2020-2021高中必修一数学上期末试卷(含答案)(1)

2020-2021高中必修一数学上期末试卷(含答案)(1)
一、选择题
1．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
2．设f(x)＝()2,01
,0
x a x x a x x ⎧-≤⎪
⎨++>⎪⎩
若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2]
D ．[0，2]
3．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数
6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ）
A ．1
B ．-1
C ．-3
D ．3
5．
函数y =的定义域是( ) A ．（-1，2]
B ．[-1,2]
C ．（-1 ，2）
D ．[-1,2)
6．若函数y
a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．定义在[]7,7-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26x
f x x =+-，则不等式
()0f x >的解集为
A ．(]2,7
B ．()(]2,02,7-U
C ．()()2,02,-+∞U
D ．[)(]7,22,7--U
8．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x =（ ） A ．1sin x +
B ．1sin x -
C ．1sin x --
D ．1sin x -+
9．已知函数()ln f x x =，2
()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c << B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a << 11．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()1
52
x -三个值中的最小值，则()f x （ ）
A ．无最大值，无最小值
B ．有最大值2，最小值1
C ．有最大值1，无最小值
D ．有最大值2，无最小值
二、填空题
13．已知函数()f x 满足1121-+⎛⎫
⎛⎫+
=+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
x x f f x x x ，其中x ∈R 且0x ≠，则函数()f x 的解析式为__________
14．已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩
，＞，，若存在互不相等实数a b c d 、、、，有
()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是______.
15．已知关于x 的方程()2
24log 3log +-=x x a 的解在区间()3,8内，则a 的取值范围是
__________.
16．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫
++-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＝ ． 17．对于函数()y f x =，若存在定义域D 内某个区间[a ，b ]，使得()y f x =在[a ，b ]上
的值域也为[a ，b ]，则称函数()y f x =在定义域D 上封闭，如果函数4()1x
f x x
=-+在R 上封闭，则b a -=____．
18．2
()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1
()f
x -=________
19．若集合{}
{}2
|560|20A x x x B x ax a Z =-+≤=-=∈，，，且B A ⊆，则实数
a =_____.
20．定义在R 上的奇函数()f x ，满足0x >时，()()1f x x x =-，则当0x ≤时，
()f x =______． 三、解答题
21．已知函数2
()3f x x mx n =-+（0m >）的两个零点分别为1和2. （1）求m ，n 的值； （2）令()()f x g x x
=，若函数()()22x x
F x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，求实数r 的取值范围.
22．已知函数31
()31
x x
f x -=+. （1）证明：()f x 为奇函数；
（2）判断()f x 的单调性，并加以证明； （3）求()f x 的值域.
23．已知函数()()
sin ωφf x A x B =++(0A >，0>ω，2
π
ϕ<)，在同一个周期内，
当6
x π
=
时，()f x 取得最大值
2
，当23x π=时，()f x 取得最小值2-
. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间.
(2)将函数()f x 的图象向左平移
12
π
个单位长度，再向下平移
2
个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.
24．已知幂函数35
()()m f x x
m N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增.
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围.
25．设函数()(
)2log x
x
f x a b
=-，且()()2
11,2log 12f f ==.
（1）求a b ，的值； （2）求函数()f x 的零点；
（3）设()x
x
g x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.
26．若()221
x x a
f x +=-是奇函数.
（1）求a 的值；
（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()2
2f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
由对数的运算化简可得2log a =
log b =，结合对数函数的性质，求得
1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，对数的运算公式，可得24222log 31
log 3log 3log log 42
a ==
==
28222log 61
log 6log 6log log 83
b ==
==，
2<
<
，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，
由指数函数的性质，可得0.10221c =>=， 所以c b a >>. 故选D. 【点睛】
本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
由分段函数可得当0x =时，2
(0)f a =，由于(0)f 是()f x 的最小值，则(,0]-∞为减函
数，即有0a ≥，当0x >时，1
()f x x a x
=+
+在1x =时取得最小值2a +，则有
22a a ≤+，解不等式可得a 的取值范围.
【详解】
因为当x≤0时，f(x)＝()2
x a -，f(0)是f(x)的最小值， 所以a≥0.当x ＞0时，1
()2f x x a a x
=++≥+，当且仅当x ＝1时取“＝”． 要满足f(0)是f(x)的最小值，
需2
2(0)a f a +>=，即220a a --≤，解得12a -≤≤， 所以a 的取值范围是02a ≤≤， 故选D. 【点睛】
该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]
0x . 【详解】
由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，
而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，
结合[]x 的性质，可知[]
02x =. 故选B. 【点睛】
本题考查了函数的零点问题，属于基础题．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
由(1)(3)0f x f x ++-=结合()f x 为奇函数可得()f x 为周期为4的周期函数，则
(2019)(1)f f =-，要使函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即
6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，结合图像可得(1)3f =，即可得到答案．
【详解】
Q ()f x 为定义在R 上的奇函数，
∴()()f x f x -=-，
又Q (1)(3)0(13)(33)0f x f x f x f x ++-=⇔+++--=，
(4)()0(4)()()f x f x f x f x f x ++-=⇔+=--=∴， ∴()f x 在R 上为周期函数，周期为4， ∴(2019)(50541)(1)(1)f f f f =⨯-=-=-
Q 函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有
唯一解，
令6
()m x x = ，则5
()6m x x '=，所以(,0)x ∈-∞为函数6
()m x x =减区间，(0,)x ∈+∞为函数6()m x x =增区间，令()(1)cos 43x f x ϕ=⋅-，则()x ϕ为余弦函数，由此可得函数()m x 与函数()x ϕ的大致图像如下：
由图分析要使函数()m x 与函数()x ϕ只有唯一交点，则(0)(0)m ϕ=，解得(1)3f =
∴(2019)(1)3f f =-=-，
故答案选C ． 【点睛】
本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【详解】
由题意得：20
10x x -≥⎧⎨
+>⎩
解得：﹣1＜x≤2，
故函数的定义域是（﹣1，2]， 故选A ． 【点睛】
本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】
由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，
y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，
所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2，
所log a
56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】
本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(]
2,7，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃．
【详解】
当07x <≤时，()26x
f x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为
2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即
27x <≤，
因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤< 时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃ 【点睛】
本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()()3πf x f x =-， 此时13,02x -π∈-
π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,
故()1sin f x x =-，故选B.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
因为函数()ln f x x =，()2
3g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对
称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由对数函数的性质可知34
333log 2log 34a =<=<
， 由指数函数的性质0.121b =>，
由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以
c ∈，
所以a c b <<，故选B.
11．A
解析：A 【解析】 由选项可知，
项均不是偶函数，故排除
，
项是偶函数，但项与轴没有交点，
即项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
由题意画出函数图像，利用图像性质求解 【详解】
画出()f x 的图像，如图（实线部分），由
()11
52y x y x =+⎧⎪
⎨=-⎪⎩
得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值 故选：D
【点睛】
本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．
二、填空题
13．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函 解析：()1
1
(1)3
1
f x x x =-
≠-- 【解析】 【分析】
用x -代换x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫
⎛⎫
+=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，联立方程组，求得
113
x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合换元法，即可求解. 【详解】
由题意，用x -代换解析式中的x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫
⎛⎫
+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，…….（1） 与已知方程1121-+⎛⎫⎛⎫
+
=+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
x x f f x x x ，……（2） 联立（1）（2）的方程组，可得11
3
x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令1,1x t t x +=
≠，则11x t =-，所以()11
31
f t t =--，
所以()11
(1)31f x x x =-
≠--. 故答案为：()11
(1)31
f x x x =-
≠--. 【点睛】
本题主要考查了函数解析式的求解，解答中用x -代换x ，联立方程组，求得
113
x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属于中档试题.
14．【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图
解析：341112,1e e e ⎡⎫
+--⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
不妨设,0,,0a b c d ≤>，根据二次函数对称性求得+a b 的值.根据绝对值的定义求得,c d 的关系式，将d 转化为c 来表示，根据c 的取值范围，求得+++a b c d 的取值范围. 【详解】
不妨设,0,,0a b c d ≤>，画出函数()f x 的图像如下图所示.二次函数2
21y x x =--+的
对称轴为1x =-，所以2a b +=-.不妨设c d <，则由2ln 2ln c d +=+得
2ln 2ln c d --=+，得4
4
,e cd e d c
--==，结合图像可知12ln 2c ≤+<，解得(4
3
,c e e --⎤∈⎦，所以(()
443
2,e a b c d c c e e c ---⎤+++=-++∈⎦，由于42e y x x
-=-++在
(4
3
,e e --⎤⎦上为减函数，故4341112,21e e e c c e -⎡⎫
+--++∈⎢⎣-⎪⎭
.
【点睛】
本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
15．【解析】【分析】根据方程的解在区间内将问题转化为解在区间内即可求解【详解】由题：关于的方程的解在区间内所以可以转化为：所以故答案为：【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围关键在于利用对数 解析：()23log 11,1-+
【解析】 【分析】
根据方程的解在区间()3,8内，将问题转化为23
log x a x
+=解在区间()3,8内，即可求解. 【详解】
由题：关于x 的方程()2
24log 3log +-=x x a 的解在区间()3,8内， 所以()2
24log 3log +-=x x a 可以转化为：2
3
log x a x
+=， ()3,8x ∈，
33111,28x x x +⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭
， 所以()23log 11,1a ∈-+ 故答案为：()23log 11,1-+ 【点睛】
此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围，关键在于利用对数运算法则等价转化求解值域.
16．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7
解析：7 【解析】 【分析】 【详解】 设， 则，
因为11222⎛⎫⎛⎫
++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
f x f x ， 所以
，
,
故答案为7.
17．6【解析】【分析】利用定义证明函数的奇偶性以及单调性结合题设条件列出方程组求解即可【详解】则函数在R 上为奇函数设即结合奇函数的性质得函数在R 上为减函数并且由题意可知：由于函数在R 上封闭故有解得：所以
解析：6 【解析】 【分析】
利用定义证明函数()y f x =的奇偶性以及单调性，结合题设条件，列出方程组，求解即可. 【详解】
44()()11x x f x f x x x
--=-
==-+-+，则函数()f x 在R 上为奇函数
设120x x ≤<，4()1x
f x x
=-
+ ()()()
2112
121212444()()01111x x x x f x f x x x x x --=-
+=>++++，即12()()f x f x > 结合奇函数的性质得函数()f x 在R 上为减函数，并且(0)0f = 由题意可知：0,0a b <>
由于函数()f x 在R 上封闭，故有4141()()a b
a
b f a b f b a
a b
-=-⎧⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩-=+⎪⎪⎩ ，解得：3,3a b =-=
所以6b a -= 故答案为：6 【点睛】
本题主要考查了利用定义证明函数的奇偶性以及单调性，属于中档题.
18．（）【解析】【分析】设（）求出再求出原函数的值域即得反函数【详解】设（）所以因为x≥0所以所以因为x≥0所以y≥0所以反函数故答案为【点睛】本题主要考查反函数的求法考查函数的值域的求法意在考查学生对
1（0x ≥） 【解析】 【分析】
设()2
2f x y x x ==+（0x ≥）,求出x =()1f x -.
【详解】
设()2
2f x y x x ==+（0x ≥）,所以2+20,x x y x -=∴=
±
因为x≥0，所以x =()1
1f x -=
.
因为x≥0，所以y≥0，所以反函数()1
1f x -=
，0x （）
≥.
1，0x （）≥ 【点睛】
本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
19．或【解析】【分析】先解二次不等式可得再由讨论参数两种情况再结合求解即可【详解】解：解不等式得即①当时满足②当时又则解得又则综上可得或故答案为：或【点睛】本题考查了二次不等式的解法空集的定义及集合的包
解析：0或1 【解析】 【分析】
先解二次不等式可得{}|23A x x =≤≤，再由B A ⊆，讨论参数0a =，0a ≠两种情况，再结合a Z ∈求解即可. 【详解】
解：解不等式2560x x -+≤，得23x ≤≤，即{}|23A x x =≤≤， ①当0a =时，B φ=，满足B A ⊆， ②当0a ≠时，2B a ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，则223a ≤≤，解得2
13
a ≤≤，又a Z ∈，则1a =，
综上可得0a =或1a =， 故答案为：0或1. 【点睛】
本题考查了二次不等式的解法、空集的定义及集合的包含关系，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.
20．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R 上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇 解析：()1x x +
【解析】 【分析】
由奇函数的性质得()00f =，设0x <，则0x ->，由函数的奇偶性和解析式可得
()()()1f x f x x x =--=+，综合2种情况即可得答案．
【详解】
解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则()00f =， 设0x <，则0x ->，则()()()1f x x x -=-+， 又由函数为奇函数，则()()()1f x f x x x =--=+， 综合可得：当0x ≤时，()()1f x x x =+； 故答案为()1x x + 【点睛】
本题考查函数的奇偶性以及应用，注意()00f =，属于基础题．
三、解答题
21．（1）1m =，2n =；（2）1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可； （2）求出()g x 得表示，由函数()()2
2x
x
F x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，可得
21112(
)322
x x
r =+⋅-⋅，设1
2x t =，代入可得r 的取值范围. 【详解】
解：（1）由函数2
()3f x x mx n =-+（0m >）的两个零点分别为1和2，
可得130460m n m n -+=⎧⎨-+=⎩
，可得1m =，2n =；
（2）由题意得：()2
()3f x g x x x x
==+-，函数()()22x x F x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，即()022
x
x
g r -⋅=在[]1,1x ∈-有解，即211
12(
)322
x x r =+⋅-⋅在[]1,1x ∈-有解， 设12x t =
，有[]1,1x ∈-，可得1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，2231r t t =⋅-⋅+， 即2231r t t =⋅-⋅+在1,22
t ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
有解，
可得：2
2
3112312(),(2)4
82r t t t t =⋅-⋅+=--≤≤，可得1
38
r -
≤≤， 故r 的取值范围为1,38⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性、最值问题，考查换元思想，属于中档题.
22．（1）证明见详解；（2）函数()f x 在R 上单调递，证明见详解；（3）(1,1)- 【解析】 【分析】
（1）判断()f x 的定义域，用奇函数的定义证明可得答案；
（2）判断()f x 在R 上单调递增，用函数单调性的定义证明可得答案；
（2）由312
()13131
x x x
f x -==-++，可得30x ＞，可得231x +及231x -+的取值范围，可得()f x 的值域.
【详解】
证明：（1）易得函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称，
且3113()()3131
x x
x x f x f x -----===-++，故()f x 为奇函数；
（2）函数()f x 在R 上单调递增，理由如下：
在R 中任取12x x ＜，则1233x x -＜0，131x +＞0，231x +＞0，
可得12121
21212123131222(33)
()()(1)(1)31313131(31)(31)
x x x x x x x x x x f x f x ----=-=---=++++++＜0 故12()()0f x f x -＜，函数()f x 在R 上单调递增；
（3）由312
()13131
x x x f x -==-++，易得30x ＞，311x +＞，
故231x +0＜＜2，231x +-2＜-＜0，故2131x -+-1＜＜1， 故()f x 的值域为(1,1)-.
【点睛】
本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域，综合性大，属于中档题.
23．(1)(
)262f x x π⎛
⎫=
++
⎪⎝
⎭，单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌；
(2)2a ∈⎣ 【解析】 【分析】
（1）由最大值和最小值求得,A B ，由最大值点和最小值点的横坐标求得周期，得ω，再由函数值（最大或最小值均可）求得ϕ，得解析式； （2）由图象变换得()g x 的解析式，确定()g x 在[0,
]2
π
上的单调性，而()g x a =有两个
解，即()g x 的图象与直线y a =有两个不同交点，由此可得． 【详解】
(1)
由题意知,2
A B A B ⎧+=
⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
解得A =
，2
B =
. 又
22362
T πππ=-=，可得2ω=.
由63f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， 解得6
π
=
ϕ. 所以(
)262f x x π⎛
⎫=++
⎪⎝⎭
， 由2222
62
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，
解得3
6
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，k ∈Z .
又[]0,x π∈，所以()f x 的单调增区间为06,π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，2π,π3
轾犏犏臌
.
(2)函数()f x 的图象向左平移
12
π
个单位长度，再向下平移
2
个单位长度，得到函数()
g x 的图象，得到函数()g x 的表达式为()23x g x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ()g x 在[0,
]12π是递增，在[,]122
ππ
上递减，
要使得()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有2个不同的实数解，
即()y g x =的图像与y a =有两个不同的交点，
所以a ∈⎣. 【点睛】
本题考查求三角函数解析式，考查图象变换，考查三角函数的性质．“五点法”是解题关键，正弦函数的性质是解题基础． 24．（Ⅰ）2
()f x x =（Ⅱ）3,4⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（I ）根据幂函数的奇偶性和在区间(0,)+∞上的单调性，求得m 的值，进而求得()f x 的解析式.
（II ）先求得()g x 的解析式，由不等式()0<g x 分离常数λ得到122
x
x λ<
-，结合函数122x
y x =
-在区间[]1,2上的单调性，求得λ的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）∵幂函数35
()()m f x x
m -+=∈N 为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，
350m ∴-+>，且35m -+为偶数. 又N m ∈，解得1m =，
2()f x x ∴=.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2
()()2121g x f x x x x λλ=+-=+-. 当[1,2]x ∈时，由()0<g x 得122
x
x λ<
-.
易知函数122
x
y x =
-在[1,2]上单调递减， min 112322222
4x x λ⎛⎫
∴<-=-=- ⎪⨯⎝⎭.
∴实数λ的取值范围是3,4⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题.
25．（1）4,2a b ==（2
）2log x =（3）()[]0,240g x ∈ 【解析】 【分析】
（1）由()()211,2log 12f f ==解出即可 （2）令()
0f x =得421x x -=，即()
2
2210x
x --=，然后解出即可
（3）()42x
x
g x =-，令2x t =，转化为二次函数 【详解】
（1）由已知得()()()()222
221log 12log log 12f a b f a b ⎧=-=⎪
⎨=-=⎪⎩
，即22212a b a b -=⎧⎨-=⎩， 解得4,2a b ==；
（2）由（1）知()(
)2log 42
x
x
f x =-，令()0f x =得4
21x
x -=，
即()
2
2210x
x --=
，解得2x =
，
又120,22x x >∴=
，解得21log 2
x =； （3）由（1）知()42x
x
g x =-，令2x t =，
则()2
21124
g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，[]1,16t ∈， 因为()
g t 在[]1,16t ∈上单调递增
所以()[]0,240g x ∈， 26．（1）1a = （2）1
12
m -≤≤ 【解析】 【分析】
（1）根据函数的奇偶性，可得结果.
（2）根据（1）的条件使用分离常数方法，化简函数()f x ，可知()f x 的值域，结合不等式计算，可得结果. 【详解】 （1）
()2121a f +=-，()121112
a
f +-=-
因为()221
x x a
f x +=-是奇函数.
所以()()11f f =--，得1a =； 经检验1a =满足题意
（2）根据（1）可知()21
21
x x f x +=-
化简可得()2
121x f x =+- 所以可知()2
121
x f x =+
- 当()0,x ∈+∞时，所以()1f x > 对任意()0,x ∈+∞都有()2
2f x m m ≥- 所以212m m ≥-， 即1
12
m -≤≤ 【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性求参数，还考查了恒成立问题，对存在性，恒成立问题一般转化为最值问题，细心计算，属中档题.。