第六章IIR滤波器的设计方法

j4
数字滤波器的频率响应：
H
(e
j
)
1
0.318e j 0.4177e j 0.01831e
j
2
冲激响应不变法的优缺点
优点： h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t)
时域逼近良好 保持线性关系：=T
线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器
缺点： 频率响应混迭
只适用于限带的低通、带通滤波器
通带、阻带与过渡带：信号允许通过的频带 为通带，完全不允许通过的频带为阻带，通 带与阻带之间为过渡带。
滚降与滚降率：滤波器幅频特性在过渡 带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。
阻带衰减：输入信号在阻带的衰减量
带内平坦度：通带和阻带内的平坦程度
4、数字滤波器的设计步骤
数字滤波器的设计三个步骤:
后各频率成分的衰减情况
( j) 为相频特性：反映各频率成分通过滤波
器后在时间上的延时情况
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近
通带： c
1 1 H (e j ) 1
阻带： st H (e j ) 2
过渡带： c st
c ：通带截止频率
st ：阻带截止频率
：通带容限
Ha(s) Ha(-s)的零极点分布
由 Ha ( j) 2 确定Ha (s)的方法
由幅度平方函数得象限对称的s平面函数 对比 Ha ( j) 和 Ha (s) ，确定增益常数 由零极点及增益常数，得Ha (s)
低通
2π
π
高通
H (e j ) π
2π ω
2π
π
带通
H (e j ) π
2π ω
2π
π
带阻
H (e j ) π
2π ω
2π
π
π
2π ω
2、LP到其他滤波器的变换 由LP实现的HP
LP实现的BP
LP实现的BRF
3、 滤波器的性能指标
带宽：当幅度降低到0.707时的宽度称为
滤波器的带宽（3dB带宽）
(1) 按要求确定滤波器的性能参数； (2) 用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系 统函数去逼近去逼近这一性能要求； (3) 用有限精度的运算实现；实现可以采用通用 计算机，也可以采用DSP。
5、数字滤波器的技术要求
选频滤波器的频率响应：
H (e j ) H (e j ) e j ( j)
H (e j ) 为幅频特性：表示信号通过该滤波器
1/ a*
a
0 a*
Re[z]
a 1
相位响应
H (e j ) H (e j ) e j (ej ) Re H (e j ) j Im H (e j )
相位响应：
(e
j
)
arctan
Im[ Re[
H H
(e (e
j j
)] )]
H *(e j ) H (e j ) e j (e j )
H (z) H1(z)H2(z) Hm(z)
其中：Hi (z)
Hai (s)
s
c1 1
z 1 z 1
i 1,2,...,m
可分解成并联的低阶子系统
Ha (s) Ha1 (s) Ha2 (s) Ham (s)
H (z) H1(z) H2(z) Hm(z)
其中：Hi (z)
Hai (s)
6.7 双线性变换法
冲激响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生 频率响应的混叠失真
为了克服这一缺点，采用双线性变换法。 使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频
率响应相似
一、变换原理及特点
脉冲响应不变法的映射是多值映射,导致频 率响应交叠。
改进思路：先将s域平面压缩到一个中介平 面s1，然后再将s1映射到Z平面。
y(n) ya (nT )
设 ha (t) Ha (s) h(n) H (z)
则： H (z)
| z esT
1 T
Ha (s
m
jm
2
T
)
从频率响应来看：
H (e j )
1 T
k
Ha(
j
j
2
T
k)
1 T
k
Ha(
j
2k )
T
➢数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应
的周期延拓，周期为2/T
k 1 N
h(n) ha (nT ) AkesknTu(nT )
H (z)
k 1
h(n)zn
N
Ak
e z skT n n
n
n0 k 1
N
Ak
k 1 n0
eskT z 1
n
N
Ak
k1 1 eskT z1
Ha (s)
N k 1
s
Ak sk
H (z)
N
Ak
k1 1 eskT z1
1、由幅度平方函数 Ha ( j) 2确定模拟滤波器 的系统函数Ha (s)
Ha(
j)
2
Ha(
j)
H
* a
(
j)
h(t)是实函数
Ha ( j)Ha ( j)
Ha (s)Ha (s) s j
将左半平面的的极点归Ha(s)
将以虚轴为对称轴的对称
零点的任一半作为Ha(s) 的零点，虚轴上的零点一
半归Ha(s)
s
c1 1
z 1 z 1
i 1,2,...,m
6.8 常用模拟低通滤波器特性
将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术 指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器
模拟滤波器 巴特沃斯 Butterworth 滤波器 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 椭圆 Ellipse 滤波器 贝塞尔 Bessel 滤波器
1 1 /T
1
2
tg
1
1 c
1
预畸变
给定数字滤波器的截止频率 1，则
1
c
tg
1
2
按1设计模拟滤 波器，经双线性 变换后，即可得 到1为截止频率 的数字滤波器
五、模拟滤波器数字化方法
1 z1
H(z) Ha(s)
s
c
1 1
z z
1 1
Ha
c
1
z
1
可分解成级联的低阶子系统
Ha (s) Ha1 (s)Ha2 (s) Ham (s)
1 e j1T 1 e j1T
e 2 e 2
j
j
tan(
1T 2
)
1 1
e e
j1T j1T
1 es1T s 1 es1T
z es1T
j s
j1 s1
s
1 1
z 1 z 1
z 1 s 1 s
为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一
频率有对应关系，引入系数 c
c tg 1T 2
优点：避免了频率响应的混迭现象
c tg
2
s 平面与 z 平面为单值变换
0 0 0 0
缺点：除了零频率附近，与之间严重非线性 1）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器
2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不 然会产生畸变
分段常数型模拟滤波器 经变换后仍为分段常数 型数字滤波器，但临界 频率点产生畸变
j
j1 /T
1T
1
/T
z e s1T
Z平面 e j e j1T 单位圆
j
:[,]
j1 /T
1T
1
/T
z e s1T
1
:
T
,
T
Z平面 e j e j1T 单位圆
tg 1T 2
z es1T 1T
j
j 1T
j
tan( 1T 2
)
e
2 j 1T
j 1T
e 2
j 1T
1）s
c
1 1
z z
1 1
c
1 1
e e
j j
jc tg
2
j
s平面虚轴
z平面单位圆
2）z c s c j
(c )2 2
z
c s c j
(c )2 2
s平面
z平面
0 z 1 左半平面
单位圆内
0 z 1 右半平面
单位圆外
0 z 1 虚轴
单位圆上
四、优缺点
称 c 为3dB通带截止频率
6、表征滤波器频率响应的特征参量
幅度平方响应
H (e j ) 2 H (e j )H *(e j )
H (e j )H (e j ) H (z)H (z1) ze j
H (z)H (z1) 的极点既是共轭的，又是以单
位圆成镜像对称的
j Im[z]
H(z)的极点：单位圆内的极点
第六章 IIR滤波器的设计
6.1 引言
数字滤波器：
是指输入输出均为数字信号，通过一定运算 关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或 者滤除某些频率成分的器件。
优点：
高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要 求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能
数字滤波器的分类
经典滤波器： 选频滤波器
现代滤波器： 维纳滤波器 卡尔曼滤波器 自适应滤波器等
1、滤波器的基本概念 （1） 滤波器的功能
滤波器的功能是对输入信号进行滤波 以增强所需信号部分，抑制不要的部分。
a） 时域说明 b） 频域说明
（2） 四种基本的滤波器
四种基本滤波器为低通（LP）、高通 （HP）、带通（BP）和带阻滤波器（BR）：
（3） 四种基本滤波器的数字表示
H (e j )
映射到 z 平面的单位圆内 |z| < 1
设计方法：
- 冲激响应不变法 - 阶跃响应不变法 - 双线性变换法
6.5 冲激响应不变法
一、变换原理
数字滤波器的单位冲激响应h(n)
模仿模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)
h(n) ha (nT) T—抽样周期
xa (t)
ha (t)
ya (t)
x(n) xa (nT ) h(n) ha (nT )
1
2
：阻带容限
通带最大衰减：1
H (e j0 )
1 20lg H (e jc ) 20lg H (e jc ) 20lg(1 1)
阻带最小衰减： 2
H (e j0 )
2 20lg H (e jst ) 20lg H (e jst ) 20lg2
其中： H (e j0 ) 1
当 H (e jc ) 2 / 2 0.707 时，1 3dB
T
T
s 2
混迭
当滤波器的设计指标以数字域频率c给定时， 不能通过提高抽样频率来改善混迭现象
fs
T
T
T
,
T
T
c
c
T
二、模拟滤波器的数字化
Ha (s) ha (t) ha (nT ) h(n) H (z)
Ha (s)
N k 1
s
Ak sk
N
ha (t) L1[Ha (s)] Akesktu(t)
极点：s 平面 s sk z 平面 z eskT
A 系数相同： k
稳定性不变：s 平面 Re[sk ] 0
z 平面 eskT 1
H
(e
j
)
1 T
Ha
j
T
当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正
令：h(n) Tha (nT )
H (z)
N TAk k1 1 eskT z1
若滤波器通带内 (e j ) = 常数，
则为线性相位滤波器
7、IIR数字滤波器的设计方法
用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：
M
bk zk
H(z)
k 0 N
1 ak zk
k 1
即为求滤波器的各系数
ak , bk
s平面逼近：模拟滤波器
z平面逼近：数字滤波器
先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器 计算机辅助设计法
则：H (e j
)
k
Ha
j
2 k
T
Ha
j
T
例：设模拟滤波器的系统函数为
Ha (s)
s2
2 4s
3
s
1 1
s
1
3
试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器
解：据题意，得数字滤波器的系统函数：
H (z)
1
T eT
z 1
1
T e3T
z 1
T eT e3T z1
1 eT e3T z1 e4T z2
➢只有当模拟滤波器的频率响应是带限的，且带
限于折叠频率以内时，即
Ha ( j) 0,
s
T2
➢才能使数字滤波器的频响在折叠频率以内重现
模拟滤波器的频响而不产生混迭失真
H (e j
)
1 T
Ha(
j),
( )
实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在 ||>s/2处衰减越快，失真越小
fs
s
c
1 1
z 1 z 1
z cs cs
二、变换常数c的选择
1）低频处有较确切的对应关系： 1
1
c tg
1T 2
c
1T 2
c 2 T
2）某一特定频率严格相对应： c c
c
c tg
1cT 2
c tg c
2
c
cctg
c
2
➢ 特定频率处频率响应严格相等，可以较准确 地控制截止频率位置
三、逼近情况
6.4 用模拟滤波器设计IIR数字滤波器
设计思想：
s 平面
z 平面
模拟系统 Ha (s) H (z) 数字系统
H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应， 即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆
因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ， 即 s 平面的左半平面 Re[s] < 0
H (e j ) H *(e j )
e2
j (e j )
(e j )
1 2j
H (e j )
ln
H
*
(e
j
)
1 2j
ln
H(z)
H
(
z
1迟响应
相位对角频率的导数的负值
(e j ) d (e j ) d
Re
z
dH (z) dz
1 H (z)
ze j
Ha (s)
N k 1
s
Ak sk
设T = 1s，则 0.318 z 1
H (z)
N TAk k1 1 eskT z1
H (z) 1 0.4177z1 0.01831z2
H
(
z
)
1
0.318 z 1 0.4177z1 0.01831z
2
模拟滤波器的频率响应：
Ha(
j)
2 (3 2 )