高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质_1

答案：C
12/13/2021
4．(1－x)6 的展开式中 x 的奇数次项的二项式系数的和为________． 解析：令 x＝1，则 C06－C16＋C26－C36＋C46－C56＋C66＝0，且(C06＋C26＋C46＋C66)＋(C16＋ C36＋C56)＝26， ∴C16＋C36＋C56＝25＝32. 答案：32
[规范与警示] (1)解答本题易失分的三个关键步骤．
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(2)解答该问题 ①注重对性质的理解 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好， 如本例中利用性质可确定出展开式中第 6 项的二项式系数最大． ②注意对概念的区分 要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中 间项，而系数最大的不一定是中间项．如本例中求二项式系数的最大的项与系数的绝 对值最大的项的区别.
(2)设第 r＋1 项的系数的绝对值最大，
因为 Tr＋1＝Cr10·(2x)10－r·－1xr＝(－1)rCr10·210－r·x10－2r，
所以CCr1r100··221100－ －rr≥ ≥CC1r1r＋－00 11··221110－－rr，－1，
8分
得C2Cr10r1≥0≥2CCr1r1－ ＋00 11，， 即121r－＋r1≥≥2r1，0－r， 解得83≤r≤131. 因为 r∈N，所以 r＝3，10 分 故系数的绝对值最大的项是第 4 项， T4＝－C310·27·x4＝－15 360x4.12 分
… 解析：由 1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以 an＝2n－1. 答案：2n－1
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答案：C
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2．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则 a8 等于( )
A．180
B．－180
C．45
D．－45
解析：a8＝C810·22＝18．若x＋x1n 的展开式的各项系数之和为 64，则展开式的常数项为(
)
A．10
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求解二项展开式的系数和问题的方法： “赋值法”是解决二项展开式系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母所 取的不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x＝0 可得常数项， 令 x＝1 可得所有项系数之和，令 x＝－1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
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考纲定位
重难突破
重点：二项式系数的对称性、 1.借助“杨辉三角”掌握二项式系
增减性与最大值． 数的对称性，增减性与最大值．
难点：二项式系数的最值及项 2.会用赋值法求展开式系数的和.
的系数的最值.
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求解二项展开式系数最值问题： (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式 系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的 正、负变化情况求解，一般采用解不等式组的方法求得．
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[解析] 由题意知，22n－2n＝992 ， 即(2n－32)(2n＋31)＝0. 所以 2n＝32，解得 n＝5.4 分 (1)2x－x110 的展开式中第 6 项的二项式系数最大，即 T6＝C510·(2x)5·－1x5＝－8 064 ． 6分
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探究一 与“杨辉三角”有关的问题 [典例 1] 如图所示，在“杨辉三角”中，从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数 列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前 n 项和为 Sn，求 S16 的值．
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[解析] 由题意及杨辉三角的特点可得： S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9) ＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C29＋C19) ＝(C22＋C23＋C24＋…＋C29)＋(2＋3＋…＋9) ＝C310＋8×22＋9 ＝164.
解与“杨辉三角”有关的问题的一般思路： (1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察． (2)找规律：通过观察，找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律．
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1．如图所示，满足①第 n 行首尾两数均为 n；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第 n 行(n≥2) 的第 2 个数是________．
探究三 二项展开式系数最值问题 [典例 3] (1＋2x)n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最 大的项和系数最大的项． [解析] T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有 C5n25＝C6n26⇒n＝8. ∴(1＋2x)8 的展开式中，二项式系数最大的项为 T5＝C48·(2x)4＝1 120x4. 设第 r＋1 项系数最大，则有CC8r8r··22rr≥≥CC88rr＋－11··22rr＋－11， ⇒5≤r≤6. ∵r∈{0,1,2，…，8}，∴r＝5 或 r＝6. ∴系数最大的项为 T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
Cn－2 1n，Cn＋2 1n
相
等，且同时取得最大值．
3．二项式系数的和
(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝ 2n . (2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝ 2n－1 .
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[双基自测]
1．(3x－ 1 )n 的展开式中各项系数之和为 128，则 n 等于( ) 3 x2
B．20
C．30
D．120
解析：由 2n＝64，得 n＝6，∴Tk＋1＝Ck6x6－k1xk＝Ck6x6－2k，由 6－2k＝0，得 k＝3， ∴T4＝C36＝20. 答案：B
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4．如图是一个类似“杨辉三角”的递推式，则其第 n 行的首尾两个数均为________． 1
33 565 7 11 11 7 9 18 22 18 9
相等，即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，…，Crn＝Cnn－r.
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(2)增减性与最大值：当 k<n＋2 1时，二项式系数是逐渐 增大 的．由对称性知它的后半
部分是逐渐 减小 的，且在中间取得最大值．当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数
π C2n 取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：令 x＝1，则 2n＝128，
∴n＝7.
答案：D
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2．已知 C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝729，则 C1n＋C3n＋C5n的值等于( )
A．64
B．32
C．63
D．31
解析：C0n＋2C1n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝3n＝729， ∴n＝6，∴C16＋C36＋C56＝32. 答案：B
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3．(1－x)13 的展开式中系数最小的项为( )
A．第六项
B．第七项
C．第八项
D．第九项
解析：展开式中共有 14 项，中间两项(第七、八项)的二项式系数最大．
∵二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．
∴系数最小的项为第八项，系数最大的项为第七项．
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中，每行两端都是 1 ，与这两个 1 等距离的项的系数 相等 ． (2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的 和 ，即
Crn＋1＝Crn－1＋Crn . 2．二项式系数的性质 (1)对称性：在(a＋b)n 的展开式中，与 首末两端“等距离” 的两个二项式系数
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[随堂训练]
1．(1＋x)2n＋1 的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )
A．n，n＋1
B．n－1，n
C．n＋1，n＋2
D．n＋2，n＋3
解析：该式展开共 2n＋2 项，中间有两项；第 n＋1 项与第 n＋2 项．所以第 n＋1 项
与第 n＋2 项为二项式系数最大的项．
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2．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10. (1)求 a1＋a2＋…＋a10； (2)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2. 解析：(1)令 f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10， a0＝f(0)＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f(1)＝0， 故 a1＋a2＋…＋a10＝－32. (2)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2 ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10) ＝f(1)·f(－1)＝0.
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2
3．已知(x 3 ＋3x2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为 32. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 解析：令 x＝1， 则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n. 又展开式中二项式系数和为 2n， ∴222nn＝2n＝32，n＝5.
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(1)∵n＝5，展开式共 6 项，
∴二项式系数最大的项为第三、四两项，
2
∴T3＝C25(x 3 )3(3x2)2＝90x6，
2
22
T4＝C35(x 3 )2(3x2)3＝270x 3 .
2
10 4 k
(2)设展开式中第 k＋1 项的系数最大，则由 Tk＋1＝Ck5(x 3 )5－k(3x2)k＝3kCk5x 3 ，
得33kkCCkk55≥ ≥33kk－ ＋11CCk5k5－ ＋
1， 1，
∴72≤k≤29，∴k＝4，即展开式中系数最大的项为
T5＝C45(x
2 3
)(3x2)4＝405x
26 3
.
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二项式中关于系数的最值问题 [典例] (本小题满分 12 分)已知(3 x＋x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x－1)n 的展 开式的二项式系数和大 992，求2x－x12n 的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．
1 22 343 4774 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 解析：由图中数字规律可知，第 n 行的第 2 个数是[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝nn2－1＋1. 答案：n2－n＋2 2 12/13/2021
探究二 二项展开式的系数和问题
[典例 2] 设(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 求：(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5 的值； (2)a1＋a3＋a5 的值； (3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|的值． [解析] 记 f(x)＝(1－2x)5. (1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝f(1)－f(0)＝－2. (2)f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5， 所以 a1＋a3＋a5＝12[f(1)－f(－1)]＝21(－1－35)＝－122. (3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝f(－1)－f(0)＝35－1＝242.