高三数学理人教版一轮训练函数模型及其应用

第９节函数模型及其应用
【选题明细表】
知识点、方法题号
一次、二次函数模型2,3,７,8
指数、对数函数模型1,4,１0
函数模型的综合应用５,6,9,1１,１2，13
基础巩固（时间:30分钟）
1.某新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售２０0台,第三个月销售400台，第四个月销售７90台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( C ）
(Ａ)y=1００xﻩ(B）ｙ=５0x２-5０x+１00
(Ｃ)y=５0×2x(Ｄ）ｙ＝1０0log2ｘ+100
解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数函数模型．故选C.
2.(2０１7·广元三模)某城区按以下规定收取水费:若每月用水不超过20 ｍ３，则每立方米水费按2元收取;若超过2０ m3，则超过的部分按每立方米3元收取,如果某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米２.２0元,则这户居民这月共用水( D )
(A)46 m3ﻩ（B)44 ｍ3(Ｃ)２6 m3ﻩ（D)2５ m３
解析:设这户居民这个月共用水x立方米,
20×2+(x－20）×3=2．2ｘ，
40+3ｘ－６0=2.2x,
０.8ｘ=2０,
ｘ=25．
他这个月共用了２5立方米的水.
故选Ｄ.
３.有一批材料可以建成2０0 m的围墙,如果用此材料一边靠墙围成一个矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形,如图所示,则围成矩形场地最大面积为( B )
(A)２００0 m２ﻩ(B)2 500 m2(C)２80０ m2ﻩ(D)3 000 m2
解析:设每个小矩形长为x,宽为y,则４x+3y＝200,
S=3xy=x(2０0-4x)=-4x２+2００x
=-4(x-25)２+2 500,
所以ｘ＝25时,Sｍaｘ=2 ５00（ｍ2）.故选Ｂ.
4.某工厂２017年生产某产品2万件,计划从２01８年开始每年比上一年增产20%,从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件(已知lg 2＝0.３0１ 0，ｌg 3=0.４7７1）( Ｄ)
(A）2021年(Ｂ)2022年ﻩ(C)2023年(Ｄ)２024年
解析：设再过ｎ年这家工厂生产这种产品的年产量超过６万件,
根据题意,得2（１+20%)n>６,即１.2n>３,
两边取对数,得nlｇ 1.2>lｇ 3,
所以n>≈6.０３1 6.
所以n＝7,
即2017+7=２０２４．
所以从20２4年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件.故选D.
5.(2017·山西长治期中)制作一个面积为1 m2,形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择,较经济的(够用,又耗材最少)是( Ｃ)
(A)4.６ mﻩ(Ｂ)４．8 mﻩ（C)5 m (D)5．2 ｍ
解析:设一条直角边为ｘ,则另一条直角边是,
斜边长为,
故周长C=x++≥2+2≈4.82,
当且仅当x=时等号成立，
故较经济的(够用,又耗材最少)是5 m.
故选C.
６．(20１6·长春联合测试）某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了ｎ次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为（ B )
（A)略有盈利
(B)略有亏损
(C)没有盈利也没有亏损
(D)无法判断盈亏情况
解析:设该股民购这只股票的价格为ａ,则经历ｎ次涨停后的价格为ａ（1+10％)n=a×１.1n,经历ｎ次跌停后的价格为ａ×１.１n×（1-10%）n=a×
1.1ｎ×０.9n=a×（１.1×０.9)ｎ＝0．９9n·a<ａ,故该股民这只股票略有亏损.
故选Ｂ.
7．在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为ｍ．
解析：设内接矩形另一边长为y,
则由相似三角形性质可得=，
解得y=40－x，
所以面积S＝ｘ（4０-x)=-x2+40x=-(x－20）２+400(0<x<40),当x=20时,S max=4０0(m2).
答案:20
８.某人根据经验绘制了2017年元旦前后,从１2月２1日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y(千克）随时间ｘ(天)变化的函数图象,如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿千克.
解析:前1０天满足一次函数关系式,设为y=ｋx+b,
将点(1,１0）和点(1０,３0)代入函数解析式得
解得ｋ=，b=,所以ｙ=x＋,
则当x=6时,y＝.
答案:
能力提升(时间:15分钟)
9．某地区植被破坏、土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加的面积分别为1９８.５公顷、3９9.6公顷和793.7公顷,则沙漠增加面积y（公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是（ C )
(Ａ)y=２0０ｘ(Ｂ）y＝100x2+１００x
(Ｃ)ｙ=1０0×2x(D)y＝0.２x+ｌog2x
解析:对于Ａ,x=１,２时,符合题意,x=3时,相差较大,不符合题意; 对于Ｂ,ｘ=1时,符合题意,x=2,3时,相差较大,不符合题意；
对于C，x＝1,2,３时,y值都近似符合题意；
对于D,x=１，2，３时,相差较大,不符合题意.故选C．
１0.某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P mg/L与时间t ｈ间的关系为Ｐ=P０e－kt．若在前5个小时消除了1０%的污染物,则污染物减少５0%所需要的时间约为(已知ｌg 2＝
0.30１ 0,
ｌg 3＝0.４77 １)( Ｂ )
(A)２6小时(B)3３小时ﻩ(C)36小时 (D）42小时
解析:由题意,前5个小时消除了１0％的污染物,
因为P=P０e-kｔ,
所以（1-10%)P0=Ｐ０e－5k,
所以k=－ln 0．9;
则Ｐ=P0，当P＝50％P0时,
有5０%P0=P0,
所以lｎ０．9=ｌn ０.5,
所以t=≈33,
即污染物减少５0%需要花33小时.
故选B.
１1.已知投资ｘ万元经销甲商品所获得的利润为P=；投资ｘ万元经销乙商品所获得的利润为Q=（ａ>0)．若投资2０万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品,使所获得的利润不少于５万元,则a 的最小值为 .
解析:设投资乙商品ｘ万元(0≤ｘ≤20)，则投资甲商品(20-ｘ)万元. 利润分别为Q=（a>0)，P=,
因为Ｐ＋Q≥5,0≤x≤20时恒成立,
则化简得ａ≥,0≤ｘ≤２0时恒成立.
(1）x=0时,ａ为一切实数;
(2）0＜ｘ≤20时,分离参数ａ≥,0<ｘ≤20时恒成立,
所以a≥,a的最小值为．
答案:
1２.(２01７·南昌二模)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2０17年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x=3－函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为３万元,产品每1万件进货价格为３２万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是万元．解析:由题知t=-1,（1<x<3）,
所以月利润:y＝(４8+)x-32x-3-t＝16x-－3=1６x-+-3=45.5-[1６(3-
ｘ)＋]≤45.5-２=37.５,
当且仅当x=时取等号,即月最大利润为37.5万元.
答案:37.5
1３.某化工厂从今年一月起,若不改善生产环境,按生产现状,每月收入为７0万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚３万元,以后每月增加2万元.如果从今年一月起投资50０万元添加回收净化设备(改造设备时间不计),一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算,添加回收净化设备并投产后的前５个月中的累计生产净收入g(ｎ)是生产时间n个月的二次函数g（n）=ｎ2＋kn(k 是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万,从第6个月开始,每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时,该厂不但不受处罚,而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．
（1)求前8个月的累计生产净收入ｇ(８)的值;
（2)问经过多少个月,投资开始见效,即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入.
解:(1)据题意g（3)=３2＋3k＝３０9,解得k＝100,
所以ｇ(ｎ)=n２+１00n，(n≤5)
第5个月的净收入为ｇ(5）-g(４)=10９(万元)，
所以,g(8）＝ｇ（5）+3×1０9=852万元.
(2)g(n)=
即g(n)=
若不投资改造,则前n个月的总罚款
3n+×2=n2+2n,
令g（n)-５０0+１00>70n-（n2+2n),
得g(n）+n2-６8ｎ-40０>0.
显然当ｎ≤5时，上式不成立;
当n>5时,109n-20+n2-6８n-40０＞0, 即n(n＋４1）＞420，
又n∈N，
解得n≥9．
所以，经过9个月投资开始见效.。