八年级上册数学 全册全套试卷测试卷(解析版)

八年级上册数学全册全套试卷测试卷（解析版）
一、八年级数学三角形填空题（难）
∠=，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线1．在ABC中，BACα
∠的度数为______.(用含α的代数式表示)
交边BC于点E，连结AD，AE，则DAE
【答案】2α﹣180°或180°﹣2α
【解析】
分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°－a，再根据角的和差关系进行计算即可．
解：有两种情况：
①如图所示,当∠BAC⩾90°时，
∵DM垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
同理可得，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α，
∴∠DAE=∠BAC−(∠BAD+∠CAE)=α−(180°−α)=2α−180°；
②如图所示,当∠BAC<90°时，
∵DM垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
同理可得，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α，
∴∠DAE=∠BAD+∠CAE−∠BAC=180°−α−α=180°−2α.
故答案为2α−180°或180°−2α.
点睛：本题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键.
2．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 ______ 度．
【答案】108°
【解析】
【分析】
如图，易得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD，然后求出顶角∠COD，再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可
【详解】
∵五边形是正五边形，
∴每一个内角都是108°，
∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，
∴∠COD=36°，
∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.
故答案为108°
【点睛】
本题考查正多边形的内角计算，分析出△OCD是等腰三角形，然后求出顶角是关键. 3．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2＝80°，则∠B＝_____度．
【答案】40．
【解析】
【分析】
利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得．
【详解】
∵△ABC沿着DE翻折，
∴∠1+2∠BED＝180°，∠2+2∠BDE＝180°，
∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）＝360°，
而∠1+∠2＝80°，∠B +∠BED +∠BDE ＝180°，
∴80°+2（180°﹣∠B ）＝360°，
∴∠B ＝40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
4．将直角三角形（ACB ∠为直角）沿线段CD 折叠使B 落在B '处，若50ACB '︒∠=，则ACD ∠度数为________.
【答案】20°.
【解析】
【分析】
根据翻折的性质可知：∠BCD=∠B′CD ，又
∠BCD+∠B′CD=∠B′CB=∠ACB+∠ACB′=90°+50°=140°，继而即可求出∠BCD 的值，又∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，继而即可求出∠ACD 的度数．
【详解】
解：∵△B′CD 时由△BCD 翻折得到的，
∴∠BCD=∠B′CD ，
又∵∠BCD+∠B′CD=∠B′CB=∠ACB+∠ACB′=90°+50°=140°，
∴∠BCD=70°，
又∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，
∴∠ACD=20°．
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查翻折变换的知识，难度适中，解题关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
5．三角形三边长分别为 3，1﹣2a，8，则 a 的取值范围是 _______．
【答案】﹣5＜a＜﹣2．
【解析】
【分析】
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，再将a的取值范围在数轴上表示出来即可．
【详解】
由三角形三边关系定理得8-3＜1-2a＜8+3，即-5＜a＜-2．
即a的取值范围是-5＜a＜-2．
【点睛】
本题考查的知识点是三角形三边关系，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，解题关键是根据三角形三边关系定理列出不等式.
6．如图，在△ABC中，∠A=70°，点O到AB,BC,AC的距离相等，连接BO，CO，则
∠BOC=________．
【答案】125°
【解析】
【分析】
根据角平分线性质推出O为△ABC三角平分线的交点，根据三角形内角和定理求出
∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB，即可求出答案．
【详解】
：∵点O到AB、BC、AC的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴
1
2
OBC ABC
∠=∠，
1
2
OCB ACB
∠=∠，
∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，
∴
1
11055
2
OBC OCB
∠+∠=⨯︒=︒，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°；
故答案为：125．
【点睛】
本题主要考查平分线的性质，三角形内角和定理的应用，能求出∠OBC+∠OCB的度数是解此题的关键．
二、八年级数学三角形选择题（难）
7．已知△ABC的两条高的长分别为5和20，若第三条高的长也是整数，则第三条高的长的最大值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】设△ABC的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为,,，根
据三角形的三边关系为，解得，所以h的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6．故选B．
点睛：本题主要考查了三角形的面积公式，三角形三边关系定理及不等式组的解法，有一定难度．利用三角形的面积公式，表示出△ABC三边的长度，从而运用三角形三边关系定理，列出不等式组是解题的关键，难点是解不等式组．
8．有下列说法：
①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
②三边长为、、3的三角形为直角三角形；
③等腰三角形的两边长为3、4，则等腰三角形的周长为10；
④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．
其中正确的个数是（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】
试题分析：根据等边三角形的性质可知，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故①正确；
根据三边可知：，，3²=9，因此可知：，由勾股定理的逆定理可知其是直角三角形，故②正确；
由等腰三角形的三边可知其边长为：3，3，4或3，4，4，则周长为10或11，故③不正确；由一边上的中线等于这边长的一半的直角三角形是等腰直角三角形，故④不正确.
故选：C
9．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2
C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据四边形的内角和为360°、平角的定义及翻折的性质，就可求出2∠A=∠1+∠2这一始终保持不变的性质．
【详解】
∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°，
则2∠A+(180°-∠2)+(180°-∠1)=360°，
∴可得2∠A=∠1+∠2．
故选：B
【点睛】
本题主要考查四边形的内角和及翻折的性质特点，解决本题的关键是熟记翻折的性质．10．如图，直线a∥b，若∠1＝50°，∠3＝95°，则∠2的度数为（）
A．35°B．40°C．45°D．55°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到∠4的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．
【详解】
解：如图，
根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+∠4，
∴∠4=∠3-∠1=95°-50°=45°，
∵a∥b，
∴∠2=∠4=45°．
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
11．如果一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是（）
A．八边形B．十四边形C．十边形D．十二边形
【答案】D
【解析】
【分析】
n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【详解】
这个正多边形的边数是n，根据题意得：
（n﹣2）•180°=1800°
解得：n=12．
故选D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n﹣2）×180°．
12．如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则α的度数（）
A．75°B．135°C．120°D．105°
【答案】D
【解析】
如图，
根据三角板的特点，可知∠3=45°，∠1=60°，因此可知∠2=45°，再根据三角形的外角的性质，可求得∠α=105°.
故选
三、八年级数学全等三角形填空题（难）
13．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为 .
【答案】41.
【解析】
作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
BA CA
BAD CAD
AD AD
=
⎧
⎪
∠=∠'
⎨
⎪='
⎩
，
∴△BAD≌△CAD′(SAS)，
∴BD=CD′.
∠DAD′=90°
由勾股定理得22
()=32=42
AD AD
+'
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=22
()=932=41
DC DD
+'+
∴BD=CD′=41，
故答案为41.
14．在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，若点O到三边的距离相等，则∠BOC＝_____°．
【答案】115或65或22.5
【解析】
【分析】
先画出符合的图形，再根据角平分线的性质和三角形的内角和定理逐个求出即可．【详解】
解：①如图，
∵点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三角的平分线的交点，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，
∴∠OBC＝1
2
∠ABC＝30°，
1
OCB
2
∠=∠ACB＝35°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝115°；
②如图，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，
∴∠EBC＝180°﹣∠ABC＝120°，∠FCB＝180°﹣∠ACB＝110°，∵点O到三边的距离相等，
∴O是∠EBC和∠FCB的角平分线的交点，
∴∠OBC＝1
2
∠EBC＝60°，
1
OCB
2
∠=∠FCB＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝65°；
③如图，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝45°，
∵点O到三边的距离相等，
∴O是∠EBA和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBA＝1
2
∠EBA＝
1
2
×（180°﹣60°）＝60°，
1
OCB
2
∠=∠ACB＝37.5°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBA+∠ABC+∠OCB）＝180°﹣（60°﹣60°﹣37.5°）＝22.5°；
如图，
此时∠BOC＝22.5°，
故答案为：115或65或22.5．
【点睛】
此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是根据题意分情况讨论.
15．如图，三角形△ABO中，∠OAB=∠AOB=15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B （6，0）．OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA+MN 的最小值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】
在x轴正半轴上取点N’，使ON’=ON，作AD⊥x轴于D点.易证△N’OM≌△NOM，可得MN’=MN，则MA+MN的最小值即为MA+MN’的最小值，由于A点固定，故当N’点与D点重合时，MA+MN’的值最小，即MA+MN的值最小.
【详解】
解：在x轴正半轴上取点N’，使ON’=ON，作AD⊥x轴于D点.
∵ON’=ON，∠N’OM=∠NOM，OM=OM，
∴△N’OM≌△NOM，
∴MN’=MN，
∴MA+MN=MA+MN’，
∵A点固定，
∴MA+MN’的最小值为当N’与D点重合时的MA+MN’值，
∴MA+MN’的最小值为AD，
∵∠OAB=∠AOB=15°，OB=6，
∴∠ABD=30°，AB=6，
∴AD=0.5×6=3，
∴MA+MN的最小值为3，
故答案为3.
【点睛】
理解A点是固定点，而M和N均为动点，然后运用三点共线及点到直线的最短距离概念进行解答是本题的关键.
16．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出_____个．
【答案】7
【解析】
只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有一个，答案可得．
解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，
所以一共能作出7个．
故答案为7
17．如图，在△ABC 中，∠ABC =50°，∠ACB =60°，点E 在BC 的延长线上，∠ABC 的平分线BD 与∠ACE 的平分线CD 相交于点D ，连接AD ，以下结论：①∠BAC =70°；②∠DOC =90°；③∠BDC =35°；④∠DAC =55°，其中正确的是
__________．（填写序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角平分线的性质解答即可．
【详解】
解：∵∠ABC =50°，∠ACB =60°，∴∠BAC =180°﹣50°﹣60°=70°，①正确；
∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC =
12
∠ABC =25°，∴∠DOC =25°+60°=85°，②错误； ∠BDC =60°﹣25°=35°，③正确；
∵∠ABC 的平分线BD 与∠ACE 的平分线CD 相交于点D ，∴AD 是∠BAC 的外角平分线，∴∠DAC =55°，④正确．
故答案为①③④．
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
18．如图，在△ABC 中， ∠BAC=90°， AB=AC=22，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE=45°，若BD=1，则DE=__________．
【答案】
53
【解析】 分析：根据等腰直角三角形的性质得45B ACB ∠=∠=，把△ABD 绕点A 逆时针旋转90得到△ACF ,连接,EF 如图，根据旋转的性质得
,,
AD AF BAD CAF
=∠=∠45,
ABD ACF
∠=∠=接着证明45,
EAF
∠=然后根据“SAS”可判断△ADE≌△AFE，得到DE=FE，由于90
ECF ACB ACF
∠=∠+∠=，根据勾股定理得222
CE CF EF
+=，设,
DE EF x
==则3
CE x
=-，则()222
31,
x x
-+=由此即可解决问题．
详解：90
BAC AB AC
∠==
，，
∴45
B ACB
∠=∠=，
把△ABD绕点A逆时针旋转90得到△ACF,连接,
EF如图,则
△ABD≌△ACF,
,,45,
AD AF BAD CAF ABD ACF
=∠=∠∠=∠=
∵45
DAE
∠=，
∴45
BAD CAE
∠+∠=，
∴45,
CAF CAE
∠+∠=
即45,
EAF
∠=
∴∠EAD=∠EAF，
在△ADE和△AFE中
AE AE
EAD EAF
AD AF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩，
∴△ADE≌△AFE，
∴DE=FE，
∵90
ECF ACB ACF
∠=∠+∠=，
∴222
CE CF EF
+=，
Rt△ABC中，∵22
AB AC
==，
∴224
BC AB AC
+=，
∵1
BD=，
设,
DE EF x
==则3
CE x
=-，
则有()222
31,
x x
-+=
解得：
5
.
3
x=
∴
5
.
3
DE=
故答案为5 .
3
点睛：本题属于全等三角形的综合题，涉及三角形旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大.
四、八年级数学全等三角形选择题（难）
19．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC 分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE、EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若
2
3
AE
AB
=，则
3
13
DHC
EDH
S
S
=．其中结论正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
分析：①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF-GF=CD-FC=DF；
②由SAS证明△EHF≌△DHC即可；
③根据△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-
∠HDC=180°；
④若
AE
AB
=
2
3
，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则
∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，26x，CD=6x，则S△DHC=
1
2
×HM×CD=3x2，S△EDH=
1
2
×DH2=13x2．
详解：①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD，
∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF−GF，DF=CD−FC，
∴EG=DF，故①正确；
②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=CH,∠GFH=
1
2
∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中，
EF=CD；∠EFH=∠DCH；FH=CH，
∴△EHF≌△DHC(SAS)，故②正确；
③∵△EHF≌△DHC(已证)，
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF−∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正确；
④∵AE
AB
=
2
3
，
∴AE=2BE，
∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=GH,∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH和△DFH中，
EG=DF；∠EGH=∠HFD；GH=FH，
∴△EGH≌△DFH(SAS)，
∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,
∴△EHD为等腰直角三角形，
如图，过H点作HM⊥CD于M，
设HM=x,则DM=5x,DH=26x，CD=6x，
则S△DHC=1
2
×HM×CD=3x2,S△EDH=
1
2
×DH2=13x2，
∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；
故选D.
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题关键在于根据题意熟练的运用相关性质.
20．如图，把ΔABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN 上，直线MN∥AB．在ΔABC中，若∠AOB=125°，则∠ACB的度数为（）
A．70°B．65°C．60°D．85°
【解析】
【分析】
利用平行线间的距离处处相等，可知点O到BC、AC、AB的距离相等，得出O为三条角平分线的交点，根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可得出结论．
【详解】
如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F．
∵MN∥AB，∴OD=OE=OF（平行线间的距离处处相等）．
如图2：过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'．
由题意可知：OD=OD'，OE=OE'，OF=OF'，∴OD'=OE'=OF'，∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点．
∵∠AOB=125°，∴∠OAB+∠OBA=180°－125°=55°，
∴∠CAB+∠CBA=2×55°=110°，∴∠ACB=180°－110°=70°．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形的内心，平行线间的距离处处相等，角平分线定义，解答本题的关键是判断出OD=OE=OF．
21．如图，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60º，则下列结论：①∠ABP=30º；②∠APC=60º；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．根据角平分线的性质定理可证得PN=PM ，再根据角平分线的判定定理可得PB 平分∠ABC ，即可判定①；证明△PAN ≌△PAH ，△PCM ≌△PCH ，根据全等三角形的性质可得∠APN=∠APH ，∠CPM=∠CPH ，由此即可判定②；在Rt △PBN 中，∠PBN=30°，根据30°角直角三角形的性质即可判定③；由∠BPN=∠CPA=60°即可判定④.
【详解】
如图，作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．
∵∠PAH=∠PAN ，PN ⊥AD ，PH ⊥AC ，
∴PN=PH ，同理PM=PH ，
∴PN=PM ，
∴PB 平分∠ABC ，
∴∠ABP=
12
∠ABC=30°，故①正确， ∵在Rt △PAH 和Rt △PAN 中， PA PA PN PH =⎧⎨=⎩
， ∴△PAN ≌△PAH ，同理可证，△PCM ≌△PCH ，
∴∠APN=∠APH ，∠CPM=∠CPH ，
∵∠MPN=180°-∠ABC=120°，
∴∠APC=
12
∠MPN=60°，故②正确， 在Rt △PBN 中，∵∠PBN=30°， ∴PB=2PN=2PH ，故③正确，
∵∠BPN=∠CPA=60°，
∴∠CPB=∠APN=∠APH ，故④正确．
综上，正确的结论为①②③④.
故选D.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.
22．已知等边三角形ABC 的边长为12，点P 为AC 上一点，点D 在CB 的延长线上，且
BD=AP，连接PD交AB于点E，PE⊥AB于点F，则线段EF的长为（）
A．6 B．5
C．4.5 D．与AP的长度有关
【答案】A
【解析】
【分析】
作DQ⊥AB，交直线AB的延长线于点Q，连接DE，PQ，根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BDQ，再由AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，可知四边形PEDQ是平行四边形，进而
可得出EF=
1
2
AB，由等边△ABC的边长为12可得出DE=6．
【详解】
解；如图，作DQ⊥AB，交AB的延长线于点F，连接DE，PQ，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠BQD=∠AEP=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠DBQ=60°，
在△APE和△BDQ中，
A DBQ
AEP BQD
AP BD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△APE≌△BDQ（AAS），
∴AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，
∴四边形PEDQ是平行四边形，
∴
EF=12
EQ ， ∵EB+AE=BE+BQ=AB ， ∴EF=
12AB ， 又∵等边△ABC 的边长为12，
∴EF=6．
故选：A.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解此题的关键在于根据题中PE ⊥AB 作辅助线构成全等的三角形.
23
．如图，在△ABC 中，AB=6，AC=10，BC 边上的中线．．AD=4，则△ABC 的面积．．
为 （ ）
A ．30
B ．48
C ．20
D ．24
【答案】D
【解析】 延长AD 到E ,使DE =AD ,连接BE ,因为D 为BC 的中点,所以DC =BD ,
在△ADC 和△EDB 中,
AD ED ADC EDB DC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, 所以△ADC ≌△EDB ,
所以BE =AC =10, ∠CAD ＝∠E ,
又因为AE =2AD =8,AB =6,
所以222AB AE BE =+,
所以∠CAD ＝∠E=90°,
则
1111
464624
2222 ABC ABD ADC
S S S AD BE AD AC
=+=⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯=,
所以故选D.
24．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于
点M和N,再分别以M,N为圆心,大于1
2
MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交
BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )
①AD平分∠BAC；②作图依据是S.A．S；③∠ADC=60°；④点D在AB的垂直平分线上
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的∠平分线；
②根据作图的过程可以判定出AD的依据；
③利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质求∠ADC的度数；
④利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点在AB的中垂线上.
解：如图所示，
①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的∠平分线；
故①正确；
②根据作图的过程可知，作出AD的依据是SSS；
故②错误；
③∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CBA=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=1
2
∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.故③正确；
④∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D 在AB 的中垂线上.
故④正确；
故选C.
“点睛”此题主要考查的是作图-基本作图，涉及到角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC 的度数是解题的关键.
五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
25．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将△AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____.
【答案】15CP ≤≤
【解析】
【分析】
根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.
【详解】
如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小，
此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，
如图，当点F 与点C 重合时，CP 的值最大，
此时CP=AC ，
Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP 的最大值为5， 所以线段CP 长的取值范围是1≤CP≤5，
故答案为1≤CP≤5.
【点睛】
本题考查了折叠问题，能根据点E 、F 分别在线段AB 、AC 上，点P 在直线BC 上确定出点E 、F 位于什么位置时PC 有最大（小）值是解题的关键.
26．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则∠C=12
∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于
∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．
【详解】
∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，
∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ，
故①正确；
若∠EBC=∠C ，则∠C=
12
∠ABC ， ∵∠BAC=90°，
那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，
故②错误；
∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，
∴∠ABF=∠EBD ，
∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ，
又∵∠BAD=∠C ，
∴∠AFE=∠AEF ，
∴AF=AE ，
故③正确；
∵AG 是∠DAC 的平分线，AF=AE ，
∴AN ⊥BE ，FN=EN ，
在△ABN 与△GBN 中， ∵90ABN GBN BN BN ANB GNB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
，
∴△ABN ≌△GBN （ASA ），
∴AN=GN ，
又∵FN=EN ，∠ANE=∠GNF ，
∴△ANE ≌△GNF （SAS ），
∴∠NAE=∠NGF ，
∴GF ∥AE ，即GF ∥AC ，
故④正确；
∵AE=AF ，AE=FG ，
而△AEF 不一定是等边三角形，
∴EF 不一定等于AE ，
∴EF 不一定等于FG ，
故⑤错误．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．
27．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形
（1）如图，在ABC ∆中，25,105A ABC ∠=︒∠=︒，过B 作一直线交AC 于D ，若BD 把ABC ∆分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______．
（2）已知在ABC ∆中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ∆分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________．
【答案】130︒ 1807︒⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】
（1）由题意得：DA=DB ，结合25A ∠=︒，即可得到答案；
（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD ，CD=AD ，②当AD=BD ，AC=CD ，③AB=AC ，当AD=BD=BC ，④当AD=BD ，CD=BC ，分别求出A ∠的度数，即可得到答案．
【详解】
（1）由题意得：当DA=BA ，BD=BA 时，不符合题意，
当DA=DB 时，则∠ABD=∠A=25°，
∴∠BDA=180°-25°×2=130°．
故答案为：130°；
（2）①如图1，∵AB=AC ，当BD=AD ，CD=AD ，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD ，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠BAC=90°．
②如图2，∵AB=AC ，当AD=BD ，AC=CD ，
∴∠B=∠C=∠BAD ，∠CAD=∠CDA ，
∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B ，
∴∠BAC=3∠B ，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°．
③如图3，∵AB=AC ，当AD=BD=BC ，
∴∠ABC=∠C ，∠BAC=∠ABD ，∠BDC=∠C ，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC ，
∴∠ABC=∠C=2∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°．
④如图4，∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，
∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=3∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴7∠BAC=180°，
∴∠BAC=
180 ()
7
︒．
综上所述，∠A的最小度数为：
180 ()
7
︒．
故答案是：
180 ()
7
︒．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．
28．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝___________．
【答案】40°
【解析】
【分析】
作P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2．连接OP 1，OP 2．则当M ，N 是P 1P 2与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP 1M=∠OPM=50°，OP 1=OP 2=OP ，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
如图：作P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2．连接OP 1，OP 2．则当M ，N 是P 1P 2与OA 、OB 的交点时，△PMN 的周长最短，连接P 1O 、P 2O ，
∵PP 1关于OA 对称，
∴∠P 1OP=2∠MOP ，OP1=OP ，P 1M=PM ，∠OP 1M=∠OPM=50°
同理，∠P 2OP=2∠NOP ，OP=OP 2，
∴∠P 1OP 2=∠P 1OP+∠P 2OP=2（∠MOP+∠NOP ）=2∠AOB ，OP 1=OP 2=OP ，
∴△P 1OP 2是等腰三角形．
∴∠OP 2N=∠OP 1M=50°，
∴∠P 1OP 2=180°-2×50°=80°，
∴∠AOB=40°，
故答案为：40°
【点睛】
本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P 1OP 2是等腰三角形是解题的关键．
29．如图，1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =，…，当2n ≥，70A ∠=︒时，11n n n A A B --∠=__________．
【答案】1
702n -︒
【解析】 【分析】 先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠，232B A A ∠及343B A A ∠的度数，再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数．
【详解】
解：∵在1ABA ∆中，70A ∠=︒，1AB A B =
∴170BA A A ∠==︒∠
∵1112A A A B =，1BA A ∠是121A A B ∆的外角
∴12111211703522B A A A B A BA A ︒∠=∠==
=︒∠ 同理可得，2321217017.542B A A BA A ︒∠=
==︒∠，343131708.7582B A A BA A ︒∠===︒∠ ∴111702n n n n A A B ---︒∠=
． 故答案为：
1
702n -︒ 【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据特殊情况找出规律是解题关键．
30．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD ＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是_____．
【答案】9.6．
【解析】
【分析】
由等腰三角形的三线合一可得出AD 垂直平分BC ，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长．在△ABC 中，利用面积法可求出BQ 的长度，此题得解．
【详解】
∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 垂直平分BC ，∴BP ＝CP ．
过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长，如图所示．
∵S △ABC 12=
BC •AD 12=AC •BQ ，∴BQ 12810
BC AD AC ⋅⨯===9.6． 故答案为：9.6．
【点睛】
本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC +PQ 的最小值为BQ 是解题的关键．
六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
31．如图，120AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，且2OP =，若点M N 、分别在OA OB 、上，且PMN ∆为等边三角形，则满足上述条件的PMN ∆有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．无数个
【答案】D
【解析】
【分析】 根据题意在OA 、OB 上截取OE=OF=OP ，作∠MPN=60°，只要证明△PEM ≌△PON 即可反推出△PMN 是等边三角形满足条件，以此进行分析即可得出结论.
【详解】
解：如图在OA 、OB 上截取OE=OF=OP ，作∠MPN=60°．
∵OP 平分∠AOB ，120AOB ∠=︒，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OE=OF=OP ，
∴△OPE ，△OPF 是等边三角形，
∴EP=OP ，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN ，
在△PEM 和△PON 中，
PEM PON PE PO
EPM OPN ∠⎪∠⎧⎩
∠⎪∠⎨＝＝＝ ∴△PEM ≌△PON （ASA ）．
∴PM=PN ，
∵∠MPN=60°，
∴△PNM 是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN 就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选：D ．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确添加辅助线并构造全等三角形.
32．如图所示，把多块大小不同的30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0，30ABO ∠=︒，第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ，第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ，第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ，按此规律继续下去，则点2018B 的坐标为（ ）
A ．()20182(3)
,0-⨯ B ．()20180,2(3)-⨯ C ．()20192(3),0⨯ D ．()
20190,2(3)-⨯ 【答案】D
【解析】
【分析】 计算出OB 、OB 1、 OB 2的长度，根据题意和图象可以发现题目中的变化规律，从而可以求得点B 2018的坐标．
【详解】
解：由题意可得，
OB = 2242-= 23，
OB 1= 3 OB= 233⨯ = 22(3)⨯，
OB 2= 3 OB 1= 32(3)⨯，
…
∵2018÷4=504…2，
∴点B 2018在y 轴的负半轴上，
∴点B 2018的坐标为()20190,2(3)
-⨯．
故答案为：D ．
【点睛】
本题考查规律型：点的坐标规律及含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．
33．如图，已知AD 为ABC ∆的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE ∆，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①DAE CBE ∠=∠；②CE DE ⊥；③BD AF =；④AED ∆为等腰三角形；⑤BDE ACE S S ∆∆=，其中正确的有( )
A ．①③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】
①根据等腰直角三角形的性质即可证明∠CBE ＝∠DAE ，再得到△ADE ≌△BCE ；
②根据①结论可得∠AEC ＝∠DEB ，即可求得∠AED ＝∠BEG ，即可解题；
③证明△AEF ≌△BED 即可；
④根据△AEF ≌△BED 得到DE=EF, 又DE ⊥CF ，故可判断；
⑤易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE ＝EF ，S △AEF ＝S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE ＝S △ACE ，所以S △BDE ＝S △ACE ．
【详解】
①∵AD 为△ABC 的高线，
∴CBE ＋∠ABE ＋∠BAD ＝90°，
∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，
∴∠ABE ＝∠BAE ＝∠BAD ＋∠DAE ＝45°，AE ＝BE ，
∴∠CBE ＋∠BAD ＝45°，
∴∠DAE ＝∠CBE ，故①正确；
在△DAE 和△CBE 中，
AE BE DAE CBE AD BC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；
②∵△ADE ≌△BCE ，
∴∠EDA ＝∠ECB ，
∵∠ADE ＋∠EDC ＝90°，
∴∠EDC ＋∠ECB ＝90°，
∴∠DEC ＝90°，
∴CE ⊥DE ；
故②正确；
③∵∠BDE ＝∠ADB ＋∠ADE ，∠AFE ＝∠ADC ＋∠ECD ，
∴∠BDE ＝∠AFE ，
∵∠BED ＋∠BEF ＝∠AEF ＋∠BEF ＝90°，
∴∠BED ＝∠AEF ，
在△AEF 和△BED 中，
BDE AFE BED AEF AE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△AEF ≌△BED （AAS ），
∴BD ＝AF
故③正确；
∵△AEF ≌△BED
∴DE=EF, 又DE⊥CF，
∴△DEF为等腰直角三角形，故④错误；
④∵AD＝BC，BD＝AF，
∴CD＝DF，
∵AD⊥BC，
∴△FDC是等腰直角三角形，
∵DE⊥CE，
∴EF＝CE，
∴S△AEF＝S△ACE，
∵△AEF≌△BED，
∴S△AEF＝S△BED，
∴S△BDE＝S△ACE．
故④正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证
△BFE≌△CDE是解题的关键．
34．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥B C，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分
∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC．其中正确的是( )
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
①∵IB平分∠ABC，∴∠DBI=∠CBI．
∵DE ∥BC ，∴∠DIB =∠CBI ，∴∠DBI =∠DIB ，∴BD =DI ，∴△DBI 是等腰三角形．
故本选项正确；
②∵∠BAC 不一定等于∠ACB ，∴∠IAC 不一定等于∠ICA ，∴△ACI 不一定是等腰三角形． 故本选项错误；
③∵三角形角平分线相交于一点，BI ，CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，∴AI 平分∠BAC ．故本选项正确；
④∵BD =DI ，同理可得EI =EC ，∴△ADE 的周长=AD +DI +EI +AE =AD +BD +EC +AE =AB +AC ． 故本选项正确；
其中正确的是①③④．
故选C ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．
35．如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，AH BC ⊥，AE 平分BAC ∠，M 是 BC 中点，则下列结论正确的个数为（ ）
（1）AB BE AC += （2）2AB BH BC += （3）2AB HM = （4）
CH EH AC +=
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】
（1）延长AB 取BD=BE ，连接DE ，由∠D=∠BED ，2ABC C ∠=∠，得到∠D=∠C ，在△ADE 和△ACE 中，利用AAS 证明ADE ACE ≌，可得AC=AD=AB+BE ；
（2）在HC 上截取HF=BH,连接AF ，可知△ABF 为等腰三角形，再根据2ABC AFB C ∠=∠=∠，可得出△AFC 为等腰三角形，所以FC+BH+HF=AB+2BH=BC ； （3）HM=BM-BH ，所以2HM=2BM-2BH=BC-2BH ，再结合（2）中结论，可得
2AB HM =；
（4）结合（1）（2）的结论，
BC 2BH BE BC BH BE BH CH EH AC AB BE =+=-+=-+-=+.
【详解】
解：。