高等数学- 线性方程组的解

例4 求解齐次线性方程组
2x1 5x2 x3 3x4 0
3x1 4x2 2x3 x4 0
x1
2x2
x3
3x4
0
2x1 15x2 6x3 13x4 0
例5 求解齐次线性方程组
x1 x2 x3 0 3x1 2x2 x3 0 3x1 x2 5x3 0 2x1 2x2 3x3 0
非齐次线性方程组：增广矩阵化成行最简阶梯 形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，写出 其解。
例2 求解非齐次线性方程组
x1 x2 x3 1
93xx11
5x2 2 25x2
x3 4 4x3 16
27x1 125x2 8x3 64
例3 求解非齐次线性方程组
2x1 3x2 x3 5x4 1 5x1 10x2 2x3 x4 21 x1 4x2 3x3 2x4 1 2x1 4x2 9x3 3x4 16
一、Cramer法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a121 a22 a2n
0
an1 an2 ann
概念引入
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
设线性方程组
a21x1 a22 x2 a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
若常数项b1,b2 ,,bn不全为零, 则称此方程组为 非齐次线性方程组;若常数项 b1, b2 ,,bn 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组.
5x2 8x3 x4 0
x2 3x3 4x4 8
x1 3x2 2x3 x4 6
x2 7x3 8x4 18 27x3 39x4 90
10x3 12x4 26
x1 3x2 2x3 x4 6
x2 7x3 8x4 18 9x3 13x4 30
x1 3x2 2x3 x4 6
试求:(1)当a,b取什么值时，方程组无解， 有唯一解，有无穷多解？
(2)在有无穷多解的情况下，求其全部解。
x1 x2 x3 0,
x1 x2 x3 0,
x1 x2 2x3 0,
有非零解？
注意
1. 用Cramer法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
2. Cramer法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.解方程组一般不用Cramer 法则，计算量非常大,它主要适用于理论推导. （如，给出了解的表达式）
x1 3x2 2x3 x4 6
x2 7x3 8x4 18 x3 x4 4
9x3 13x4 30
22x4 66
x1 3x2 2x3 x4 6
x2 7x3 8x4 18
x3 x4 4
x4 3
x1 2
x2 x3
1 1
x4 3
三、初等变换法解线性方程组
a21x1 a22 x2 a2n xn 0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
有非零解.
例1. 用Cramer法则解方程组
x1 x2 x3 2x4 1,
x1
x2 2x3 x4 1, x1 x2 x4 2,
x2 x3 x4 1.
例2 问 取何值时，齐次方程组
x2 7x3 8x4 18
9x3 13x4 30
10x3 12x4 26
x3 x4 4
x1 3x2 2x3 x4 6
x2 7x3 8x4 18 x3 x4 4
9x3 13x4 30
x1 3x2 2x3 x4 6
x2 7x3 8x4 18 x3 x4 4
二、线性方程组的消元解法
例1 解线性方程组
x1 3x2 2x3 x4 6
(1)
3x21
x1
8x2 x3 x2 4
x3
5x4 0 x4 12
(2) (3)
x1 4x2 x3 3x4 2
(4)
x1 3x2 2x3 x4 6
x2 7x3 8x4 18
2
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
定理3 如果齐次线性方程组 2的系数行列式 D 0 则齐次线性方程组 2 没有非零解.
只有零解
定理4如果齐次线性方程组 2 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
也有，系数行列式 D 0
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
例1 解线性方程组
x1 3x2 2x3 x4 6
(1)
3x21
x1
8x2 x3 x2 4
x3
5x4 0 x4 12
(2) (3)
x1 4x2 x3 3x4 2
(4)
四、线性方程组有解的判定条件
齐次线性方程组 AX n1 0 RA n AX 0只有零解; RA n AX 0有无穷多个非零解.
例6 当a,b取什么值时，方程组有解？有解时， 求出它的一般解。
x1 x2 x3 x4 x5 1
3x1 2x2 x3 x4 3x5 a
x2
2x3
2x4
6x5
3
5x1 4x2 3x3 3x4 x5 b
例7 已知线性方程组
x1 x3 2
x1
2x2
x3
0
2x1 x2 ax3 b
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1
D1 , D
x2
D2 D
,
x3
D3 D
,, xn
Dn D
.
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a a b a a 11
1, j1
1
1, j1
1n
Dj
a a b a a n1
n , j1
定义：含有参数的方程 组的任一解，称为线性 方程组的通解．
齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简阶梯形 矩阵，便可写出其解。
四、线性方程组有解的判定条件
非齐次线性方程组 AX n1 B
RA R(A, B) n AX B有唯一解; RA R(A, B) n AX B有无穷多解；
RA R(A, B) AX B无解.
n
n , j1
nn
重要定理
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .
定理2 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.(Th1的逆否定理)
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1a22x2a2n xn 0