高三数学第一轮复习测试及详细解答(8)——圆锥曲线

2
y
高三数学第一轮复习单元测试（7）—圆锥曲线
一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的） 1．若椭圆经过原点,且焦点为 F 1 (1, 0), F 2 (3, 0) ,则其离心率为
（
）
3 2 A ．
B ．
4
3
2
1 1 C ．
D ．
2
4
x 2 y 2
2．若抛物线 y = 2 px 的焦点与椭圆 + = 1的右焦点重合，则 p 的值为
（ ） 6 2
A ． -2
B ． 2
C ． -4
D ． 4 3．已知双曲线3x 2 - y 2 = 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离
之比等于
（
）
A ．
B ．
3
C ． 2
D ．4
4．与 y 轴相切且和半圆 x 2
+ y 2
= 4(0 ≤ x ≤ 2) 内切的动圆圆心的轨迹方程是
（
）
A ． y 2
= -4(x -1)(0 < x ≤ 1) B ． y 2
= 4(x -1)(0 < x ≤ 1) C ． y 2 = 4(x +1)(0 < x ≤ 1)
D ． y 2
= -2(x -1)(0 < x ≤ 1)
5．直线 y = 2k 与曲线9k 2 x 2
+ y 2
= 18k 2
x
(k ∈ R , 且k ≠ 0) 的公共点的个数为 （
） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
6．如果方程 x
2 + y 2 =
表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是
（
）
- p q
1
x 2
y 2
x 2
y 2
A ． + = 1
2q + p q
B ． + = -1
2q + p p
x 2
+ y 2 =
x 2
y 2
C ． 2 p + q q 1
D ．
+ 2 p + q
q = -1
7．曲线
x 2
10 - m
2 + = 1(m < 6) 与曲线 6 - m
x 2 5 - m y 2 + = 1(5 < m < 9) 的 （ ）
9 - m A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．焦点相同 D ．准线相同 8．双曲线 mx 2 + y 2 = 1的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m = （
）
A ． - 1
4
B ． -4
C ． 4
D ． 1
4 9．设过点 P (x , y )的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、B 两点，点Q 与点 P
关于 y 轴对称， O 为坐标原点，若 BP = 2PA ，且OQ ⋅ AB = 1，则 P 点的轨迹方程是
2 3
2
（
）
A ． 3x 2
+ 3
y 2
= 1(x > 0, y > 0)
2
C ． 3
x 2
- 3y 2
= 1(x > 0, y > 0)
2
B ． 3x 2
- 3
y 2
= 1(x > 0, y > 0)
2
D ． 3 x 2
+ 3y 2
= 1(x > 0, y > 0)
2
10．抛物线 y = -x 2
上的点到直线 4x + 3y - 8 = 0 距离的最小值是 （
）
4 7 8 A ．
B ．
C ．
3
5
5
D ． 3
11．已知抛物线 x 2
= y + 1上一定点 A (-1, 0) 和两动点 P , Q 当 PA ⊥ PQ 是,点Q 的横坐标的
取值范围是 （
）
A ． (-∞, -3]
B ． [1, +∞)
C ． [-3,1]
D ． (-∞, -3] [1, +∞)
12．椭圆 x
4
y
2
3
1
= 1上有 n 个不同的点: P 1 , P 2 ,....P n , ,椭圆的右焦点为 F ,数列{| P n F |}是公
差大于
100
的等差数列,则 n 的最大值为
（ ）
A ．199
B ．200
C ．198
D ．201
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上)
x 2 y 2
13．椭圆 + 12 3
= 1的两个焦点为 F 1 , F 2
,点 P 在椭圆上.如果线段 PF 1 的中点在 y 轴上,那
么| PF 1 |是| PF 2 |的
倍.
2
14．如图把椭圆 x + y = 1 的长轴 AB 分成 8 等
25 16
分,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部
分于 P 1,P 2,…,P 7 七个点,F 是椭圆的焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|=
.
15．要建造一座跨度为 16 米,拱高为 4 米的抛物线拱桥,建桥时,每隔 4 米用一根柱支撑,两边
的柱长应为
.
16．已知两点 M (-5, 0), N (5, 0) ,给出下列直线方程:① 5x - 3y = 0 ;② 5x - 3y - 52 = 0 ;③
x - y - 4 = 0 .则在直线上存在点 P 满足| MP |=| PN | +6 的所有直线方程是
.(只
填序号)
三、解答题(本大题共 6 小题, 共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
2
航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为
1，变轨（即航天器运行轨迹由 17．（本小题满分 12 分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：
x 2 + y 2
= 100 25
⎛
64 ⎫
椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、 M 0, ⎝
⎪ 为顶点的抛物线的实
7 ⎭ 线部分，降落点为 D ( 8, 0 ) . 观测点 A ( 4, 0 )、B ( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点 A 、B
测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天 器发出变轨指令？
18．（本小题满分 12 分）已知三点 P （5，2）、 F 1 （－6，0）、 F 2 （6，0）。

（1）求以 F 1 、 F 2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；
（2）设点 P 、 F 1 、 F 2 关于直线 y ＝x 的对称点分别为 P ' 、 F ' 、 F ' ，求以 F ' 、 F ' 为焦
点且过点 P ' 的双曲线的标准方程.
1
2
1
2
1
19．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点,离心率为
,一个焦点是F (-m, 0) ( m 为大
2
于0 的常数).
（1）求椭圆的方程;
（2）设Q 是椭圆上一点,且过点F ,Q 的直线l 与y 轴交于点M ,若| MQ |= 2 | QF | ,求直线l 的斜率.
2
2 20．（本小题满分 12 分）已知点 A , B 分别是椭圆 x
+ y = 1长轴的左、右端点,点 F 是椭圆
36 20
的右焦点.点 P 在椭圆上,且位于 x 轴的上方, PA ⊥ PF . （1）求点 P 的坐标;
（2）设 M 椭圆长轴 AB 上的一点, M 到直线 AP 的距离等于| MB |,求椭圆上的点到点
M 的距离 d 的最小值.
21．（本小题满分12分）已知抛物线y2 8x,是否存在过点Q(1,1)的弦AB,使AB恰被Q平分.
若存在,请求AB 所在直线的方程;若不存在,请说明理由.
22．（本小题满分14分）设x,y∈R,i,j为直角坐标平面内x,y
轴正方向上的单位向量,若向量a =xi + ( y + 2) j , b =xi + ( y - 2) j ,且| a | + | b |= 8 .
（1）求点M (x, y) 的轨迹C 的方程;
（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A, B 两点,设OP =OA +OB ,是否存在这样的直线l , 使得四边形OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,试说明理由.
3 + 9 3 2
答案与解析（7）
c 1
1．C . 原点到 F 1 , F 2 的距离之和是长轴长2a = 4,又 2c = 2,所以椭圆的离心率e = a = 2
.
2 2．D . 椭圆 x + y = 1的右焦点为(2,0)，所以抛物线 y 2
= 2 px 的焦点为(2,0)，则 p = 4 ，
6 2 故 选
D ． 3．答案选 C 依题意可
知 a =
3, c =
= = 2 ，
e = c
a
= 2 ，故选 C ．
a 2 +
b 2
+ = < | OA |=| OM | +d ,而 d = x ,所以 2 = x ,化简得 y 2 = -4(x -1)(0 < x ≤ 1) .
5．D ．将 y = 2k 代入9k 2 x 2
+ y 2
= 18k 2
x 得： 9k 2 x 2
+ 4k 2
= 18k 2
x
⇒ 9 | x |2 -18 x + 4 = 0 ，显然该关于| x |的方程有两正解，即 x 有四解，所以交点有 4
个，故选择答案 D ．
6．D ．由题意知, pq > 0.若 p > 0, q > 0 ,则双曲线的焦点在 y 轴上,而在选择支 A,C 中,椭圆
的焦点都在 x 轴上,而选择支 B,D 不表示椭圆;
若 p < 0, q < 0 ,选择支 A,C 不表示椭圆,双曲线的半焦距平方c 2
= - p - q ,双曲线的焦点在 x 轴上,选择支 D 的方程符合题意.
7 ． A ． 由
x 2
10 - m y 2 1(m 6) 6 - m
知 该 方 程 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 ， 由
x 2
5 - m y 2 + = 1(5 < m < 9) 知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，故只能选择答案 A ． 9 - m
8．A . 一看带参，马上戒备：有没有说哪个轴是实轴？没说，至少没有明说。

分析一下，因为等号后为常数“+”，所以等号前为系数为“+”的对应实轴。

y 2 的系数为“+”，所以这个双曲线是“立”着的。

接下来排除 C 、D 两过于扯淡的选项 —— 既然说是双曲线， “x 2”与“y 2”的系数的符号就不能相同.在接下来是一个“坑儿”：双曲线的标准形式是 x 2 - y 2 = y 2 - x 2 =
a 2
b 2 1或 a
2 b 2 1（ a ,b > 0 ），题目中的双曲线方程并不是标准形式，所以要变
一下形儿，变成 - x 2 + 1/ | m |
y 2 = 1。

由题意，半虚轴长的平方：半实轴长的平方 = 4.即 1 :1 = 4 | m | ，所以
m = - 1 4 。

选 A ．当然，我们也可以不算，只利用半虚轴比半实轴长即 可直接把答案 A 圈出来
9．D ．由 BP = 2PA 及 A , B 分别在 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴上知，A ( 3 2
x , 0), B (0, 3y ) ， 3
AB = (- 2
x , 3y ) ， 由点 Q 与点 P 关于 y 轴对称知， Q (-x , y ) ， OQ = (-x , y ) ， 则
OQ ⋅ AB = (- 3
x , 3y ) ⋅ (-x , y ) = 3 2 2
x 2 + 3y 2 = 1(x > 0, y > 0)
| 4t - 3t 2 - 8 | | 3t 2 - 4t + 8 |
10．A .抛物线上任意一点（ t ， -t 2
）到直线的距离 d = 5 =5 .因为
2 2 d = 1 (3t 2
- 4t + 8)
(3 + 3) 2 + ( 3 ) 2 2
1 1
2 2 1
- = 2 1 4 ⨯ 3 ⨯ 8 - 42 4
d min = 5 ⨯
4 ⨯ 3
= 3 .选 A ．
11．D .由题意知,设 P (x , x 2
-1), Q (x , x -1) ,又因为
A (-1, 0) ,由 PA ⊥ PQ 知, PA ⋅ PQ = 0 ,
即
(-1- x ,1- x 2 ) ⋅ ( x - x , x 2 - x 2 ) = 0
, 也 就 是
1
1
2
1
2
1
(-1- x ) ⋅ ( x - x ) + (1- x 2) ⋅ ( x 2 - x 2) = 0 ,因为 x ≠ x ,且x ≠ -1 ,所以上式化简得
1
2
1
1
2
1
1
2
1
x = 1 - x = 1 + (1- x ) - 1,由基本不等式可得 x ≥ 1或 x ≤ -3. 2 1- x 1 (1- x ) 1 2 2
1 1
12．D . 由题意知,要使所求的 n 最大,应使| P 1F |
最小, | P n F | 最大,又 F 为椭圆的右焦点,设 P n 的横坐标为 x n 故由第二定义可得, | P n F |= a + ex n ,其中 a = 2, e = 2 ,所以当 x 1 = 2 时,
| P 1F |=
1 , 当 x n = -
2 时 , | P n F |=
3 最 大 . 由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 可 得 ,
2 1
| P n F |=| P 1F | +(n -1)d ,即 n = d + 1,又因为 d ≥ 100
,解得 n ≤ 201.
13．7 倍.
由已知椭圆的方程得 a = 2 3,b =
关于 y 轴对称,所以 PF 2 必垂直于 x 轴.所以
3, c = 3, F 1(-3, 0), F 2(3, 0) .由于焦点 F 1和F 2
P (3,
3 ),| PF |=
3
,| PF |= = 7 3 ,所以| PF |= 7 | PF | . 2
2
2 1 2 2 1
14．35. 设 P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),…,P 7(x 7,y 7),所以根据对称关系 x 1+x 2+…+x 7=0,于是
|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|=a+ex 1+a+ex 2+…+a+ex 7=7a+e(x 1+x 2+…+x 7)= 7a=35,所以应填 35. 15．1 米.
由题意知,设抛物线的方程为 x 2
= -2 py ( p > 0) ,又抛物线的跨度为 16,拱高为 4,
所以点(8,-4) 为抛物线上的点, 所以 p = 8 . 即抛物线方程为 x 2
= -16 y .所以当 x = 4
时, y = -1,所以柱子的高度为 1 米.
2
16．②③.
由| MP | - | PN |= 6 可知点 P 在双曲线
x y 1的右支上,故只要判断直线
9 16
与双曲线右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为 y = ±
4
x ,直线①过原点且斜率
3
5 112 + 22 12 + 22 5 = =
2 5 > 4 ,所以直线①与双曲线无交点;直线②与直线①平行,且在 y 轴上的截距为 - 52 故
3 3 3
4
与双曲线的右支有两个交点;直线③的斜率1 < ,故与双曲线的右支有一个交点.
3
17．（1）设曲线方程为 y = ax 2 +
64
， 7 由题意可知， 0 = a ⋅ 64 + 64
.
7
∴ a = - 1
.
7
∴ 曲线方程为 y = - 1 x 2 + 64
.
7 7
（2）设变轨点为C ( x , y ) ，根据题意可知
⎧ x 2 ⎪ ⎨100 y
2 25 = 1, (1) 得 4 y 2 - 7 y - 36 = 0 ， ⎪ y = - 1 x 2 + 64 , (2) ⎩⎪
7 7 y = 4或 y = - 9
（不合题意，舍去）. 4
∴ y = 4 .
得 x = 6 或 x = -6 （不合题意，舍去）. ∴ C 点的坐标为( 6, 4 ) ，
| AC |= 2 5, | BC |= 4 .
答：当观测点 A 、B 测得 AC 、BC 距离分别为 2 5、 4 时，应向航天器发出变轨指令.
x 2 y 2
18．（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为 + a 2 b
2 = 1 (a > b > 0)，其半焦距c = 6 。

2a =| PF 1 | + | PF 2 | = + 12 + 22 = 6
，
∴ a = 3 ，
b 2
= a 2
- c 2
= 45 - 36 = 9，故所求椭圆的标准方程为 x
+ y 45 9
= 1；
（2）点 P （5，2）、 F 1 （－6，0）、 F 2 （6，0）关于直线 y ＝x 的对称点分别为：
P '(2,5) 、 F 1 ' （0，-6）、 F 2 '（0，6）
x 2 设所求双曲线的标准方程为
y 2 - 1 (a > > ，由题意知半焦距 = ， 2 1
2a = | P ' F '| - | P ' F '| =
2 1 0, b 1 0) 1 - = 4
5 ，
∴ a c 1 6
= 2 ，
1
1
b 2 =
2
- 2 = 2
1
y 2
x 2 - = ，故所求双曲线的标准方程为 -
1. 1 c 1 a 1 36 20 16
20 16
19 ．（ 1 ） 设 所 求 椭 圆 方 程 为 : x 2 + y 2
= 1(a > b > 0) . 由 已 知 得 : c =
c = 1
a 2
b 2
m , , 所 以 a 2
- 11 -
112 + 22 5 a b 2
6 6 m + 6 15 + = ⎨ 9
a = 2m ,
b =
3m .故所求椭圆的方程为: x 2
4m 2 y 2 3m
2 1.
（ 2 ） 设 Q (x Q , y Q ) , 直 线 l : y = k (x + m ) , 则 点 M (0, km ) . 当 MQ = 2QF 时 , 由 于
F (-m , 0), M (0, km )
. 由 定 比 分 点 坐 标 公 式 , 得
x = 0 - 2m = - 2 m , y = km + 0 = 1 km .又点Q 在椭圆上,所以 4m 2 9 k 2m 2 + 9
= 1, Q 1+ 2 3 Q
1+ 2 3 0 + (-2) ⋅ (-m ) 4m 2 3m 2
km
解得 k = ±2 .当 MQ = -2QF 时, x Q =
1- 2
= -2m , y Q = 1- 2 = -km . 4m 2 k 2m 2 于是
+ = k = 0 l ±2 4m 2 3m 2
1,解得 .故直线 的斜率为 0 或 .
20．（1）由已知可得点 A (-6, 0), F (0, 4) , 设点 P (x , y ) ,则 AP = (x + 6, y ) , FP = (x - 4, y ) ,
⎧ x 2 + y 2 =
⎪36 20 1
由已知可得 ⎪⎩(x + 6)(x - 4) + y 2 = 0 . 则 2x 2 + 9x -18 = 0 解得 x = 3 ,或x = -6 2 . 由于
y > 0,只能 x = 3 , 于是 y = 5 3 . 所以点 P 的坐标是( 3 , 5 3
) .
2 2 2 2
（2）直线 AP 的方程是 x - 3y + 6 = 0 .设点 M (m , 0) ,则 M 到直线 AP 的距离是 2 .
于是
=| m - 6 | ,又 -6 ≤ m ≤ 6 ,解得 m = 2 . 椭圆上的点 (x , y ) 到点 M 的距
2
离 d 有
d 2 = (x - 2)2 + y 2 = x 2
- 4x + 4 + 20 - 5 x 2 9 = 4 (x - 9 )2 +15 9 2
, 由 于 -6 ≤ x ≤ 6 ,所以当 x = 时, d 取得最小值 . 2
21．假设存在这样的直线,则直线的斜率一定存在,设为 k ,点 A (x 1, y 1 ), B (x 2 , y 2 ) 在抛物线上,
⎧⎪ y 2 = 8x ( y - y ) 所以 ⎨
1 1 ,两式作差得, ( y y )( y - y ) = 8(x - x ) ,即 ( y + y ) 1
2 = 8 , ⎪ y 2
= 8x
1 2 1 2 1 2 1 2 x - x ⎩ 2 2
1 2
- 12 -
m + 6
x 2 + ( y + 2)2 + = 2 2
解得 k = 4 ,故直线方程为 y -1 = 4(x -1) ,即 y = 4x - 3 .经验证,直线符合条件.
22．（1）由| a | + | b |= 8 ,得 + 8 > 4 ,设 F 1 (0, -2), F 2 (0, 2) 则
动 点 M 满 足 | MF 1 | + | MF 2 |= 8 > 4 =| F 1F 2 | , 所 以 点 M 在 椭 圆 上 , 且 椭 圆 的
a = 4, c = 2,
b = 2 3 .所以轨迹C 的方程为 y x
1.
16 12
⎧ y = kx + 3 ⎪
（ 2 ） 设直线的斜率为 k , 则直线方程为 y = kx + 3 , 联立方程组 ⎨ y 2 + x 2 = ⎩16 12
消去 y
得 : (4 + 3k 2 ) x 2 +18kx - 21 = 0 , ∆ = (18k )2 + 84(4 + 3k 2
) > 0 恒 成 立 , 设
18k
21
A (x 1, y 1 ),
B (x 2 , y 2 ) ,则 x 1 + x 2 = -
4 + 3k 2 , x 1x 2 = 4 + 3k 2
.由 AP = OB ,所以四边
形 OAPB 为平行四边形.若存在直线 l ,使四边形 OAPB 为矩形,则 OA ⊥ OB ,即 OA ⋅OB = x x
y y = (1+ k 2 )x x
+ 3k (x + x ) + 9 = 0 , 解得 k = ± 5 , 所以直
1 2
1
2
1 2 1 2
4
线l 的方程为 y = ±
5 x + 3,此时四边形OAPB 为矩形.
4
- 13 -
x 2 + ( y - 2)2
1。