反褶积

第二章 反褶积
将地震记录看成是反射系数序列与地震子波的褶积，反褶积就是要消除这种褶积过程，从地震记录得到反射系数序列。

一般说来，反褶积的目的是消除某种已知的或未知的褶积过程的运算。

反褶积也可能用来消除震源信号或者记录仪器的响应。

反褶积也可能是用另一种褶积过程代替原来的褶积过程。

反褶积是一种滤波。

与一般滤波的区别有两点：一是着眼点在改变子波，而不是衰减噪声。

二是方法上是根据需要达到的目标由地震资料自动推导滤波器，而不是通过试验选择滤波器。

反褶积是子波级的处理，是常规处理中最精细的环节。

一 子波与反褶积
原始记录上的子波不管如何千变万化，必然是单边子波。

可控震源原始记录上的子波也是单边的，即扫描信号，经过相关以后才变成双边子波。

单边子波是物理可实现的，双边子波是非物理可实现的。

单边子波可以是最小相位子波、最大相位子波或混合相位子波。

判别方法可以有很多，对于下面的讨论来说，用Z 变换大概是最方便的。

将子波的各个样点值作为系数、样点序号作为Z 的幂次，写成Z 多项式，如果Z 多项式的根的模全部大于1，即根全部在单位圆外，就是最小相位子波；如果Z 多项式的根全部在单位圆内，就是最大相位子波；如果Z 多项式的根有一些在单位圆外，有一些在单位圆内，就是混合相位子波。

Z 多项式可以因式分解，每个因式有01=+bZ 形式，它代表有一个根Z 1-=。

（b 可以是实数，也可以是复数。

如是复数，必然共轭成对出现。

）可见当1<b 时，这个因式是最小相位的；当1>b 时，这个因式是最大相位的。

如果所有因式是最小相位的，子波就是最小相位的；如果所有因式是最大相位的，子波就是最大相位的；如果有一部分因式是最小相位的，有一部分因式是最大相位的，子波就是混合相位的。

因此，最小相位子波的尾点的绝对值必然小于其首点的绝对值，最大相位子波的尾点的绝对值必然大于其首点的绝对值，混合相位子波则可以是任何情形。

根据这个简单规则，至少在看到尾点的绝对值大于首点的绝对值的子波时，立刻就能判断它绝对不可能是最小相位子波。

为什么要考究子波是是不是最小相位的？这与反褶积算子有关。

为了要使反褶积结果是在子波起跳位置上的一个尖脉冲，不同相位子波的反褶积算子有不同的性质。

其原因在于所含的因式性质不同，
一个因式01=+bZ 有两种情况：1<b 和1>b ，反褶积算子的Z 多项式是
()()11-+=bZ Z A （1） 最小相位因式1<b ，其反褶积算子可展开成
()() +-+-=+=-3322111Z b Z b bZ bZ Z A （2）
有无限多项。

因为1<b ，所以反褶积算子Z 多项式的系数是收敛的。

另外Z 的幂次都不小于0，表明反褶积算子是单边的和无限长的。

在实际应用中，反褶积算子取有限项（尾部截断）不会引起很大误差。

截断后的反褶积算子仍然是最小相位的。

见图1。

图1. 最小相位因式B(Z)及其反褶积算子A(Z)
反褶积结果是
()()()()[]()11332211 111++-+=-++-+-+=+N N N N N Z
b Z b Z b Z b bZ bZ Z A bZ （3） 结果是无延迟的尖脉冲，另外由于算子截断而在延迟N +1个样点处还产生一个附加脉冲，因为1<b ，附加脉冲的幅度比1小得多。

因此最小相位因式有单边的最小相位反褶积算子。

再看最大相位因式，此时有1>b ，如果其反褶积算子也展开成
()() +-+-=+=-3322111Z b Z b bZ bZ Z A （4） 则由于1>b ，随着Z
的幂次增高，系数越来越大，因此单边反褶积算子是发散的，是非物
理可实现的。

这种算子不允许截断。

因此最大相位因式不存在单边反褶积算子。

见图2。

这个问题也容易解决，因为最大相位因式的样点次序（时间）前后倒转，就是最小相位因式，而最小相位因式的反褶积算子在上面已经是可以得到的。

于是可以得到时间反序的算子。

将上式改写成
()()
[]()
++-=+-+-=+=-----------------33221133221111111 11Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z b bZ Z A （5） 这虽然也是非物理可实现的，但在计算上是可以实现的，因为在计算中，样点的时间先后不过是位置不同，“时间”是可以“倒流”的。

因为1>b ，故有11<-b ，这样，反褶积算子Z 多项式的系数随着Z 的负幂次的增大是收敛的，允许取有限项。

()()113322111 -----------+++-==N N N Z b Z b Z b Z b Z A （6）
反褶积算子Z 多项式中Z 的幂次都小于0，表明输出在输入之前，是时间反方向的单边算子。

见图2。

图2. 最大相位因式B(Z)及其反褶积算子A(Z)
如果将时间倒过来看，用Z 作为反方向的延迟因子即超前因子，来代替上式的1-Z ，
括号内的部分就成为 ()()()[]N N N N N N
Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z A -----+------++-+-=-+-+-=11 13322111133221 （7）
括号内就与最小相位算子形式一样，只是Z 的意义不同。

在逆时间方向具有最小相位形式的算子，如果不考虑时间原点，
也就是对算子进行时移，
形式上就是最大相位的。

上面讨论说明：最小相位因式的反褶积算子是单边的最小相位的；最大相位因式的反褶积算子是负时间方向“单边”的，具有时移的最大相位形式。

讨论了子波因式的反褶积算子，就可以讨论子波与反褶积算子的关系。

子波的反褶积算子是各个因式的反褶积算子的褶积，即它们的Z多项式的乘积。

最小相位子波的所有因式都是最小相位的。

所有因式的反褶积算子也都是单边的、最小相位的。

这些反褶积算子的Z多项式乘积也是单边的、最小相位的。

因此最小相位子波的反褶积算子是单边的、最小相位的。

最大相位子波的所有因式都是最大相位的。

所有因式的反褶积算子都是负时间方向“单边”的、形式是最大相位的。

这些反褶积算子的褶积也是负时间方向“单边”的、形式是最大相位的。

因此最大相位子波的反褶积算子是负时间方向“单边”的、形式是最大相位的。

混合相位子波的因式一部分是最小相位的，一部分是最大相位的。

这些因式的反褶积算子一部分是单边的、最小相位的；一部分是负时间方向“单边”的、形式是最大相位的。

这些反褶积算子褶积的结果是双边的，形式是混合相位的，因此混合相位子波的反褶积算子是双边的，形式是混合相位的。

见图3。

图3. 混合相位子波B(Z)及其反褶积算子A(Z)
这就是不同性质的子波有不同性质的反褶积算子。

因式分解和多项式除法只是为了说明反褶积算子的性质，不是实际处理中应用是方法。

实际处理大都用最小二乘法。

在已知子波的情况下，用最小二乘法推导反褶积算子，期望输出（desired output不很确切的通用译名）为子波起跳点处的尖脉冲。

一般情况下可取双边反褶积算子。

令已知子波为
()L b b b b ，，，210
要推导的反褶积算子为
()N N N a a a a a a a ，，，，，，21011-+--
子波与反褶积算子褶积将得到结果
()N L N N c c c c c c c +-+-- ，，，，，，21011
此处
∑-=-=N
N
i i i k k a b c
（8） 期望输出为
⎩⎨⎧≠==0 00
1k k d k 当当
（9） 输出与期望输出的差值的平方和为
()∑∑∑+-=-=-+-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=L N N k k N N i i i k L N N k k k d a b d c Q 2
2
（10） 为求在Q 极小条件下的反褶积算子，使
0=∂∂j
a Q
（11） 得到联立方程组
0=⎪⎭
⎫
⎝⎛-∑∑+-=--=-L N N k j k k N
N i i i k b d a b N
N j ，，0-= （12） 或
()()j R a j i R db N
N
i i bb =-∑-= N
N j ，，0-= （13） 此处
()∑+-=--=-L
N N
k j k i k bb b b j i R
（14）
为子波自相关，而
()j L N N k j k k db b b d j R -+-=-==
∑ （15）
为期望输出与子波的互相关。

由联立方程组可解出反褶积算子。

这种由已知子波计算反褶积算子的情况称为确定性反褶积。

确定性反褶积用于去记录系统的响应、海上震源子波反褶积等方面。

二 地震记录与反褶积
地震记录上的子波往往是未知的。

不能使用上面的确定性反褶积方法。

从地震记录上消除子波的影响，是反褶积的主要应用。

按褶积的观点，记录是子波与反射系数序列的褶积的结果。

在解决反褶积问题中，记录是已知的，子波和反射系数序列都是未知的，要消除子波而获得反射系数序列是不可能的。

反褶积作为一种处理方法得以在工业中应用，得益于三点假设。

一是子波时不变假设，二是反射系数序列白色假设，三是子波最小相位假设。

在三点假设非同小可，使本来不可能解决的问题迎刃而解，从而地震数据处理得以进入一个新的阶段。

这三点假设非常大胆，对理论研究和实际资料分析的已有成果采取了粗暴的漠视态度。

但建立在此基础上的反褶积方法在工业中大规模应用的已达半个世纪，至今还仍然是一种常规处理方法。

这是地震勘探中的一个十分奇特的现象：一个旨在提高分辨率的方法以如此粗糙的假设为基础，并且得到如此大规模的长期的应用。

现在对三点假设做点讨论。

第一个子波时不变假设，显然是站不住脚的。

首先在理论上站不住脚。

地震波在传播过程中的衰减程度与频率有关，即子波在传播过程中是变化的，这在提出反褶积之前就已经是经典理论，至少Ricker 在1940年的文章[1]中已经有充分的阐述，而Robinson 的博士论文是1954年完成的[2]。

第二在逻辑上站不住脚。

如果子波是时不变的，那么深部反射波的子波就是震源激发的子波，就没有反褶积的必要。

既然反褶积要消除子波的影响，就承认子波是传播的结果，就不能不承认子波是时变的。

但这个问题也许并不特别严重，现在已经有了补偿办法。

例如在反褶积之前做反Q 滤波，可使地震记录基本符合子波时不变的假设。

然而，反Q 滤波是迟至90年代才出现的方法[3]，上距反褶积方法的提出时间差不多已经有40年了！
第二个反射系数序列白色假设也站不住脚。

采用这个假设的目的是为了在这个假设下可
以将记录振幅谱作为子波振幅谱应用。

实际资料表明，反射系数序列的振幅谱远不是光滑的，如果采用白色假设，则必然将反射系数序列振幅谱的不光滑性转移到子波振幅谱上，对反褶积产生不良后果。

本来是要消除子波的影响，在这个假设下将反射系数序列的一部分性质也成为消除的对象。

这方面的问题也是可以解决的。

以前有人采用多道多时窗统计方法可在一定程度上减弱反射系数序列的影响。

赵波提出谱模拟反褶积[4[后，才比较理想地解决了这个问题。

这时已经是反褶积方法问世40年后了。

赵波摒弃了白色反射系数序列的假设，而代之以子波振幅谱光滑的假设。

第三个子波最小相位假设也不牢靠。

很多人早就对此有所质疑，不过到目前为止，除非已知反射系数序列，好象还没有一种方法能够有效地从地震记录得到子波。

对于未知子波，是不能保证它是最小相位的。

在非最小相位子波情况下，用最小相位算子反褶积，结果是子波的最小相位部分得到消除，而子波的最大相位部分则与反褶积算子的相应的最小相位部分的褶积，输出只能是混合相位子波。

这就是说，最小相位子波反褶积后得到最小相位子波，最大相位子波或混合相位子波反褶积后得到混合相位子波。

图4中的最小相位、混合相位和最大相位子波具有相同的自相关，因而有相同的反褶积算子。

以这个反褶积算子应用于三种子波的结果完全不同。

最小相位子波的反褶积结果得到理想的尖脉冲。

而混合相位子波和最大相位子波的反褶积结果与尖脉冲相差很大，特别是最大相位子波的反褶积结果延续很长。

但反褶积后视频率都有明显的提高。

对于未知的非最小相位子波的反褶积恐怕还没有可靠的解决办法。

有人曾经提出对记录做时间方向的指数衰减，使非最小相位子波最小相位化，反褶积后再用相反的指数恢复，我的试验表明，这样做是徒劳的。

1998年Porsani和 Ursin[5]宣称的混合相位反褶积方法实际上并没有解决问题。

因为他们的方法仍然根据自相关求反褶积算子，而自相关并不包含子波的相位信息。

图4. 最小相位、混合相位和最大相位子波有不同的反褶积结果
在上述三个假设之下，就可以采用与确定性反褶积一样的联立方程组求反解褶积算子。

()()j R a j i R db N N i i bb =-∑-= N N j ，，0-= （13）
其中子波自相关用记录X 的自相关代替；因为假设子波最小相位，反褶积算子只要取单边；因为取单边算子，期望输出与子波的互相关只需要一个点0b ，可以采用一个任意常数。

即
()()j C a j i R N i i xx
δ=-∑=0 N j ，0= （16）
此处()j i R xx -为记录的自相关，而
()⎩⎨⎧>== 0 00 1
j j j 当当δ（17） C 可以取大于0的任意常数。

由联立方程组可方便地解出反褶积算子。

这种由未知子波计算反褶积算子的情况称为统计反褶积。

甚至比确定性反褶积计算更简单。

采用上述三点假设使反褶积获得很大成功的同时，也必须为其过于简化付出代价。

反褶积的应用提高了分辨率。

但反褶积原定的目标是获得反射系数序列，半个世纪的实践中，这个目标实际上已经不再被考虑了。

下面讨论与反褶积有关的一些问题。

1统计时窗的选取要考虑子波。

一般说来，时窗要有一定长度，以减少反射系数序列的影响。

这里不再多说。

一个统计时窗求一个反褶积算子，它是与这个时窗的子波相对应的。

一个统计时窗求得的反褶积算子如果要应用到此时窗以外，原则上应该保持子波相同的条件。

如果子波有变化，会得到不希望的结果。

例如，统计时窗的子波是低频的，应用到高频子波的部位，反褶积结果会使低频受到抑制，出现高频振荡现象。

图5中子波0到5的频率从低到高，统计时窗的子波是0。

得到的反褶积算子应用于不同子波，可看出频率相差越大，高频振荡现象越严重。

并且频率与统计时窗的稍有差别，反褶积效果就会明显变差。

图5. 子波0的反褶积算子应用于较高频的子波1到5的效果
又如，统计时窗的子波是高频的，应用到低频子波的部位，则反褶积结果不但增强比统计时窗子波频率更高的频率成分，而且增强比统计时窗子波频率更低的频率成分，至于统计时窗子波峰值频率附近的频率成分则相对受到抑制，得到双峰的振幅谱，在时间域好象载波现象。

图6中子波0到－5的频率从高到低，统计时窗的子波为0，与图5中的子波0相同，反褶积算子应用于各个子波的效果如图中右栏所示。

除了子波0能得到尖脉冲之外，其他子波的反褶积结果都呈现载波的特点，高频成分附加在一个低频背景上。

由图可以看到，即使频率稍有差别，反褶积效果就会显著变差。

图6. 子波0的反褶积算子应用于较低频的子波-1到-5的效果
一个统计时窗求一个反褶积算子，要求一个时窗内有统一的子波，至少在时窗内子波变化不能太大。

这时得到的反褶积算子才能有效地提高这个时窗的资料的分辨率。

如果选取的统计时窗跨越了子波频率差别明显的层段，得到的反褶积算子对与哪个子波都不合适，反褶积后子波常常会拖一个尾巴。

2 注意统计时窗的信噪比。

反褶积算子受统计时窗内资料的信噪比影响。

一般说来，高信噪比资料得到的反褶积算子较准确，能有效提高分辨率。

但一个噪声较小的统计时窗的算子应用于噪声较大的部位，结果噪声会放得更大，反之，噪声较大的统计时窗的算子应用于噪声小的部位，噪声可望得到更好的抑制。

这里举一个面波的例子。

面波主频10Hz，信号主频40Hz。

有三个道A、B、C的信号幅度相同，噪声幅度不同，分别是信号幅度的0.1倍、2倍和10倍。

这三道用同一个算子做反褶积。

图7的的反褶积算子由面波很弱的A道作为统计时窗求出的。

这个算子对于信号比较合适。

反褶积结果A道很好，B道和C道面波相当明显，不容易辨认信号，尤其是C道根本看不出信号。

反褶积结果反映了各道信噪比的变化。

这个图表明，高信噪比的统计时窗有利于提高分辨率，但不适用于低信噪比情形。

图8是另一个极端，反褶积算子由面波特别强的C道作为统计时窗求得。

这个算子对于面波比较合适，但对信号仍然有一定作用。

反褶积结果虽然A道没有压缩成尖脉冲，但B 道和C道的面波显著减弱，面波与信号得到分离，信号得到突出。

B道在反褶积前面波幅
度是信号的2倍，反褶积后不到信号的0.2倍，并且与信号分开了。

C道在反褶积前面波幅度是信号的10倍，信号完全淹没在面波背景中，反褶积后面波幅度与信号基本相当，并且与信号完全分开。

三个道的信号波形基本相似，分辨率也有所提高。

这个结果表明低信噪比的统计时窗有利于提高信噪比，分辨率也能得到一定提高。

图7. 有不同幅度面波的记录用面波很弱的A道的算子反褶积的结果
图8. 有不同幅度面波的记录用面波很强的C道的算子反褶积的结果
以上是各道采用同一个反褶积算子的情形，现在顺便看看各道分别采用本身的反褶积算
子的效果，如图9所示。

这时面波与信号基本分开，并且有所减弱。

信号压缩程度比采用同一算子好些，但道与道间波形变化较大：A道基本上是尖脉冲，B道波峰与波谷幅度大致相等，C道波峰幅度比后面的波谷小得多。

即随着信噪比降低，波形逐渐加长，主极值逐渐向后移动。

这种波形变化容易影响解释者对地下情况的判断。

图9. 各道采用本身的算子的反褶积结果
3 反褶积前的滤波反褶积前的滤波可以是频率域滤波，也可以是时间域滤波，时间域滤波可以是所谓“零相位”滤波，也可以是最小相位滤波。

滤波使各个频率成分的幅度关系发生变化，而反褶积趋向于使各个频率成分的幅度相同。

因此滤波或者不滤波的资料的反褶积结果振幅谱可能差别不大。

但还有些情况需要说明。

频率域滤波可以对需要滤去的某个频带充零。

反褶积也是一种滤波，只能对不同频率成分放大或缩小，不可能无中生有，已经滤去的频率成分在反褶积后仍然是零。

这种情形的滤波与不滤波资料的反褶积结果是不同的。

时间域滤波由于算子长度的有限，实际达到的频率响应只能逼近于希望的响应，而不可能等于希望的响应。

不可能对需要滤去的某个频带充零。

常用的“零相位”滤波的振幅响应在通带以外只有有限的若干个频率的幅度是零，并且所谓“零相位”滤波实际上不是零相位的，在通带以外的相位响应是0和 的交替。

“零相位”滤波的算子是双边的。

因此“零相位”滤波对记录上子波的相位特性有很大改造，滤波后的数据与反褶积关于最小相位子波的假设抵触更大。

因此滤波和不滤波数据的反褶积结果会有差别。

图10是“零相位”滤波前后数据的反褶积结果比较。

可以看出两种数据反褶积结果的振幅谱相差不大，但信号时间有移动，波形发生变化，滤波并没有减弱噪声。

图10. “零相位”滤波前后反褶积效果比较
也可以用最小相位滤波，最小相位滤波算子可以由“零相位”滤波算子两次求最小相位逆得到。

最小相位滤波不改变子波的单边性质，如果子波是最小相位的，滤波后仍然是最小相位的，因此不破坏反褶积的应用条件。

滤波以后提高了信噪比，能够获得质量更好的反褶积算子。

图11是最小相位滤波前后数据反褶积效果比较。

可以看出，信号时间和波形没有明显差别，而滤波后反褶积的噪声得到明显减弱，并且与信号完全分开。

图11. 最小相位滤波前后反褶积效果比较
上面的例子说明最小相位滤波可能对反褶积有利，进一步探讨大概不是没有意义的。

4 要考虑反射系数序列对反褶积结果的影响。

记录自相关不等于子波自相关，而是子波
自相关与反射系数序列自相关的褶积。

得到的反褶积算子也不等于最小相位子波的反褶积算子，而是最小相位子波与最小相位反射系数序列的反褶积算子。

如果子波和反射系数序列都是最小相位的，那么只要反褶积算子足够长，反褶积结果把记录变成一个尖脉冲，即子波和反射系数序列都被消除了，这当然是不能容忍的（见图12）。

如果反褶积算子比较短，可以看到反褶积能够使记录频率显著提高，但与反射系数序列相差比较大（见图13）。

图12. 最小相位子波（B）与最小相位反射系数序列（RC）的合成记录（S）的反褶积结果（SD）
反褶积算子（P）长度比较大
图13. 最小相位子波（B）与最小相位反射系数序列（RC）的合成记录（S）的反褶积结果（SD）
反褶积算子（P）长度比较小
反射系数序列一般不是最小相位的，如果子波是最小相位的，那么反褶积结果消除了子
波，而对反射系数序列则消除了其中的最小相位部分，留下其最大相位部分与它的对应最小相位逆的褶积结果。

用Z 变换表示，记录
()()()Z R Z B Z S = （18）
此处()Z B 是子波的Z 变换，()Z R 是反射系数序列的Z 变换。

假设子波是最小相位的，反射系数序列是混合相位的，用其最小相位部分与最大相位部分表示成
()()()Z R Z R Z R max min =
（19） 理想的最小相位反褶积算子是
()()()[]1-'=Z R Z B Z A
（20） 此处()Z R '是与()Z R 对应的最小相位序列，令()Z R max 的最高幂次为N Z ，则
()()()N Z Z R Z R Z R 1max min -='
（21）
于是最小相位反褶积算子是 ()()()()[]11max min --=N
Z Z R Z R Z B Z A （22）
反褶积结果是 ()()()()[]11max max --=N Z Z R Z R Z S Z A （23）
因此反褶积对反射系数序列有严重的改造作用。

反褶积结果与反射系数序列比较，似乎有点相像，又不太像。

感觉到“分辨率”提高了，但如果无保留地认为得到了反射系数序列，就会把对地下结构的理解引入歧途。

一般说来，反褶积结果与反褶积前的波形有一定程度的相似性，特别是强相位。

而反褶积前的波形与反射系数序列也有一定程度的相似性，特别是强反射系数。

因此，虽然反褶积对反射系数序列有所改造，但强反射系数部位多半变动不太大，这就是让人们相信反褶积的原因。

清醒的解释工作者需要区别对待，不能一切都信以为真，强弱与可信度往往有密切关系，弱相位可能并不反映实际情况。

有测井资料时可以得到反射系数序列，由此可以估计反褶积对反射系数序列的改造程度。

一种方法是观察反射系数序列的振幅谱，越接近于白色，反褶积对反射系数序列的改造越小，如果是理想白色的，则不论反射系数序列的相位谱如何，它对反褶积算子没有影响，反褶积对反射系数序列不会有改造。

另一种方法是对反射系数序列做反褶积，观察反褶积前后反射系数序列的变化程度，也就是反褶积对反射系数序列的改造程度。

如果反褶积前后反。