wB )FRB B
FRB
方法二
取支座 A 处阻止梁转动
q
的约束为多余约束.
力. 与之相对应的应力称为装配应力
(initial stresses) .
D
3
A
A
C
2
l
Δl3 代表杆3的伸长
B
Δl1 代表杆1或杆2的缩短 1
代表装配后A点的位移
（1） 变形几何方程
Δl3 Δ
Δ Δl1
cos
Δl3
Δl1
cos
（2） 物理方程
Δl1
FN1
l cos
E1 A1
Δl3
FN3l E3 A3
B
A
FRB
变形几何方程为 (wB )q (wB )FRB 0
3.列物理方程—变形与力的关系
q
查表得
(wB )q
ql 4 8EI
A
(wB )FRB
FRB l 3 3EI
4.建立补充方程
q A
将力与变形的关系代入 变形几何方程得补充方程
A
B
FRB
B (wB )q
(wB )FRB B
FRB
补充方程为
四、超静定次数的判定 （Determine the degree of statically indeterminacy）
（1）外力超静定次数的判定:根据约束性质确定支反力的个 数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差 即为结构的超静定次数；
（2）内力超静定次数的判定:一个平面封闭框架为三次内力 超静定;平面桁架的内力超静定次数等于未知力的个数减去二倍 的节点数.
第一节 概述 第二节 拉压杆超静定问题 第三节 简单超静定梁的解法—变形比较法 第四节 用力法解超静定问题 第五节 对称性在超静定分析中的应用 总结与讨论
§9-1 超静定结构概述 （Instruction about Statically indeterminate structure）
一、超静定结构（Statically indeterminate structure）
axially loaded members)
一、拉压超静定问题
求解超静定问题的步骤
（1）确定静不定次数；列静力平衡方程 （2）根据变形协调条件列变形几何方程 （3）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得
补充方程 （4）联立补充方程与静力平衡方程求解
一般超静定问题举例 (Examples for general statically indeterminate problem)
indeterminate)
A
1.画静定基建立相当系统：
l
将可动绞链支座作看多余约
q
束,解除多余约束代之以约束反力
B
RB.得到原超静定梁的基本静定系.
A
FRB
2.列几何方程——变形协调方程
q
超静定梁在多余约束处的约
B
束条件,梁的 变形协调条件 wB 0 A
l 根据变形协调条件得变形几何方程:
q
wB (wB )q (wB )FRB
称为热应力 (thermal stresses)或温度应力 (temperature stresses).
蒸汽管道
钢轨接头
例题4 图 示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结.设两支承 的距离（即杆长）为 l,杆的横截面面积为 A,材料的弹性模量
为 E,线膨胀系数为 .试求温度升高 T 时杆内的温度应力.
只写出变形协调关系
二、装配应力 (Initial stresses)
(Statically indeterminate
B
structure with a misfit) 1
图示杆系,若3杆尺寸有微小误差,则 在杆系装配好后,各杆将处于图中位置,因 而产生轴力. 3杆的轴力为拉力,1. 2杆的轴 力为压力. 这种附加的内力就称为装配内
塔式吊车起重臂可简化为外伸粱结构,当需要延长主臂以 增加其回转半径时,如何才能保持原有的承载能力?
辅助支撑
跟 刀 架
顶 尖
在铣床上洗削工件时，为 防止工件的移动并减小其变形 和振动，需要增加辅助支撑， 虎钳和辅助支撑构成系统
用车床加工细长轴时，经常 采用顶尖和跟刀架等辅助支撑以 减少其变形。卡盘和辅助支撑 构成超静定系统。
五、分析方法（Analytical method）
1.力法（Force method）:以未知力为基本未知量的求解方 法;
2.位移法（Displacement method）:以未知位移为基本未知 量的求解方法.
§9-2 拉压超静定问题 (Statically indeterminate problem of
B
DC
1
3
2
A
F 变形几何方程为 物理方程为
（3）补充方程
B
DC
1
3
2
A
1 32
A
Δl1
Δl3
A'
A'
Δl1 Δl3 cos
Δl1
FN1l1 EA1
Δl3
FN3l cos
E3 A3
FN1
FN 3
EA E3 A3
cos2
（4）联立平衡方程与补充方程求解
B
DC
FN1 FN2
FN1 cos FN2 cos FN3 F 0
Δl3
FN 3 l EA
3
2
1
B
C
A
l
3 a
2 a
1
l3
l2 C
l1 A
B
B
C
A
（4）联立F平衡方程与补充方程求解
Fx 0
FN12a FN2a 0 FN1 FN2 FN3 F 0 FN1 FN3 2FN2
FN1 F / 6 FN2 F / 3 FN3 5F / 6
已知如图，AB为刚性杆，求拉、压杆DE、CF 的内力