绥化市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

绥化市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（
）
A ．钱
B ．钱
C ．钱
D ．钱
2． 设向量，满足：||=3，||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3． 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
α(sin15,cos15)-
2cos α
A ．
B ． C. D ．0
12+1234
4． 若函数()y f x =的定义域是[]1,2016，则函数()()1g x f x =+的定义域是（ ）
A ．(]0,2016
B ．[]0,2015
C ．(]1,2016
D ．[]
1,20175． 随机变量x 1～N （2，1），x 2～N （4，1），若P （x 1＜3）=P （x 2≥a ），则a=（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6． 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2=，则椭圆和双曲线的离
心率的倒数之和的最大值为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．4
7． 已知定义域为的偶函数满足对任意的，有，且当
R )(x f R x ∈)1()()2(f x f x f -=+时，.若函数在上至少有三个零点，则
]3,2[∈x 18122)(2-+-=x x x f )1(log )(+-=x x f y a ),0(+∞实数的取值范围是（ ）111]
A ．
B ．
C ．
D ．)2
2
,
0()3
3
,
0()5
5
,
0()6
6,0(8． 已知向量=（1，），=（，x ）共线，则实数x 的值为（
）
A ．1
B ．
C ．
tan35°
D ．tan35°
9． 函数f （x ）=sin ωx （ω＞0）在恰有11个零点，则ω的取值范围（ ）
A ．C ．D ．时，函数f （x ）的最大值与最小值的和为（ ）
A ．a+3
B ．6
C ．2
D ．3﹣a
10．O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，P 是抛物线C 上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（
）A ．1B ．
C ．
D ．2
11．若关于x 的方程x 3﹣x 2﹣x+a=0（a ∈R ）有三个实根x 1，x 2，x 3，且满足x 1＜x 2＜x 3，则a 的取值范围为（
）A ．a ＞
B ．﹣
＜a ＜1
C ．a ＜﹣1
D ．a ＞﹣1
12．如图是七位评委为甲，乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m ，n 为数字0～9中的一个），则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a 和b ，则一定有（
）
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a=b
D ．a ，b 的大小与m ，n 的值有关
二、填空题
13．已知关于的不等式2
0x ax b ++<的解集为(1,2)，则关于的不等式2
10bx ax ++>的解集为___________.14．已知f （x ）=，则f （f （0））= ．15．（lg2）2+lg2•lg5+
的值为 ．
16．命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是 ．
17．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB=AD=4cm ，AA 1=2cm ，则点A 1到平面AB 1D 1的距离等于 cm ．　
18．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x 1，x 2，…，x 90和y 1，y 2，…，y 90，在90组数对（x i ，y i ）（1≤i ≤90，i ∈N *）中，
经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为 ．
三、解答题
19．已知f （α）=，
（1）化简f （α）；
（2）若f （α）=﹣2，求sin αcos α+cos 2α的值．
20．（本小题满分13分）已知函数，3
2
()31f x ax x =-+（Ⅰ）讨论的单调性；
()f x （Ⅱ）证明：当时，有唯一的零点，且．
2a <-()f x 0x 01(0,)2
x ∈
21．如图，在三棱锥 中，分别是的中点，且
P ABC -,,,E F G H ,,,AB AC PC BC .
,PA PB AC BC ==
（1）证明： ；
AB PC ⊥（2）证明：平面 平面 .
PAB A FGH 22．（本小题满分10分）
已知曲线，直线（为参数）.
22
:149x y C +=2,:22,x t l y t =+⎧⎨=-⎩
（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
C （2）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.
C P 30
A ||PA 23．求同时满足下列两个条件的所有复数z ：①z+
是实数，且1＜z+
≤6；
②z 的实部和虚部都是整数．
24．（本小题满分12分）△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 是BC 边上的中线．（1）求证：AD ＝；
12
2b 2＋2c 2－a 2（2）若A ＝120°，AD ＝，＝，求△ABC 的面积．
192
sin B sin C 35
绥化市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，
则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，
又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，
则a﹣2d=a﹣2×=．
故选：B．
2．【答案】B
【解析】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，
∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，
对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，
但5个以上的交点不能实现．
故选B
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．
3．【答案】B
【解析】
考点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义.
4．【答案】B
【解析】
【解析】解：随机变量x1～N（2，1），图象关于x=2对称，x2～N（4，1），图象关于x=4对称，
因为P（x1＜3）=P（x2≥a），
所以3﹣2=4﹣a，
所以a=3，
故选：C．
【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．
6．【答案】C
【解析】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1MF2=，
∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①
在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，
即=﹣1，②
在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，
即=1﹣，③
联立②③得，+=4，
由柯西不等式得（1+）（+）≥（1×+×）2，
即（+）2≤×4=，
即+≤，
当且仅当e1=，e2=时取等号．即取得最大值且为．
故选C．
【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．
【解析】
试题分析：，令，则，是定义在上的偶函数,
()()1)2(f x f x f -=+ 1-=x ()()()111f f f --=()x f R ．则函数是定义在上的，周期为的偶函数，又∵当时，
()01=∴f ()()2+=∴x f x f ()x f R []3,2∈x ，令，则与在的部分图象如下图，
()181222-+-=x x x f ()()1log +=x x g a ()x f ()x g [)+∞,0在上至少有三个零点可化为与的图象在上至少有三个交点，()(
)1log +-=x x f y a ()+∞,0()x f ()x g ()+∞,0在上单调递减，则，解得：故选A ．()x g ()+∞,0⎩⎨
⎧-><<23log 10a
a 33
0<<a 考点：根的存在性及根的个数判断.
【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答.
根据已知条件推导可得是周期函数,其周期为,要使函数在上至少有三个零点,等价于函数的
()x f (
)()
1log +
-=
x x f y a ()+∞,0()x f 图象与函数的图象在上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得的()1log +=x y a ()+∞,0范围.
8． 【答案】B
【解析】解：∵向量=（1，），=（
，x ）共线，
∴x==
=
=
，
故选：B ．
【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简，属于基础题．　
9． 【答案】A
【解析】A ．C ．D ．恰有11个零点，可得5π≤ω•＜6π，
求得10≤ω＜12，
故选：A．
10．【答案】C
【解析】解：由抛物线方程得准线方程为：y=﹣1，焦点F（0，1），
又P为C上一点，|PF|=4，
可得y P=3，
代入抛物线方程得：|x P|=2，
∴S△POF=|0F|•|x P|=．
故选：C．
11．【答案】B
【解析】解：由x3﹣x2﹣x+a=0得﹣a=x3﹣x2﹣x，
设f（x）=x3﹣x2﹣x，则函数的导数f′（x）=3x2﹣2x﹣1，
由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得﹣＜x＜1，此时函数单调递减，
即函数在x=1时，取得极小值f（1）=1﹣1﹣1=﹣1，
在x=﹣时，函数取得极大值f（﹣）=（﹣）3﹣（﹣）2﹣（﹣）=，
要使方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，
则﹣1＜﹣a＜，
即﹣＜a＜1，
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的应用，构造函数，求函数的导数，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键．　
12．【答案】C
【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；
甲得分的众数为a=85，乙得分的中位数是b=85；所以a=b ．故选：C ．　
二、填空题
13．【答案】),1(2
1,(+∞-∞ 【
解
析
】
考
点：一元二次不等式的解法.14．【答案】　﹣2　．
【解析】解：∵f （x ）=，
∴f （0）=02+1=1，
f （f （0））=f （1）=﹣2×1=﹣2．故答案为：﹣2．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．　
15．【答案】　1　．
【解析】解：（lg2）2+lg2•lg5+=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=1，故答案为：1．　
16．【答案】 ．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题所以，命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0”的否定形式是：
．
故答案为：．
17．【答案】
【解析】解：由题意可得三棱锥B1﹣AA1D1的体积是=，
三角形AB1D1的面积为4，设点A1到平面AB1D1的距离等于h，则，
则h=
故点A1到平面AB1D1的距离为．
故答案为：．
18．【答案】 ．
【解析】设A（1，1），B（﹣1，﹣1），则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所围成的弓形面积S1，由图知，，又，所以
【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）f （α）=
=
=﹣tan α；…5（分）
（2）∵f （α）=﹣2，
∴tan α=2，…6（分）
∴sin αcos α+cos 2α=
=
==．…10（分）
20．【答案】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）， （1分）
2()363(2)f x ax x x ax '=-=-①当时，解得或，解得，0a >()0f x '>2x a >
0x <()0f x '<20x a
<<∴的递增区间为和，的递减区间为． （4分）()f x (,0)-∞2(,)a +∞()f x 2(0,a
②当时，的递增区间为，递减区间为． （5分）
0a =()f x (,0)-∞(0,)+∞③当时，解得，解得或0a <()0f x '>20x a <<()0f x '<0x >2x a
<∴的递增区间为，的递减区间为和． （7分）()f x 2(,0)a ()f x 2(,)a
-∞(0,)+∞（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知上递减，在上递增，在上递减．2a <-2(,a -∞2(,0)a
(0,)+∞∵，∴在没有零点． （9分）22240a f a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭
()f x (,0)-∞∵，，在上递减，()010f =>11(2)028f a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭()f x (0,)+∞
∴在上，存在唯一的，使得．且 （12分）
(0,)+∞0x ()00f x =01
(0,2
x ∈综上所述，当时，有唯一的零点，且． （13分）2a <-()f x 0x 01(0,)2x ∈21．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】
考
点：平面与平面平行的判定；空间中直线与直线的位置关系.
22．【答案】（1），；（22cos 3sin x y θθ=⎧⎨
=⎩26y x =-+【解析】
试题分析：（1）由平方关系和曲线方程写出曲线的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）C C 由曲线的参数方程设曲线上任意一点的坐标，利用点到直线的距离公式求出点直线的距离，利用正C C P P 弦函数求出，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出的最大值与最小值.
PA PA 试题解析：（1）曲线的参数方程为，（为参数），直线的普通方程为.C 2cos 3sin x y θθ
=⎧⎨=⎩26y x =-+
（2）曲线上任意一点到的距离为．C (2cos ,3sin )P θθ|4cos 3sin 6|d θθ=
+-
则，其中为锐角，且，当时，取|||5sin()6|sin 30d PA θα==+- α4tan 3
α=sin()1θα+=-||PA
.当时，sin()1θα+=||PA 考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程.23．【答案】
【解析】解：设z+=t ，则 z 2﹣tz+10=0．∵1＜t ≤6，∴△=t 2﹣40＜0，解方程得 z=±i ．
又∵z 的实部和虚部都是整数，∴t=2或t=6，
故满足条件的复数共4个：z=1±3i 或 z=3±i ．
24．【答案】
【解析】解：
（1）证明：∵D 是BC 的中点，
∴BD ＝DC ＝.a 2法一：在△ABD 与△ACD 中分别由余弦定理得c 2＝AD 2＋－2AD ·a 24cos ∠ADB ，①a 2b 2＝AD 2＋－2AD ··cos ∠ADC ，②a 24a 2①＋②得c 2＋b 2＝2AD 2＋，a 22即4AD 2＝2b 2＋2c 2－a 2，
∴AD ＝.122b 2＋2c 2－a 2法二：在△ABD 中，由余弦定理得
AD 2＝c 2＋－2c ·cos B a 24a 2＝c 2＋－ac ·a 24a 2＋c 2－b 22ac
＝，
2b 2＋2c 2－a 24∴AD ＝.12
2b 2＋2c 2－a 2（2）∵A ＝120°，AD ＝，＝，1219sin B sin C 35由余弦定理和正弦定理与（1）可得
a 2＝
b 2＋
c 2＋bc ，①
2b 2＋2c 2－a 2＝19，②
＝，③b c 35联立①②③解得b ＝3，c ＝5，a ＝7，
∴△ABC 的面积为S ＝bc sin A ＝×3×5×sin 120°＝.1212
1534即△ABC 的面积为.154
3。