2016-2017学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试卷(答案+解析)

江苏省苏州市2016-2017学年高一（下）期末数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程．
1．（5分）已知全集U={x|x＞0}，A={x|x≥3}，则∁∪A=．
2．（5分）若数据x1，x2，…，x8的方差为3，则数据2x1，2x2，..，2x8的方差为．3．（5分）某高级中学共有1200名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级抽30人，高三年级抽15人．则该校高二年级学生人数为．4．（5分）集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，点P的坐标为（m，n），m∈A，n∈B，则点P在直线x+y=5上的概率为．
5．（5分）已知cosθ=﹣，θ∈（，π），则cos（﹣θ）=．
6．（5分）算法流程图如图所示，则输出的结果是．
7．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a2+a3=﹣3，a4+a5+a6=6，则S n=．
8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则不等式
f（x）＞x的解集用区间表示为．
9．（5分）如图，为了探求曲线y=x2，x=2与x轴围成的曲边三角形OAP的面积，用随机模拟的方法向矩形OAPB内随机投点1080次，现统计落在曲边三角形OAP的次数360次，则可估算曲边三角形OAP面积为．
10．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=4．若△ABC的面积为，则BC的长是．11．（5分）若点（x，y）位于曲线y=|x|与y=1所围成的封闭区域内（含边界），则2x﹣y的最小值为．
12．（5分）已知x，y是正实数，则+的最小值为．
13．（5分）如图，等腰梯形AMNB内接于半圆O，直径AB=4，MN=2，MN的中点为C，则•的值为．
14．（5分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1+b1=7，a2+b2=4，a3+b3=5，a4+b4=2，则a n+b n=．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）已知函数y=2x（0＜x＜3）的值域为A，函数y=lg[﹣（x+a）（x﹣a﹣2）] （其中a＞0）的定义域为B．
（1）当a=4时，求A∩B；
（2）若A⊆B，求正实数a的取值范围．
16．（14分）已知向量=（2cos x，sin x），=（3cos x，﹣2cos x），设函数f（x）=•（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，]，求f（x）的值域．
17．（14分）平面直角坐标系xOy中，A（2，4），B（﹣1，2），C，D为动点，
（1）若C（3，1），求平行四边形ABCD的两条对角线的长度
（2）若C（a，b），且，求取得最小值时a，b的值．
18．（16分）某生态公园的平面图呈长方形（如图），已知生态公园的长AB=8（km），
宽AD=4（km），M，N分别为长方形ABCD边AD，DC的中点，P，Q为长方形ABCD边AB，BC（不含端点）上的一点．现公园管理处拟修建观光车道P﹣Q﹣N﹣M﹣P，要求观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km2），设BP=x（km），BQ=y（km），（1）试写出y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）若B为公园入口，P，Q为观光车站，观光车站P位于线段AB靠近入口B的一侧．经测算，每天由B入口至观光车站P，Q乘坐观光车的游客数量相等，均为1万人，问如何确定观光车站P，Q的位置，使所有游客步行距离之和最大，并求出最大值．
19．（16分）已知正项数列{a n}满足a1=1，（n+1）a2n+1+a n+1a n﹣na=0，数列{b n}的前n 项和为S n且S n=1﹣b n．
（1）求{a n}和{b n}的通项；
（2）令c n=，
①求{c n}的前n项和T n；
②是否存在正整数m满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列？若存在，请求出m；若不存在，请说明理由．
20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x（a∈R）
（1）当a=4时，解不等式f（x）≥8；
（2）当a∈[0，4]时，求f（x）在区间[3，4]上的最小值；
（3）若存在a∈[0，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．
【参考答案】
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．∁∪A={x|0＜x＜3}
【解析】全集U={x|x＞0}，A={x|x≥3}，则∁∪A={x|0＜x＜3}，
故答案为：{x|0＜x＜3}．
2．12
【解析】∵样本数据x1，x2，…，x8的方差为3，
∴数据2x1，2x2，…，2x8的方差为：
22×3=12．
故答案为：12．
3．300
【解析】高二年级抽取的人数为60﹣30﹣15=15，
则该校高二年级学生人数为1200×=300，
故答案为：300．
4．
【解析】集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，点P的坐标为（m，n），m∈A，n∈B，∴基本事件总数N=4×3=12，
点P在直线x+y=5上包含的基本事件有：
（2，3），（3，2），（4，1），共有M=3个，
∴点P在直线x+y=5上的概率为：
p==．
故答案为：．
5．
【解析】∵cosθ=﹣，θ∈（，π），∴sinθ==，
则cos（﹣θ）=cos cosθ+sin sinθ=•（﹣）+•=，
故答案为：．
6．5
【解析】模拟程序的运行，可得
i=0，S=0
满足条件S＜10，执行循环体，S=0，i=1
满足条件S＜10，执行循环体，S=1，i=2
满足条件S＜10，执行循环体，S=3，i=3
满足条件S＜10，执行循环体，S=6，i=4
满足条件S＜10，执行循环体，S=10，i=5
不满足条件S＜10，退出循环，输出i的值为5．
故答案为：5．
7．
【解析】设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2+a3=﹣3，a4+a5+a6=6，
∴3a2=﹣3，3a5=6，∴a2=﹣1，a5=2．
∴3d=a5﹣a2=2﹣（﹣1）=3，解得d=1，
∴a1=a2﹣d=﹣2．
则S n=﹣2n+×1=．
故答案为：．
8．（﹣2，0）∪（2，+∞）
【解析】根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x，又由函数f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（x）=﹣（x2+x）=﹣x2﹣x，
即当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x，
分2种情况讨论：
①当x＞0时，不等式f（x）＞x为x2﹣x＞x，即x2﹣2x＞0，
解可得x＜0或x＞2，
则此时不等式的解集为（2，+∞），
②当x＜0时，不等式f（x）＞x为﹣x2﹣x＞x，即x2+2x＜0，
解可得﹣2＜x＜0，
则此时不等式的解集为（﹣2，0），
综合可得：不等式f（x）＞x的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞），
故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
9．
【解析】P（2，4）．
由几何概型的概率公式可知==，
∴曲边三角形OAP面积约为S正方形OAPB==．
故答案为：．
10．或
【解析】△ABC的面积为3，且AB=3，AC=4，
所以×3×4×sin A=3，
所以sin A=，
所以A=60°或120°；
A=60°时，cos A=，
BC===；A=120°时，cos A=﹣，
BC==；
综上，BC的长是或．
故答案为：或．
11．﹣3
【解析】设z=2x﹣y得y=2x﹣z，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=2x﹣z，
由图象可知当直线y=2x﹣z，过点A时，
直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小，
由，解得A（﹣1，1），
代入目标函数z=2x﹣y=﹣2﹣1=﹣3，
∴目标函数z=2x﹣y的最小值是﹣3．
故答案为：﹣3．
12．
【解析】x，y是正实数，则+=+﹣
≥2﹣=．
当且仅当x=y时，取得最小值．
故答案为：．
13．1
【解析】以O为原点，以AB为x轴建立坐标系，如图所示：则A（﹣2，0），M（﹣1，），B（2，0），C（0，），∴=（1，），=（﹣2，），
∴=﹣2+3=1．
故答案为：1．
14．7﹣n+（﹣1）n﹣1，n∈N*
【解析】设等差数列{a n}的公差为d，
等比数列{b n}的公比为q，
由a1+b1=7，a2+b2=4，a3+b3=5，a4+b4=2，可得
a1+d+b1q=4，a1+2d+b1q2=5，a1+3d+b1q3=2，
解得a1=6，b1=1，d=q=﹣1，
可得a n+b n=6﹣（n﹣1）+（﹣1）n﹣1=7﹣n+（﹣1）n﹣1，
故答案为：7﹣n+（﹣1）n﹣1，n∈N*．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）函数y=2x（0＜x＜3）的值域为A，
可得A=（1，8），
函数y=lg[﹣（x+a）（x﹣a﹣2）]（其中a＞0）的定义域为B，
当a=4时，可得B={x|﹣（x+4）（x﹣4﹣2）＞0}={x|﹣4＜x＜6}
=（﹣4，6），
即有A∩B=（1，6）；
（2）A⊆B，且B={x|﹣（x+a）（x﹣a﹣2）＞0}={x|﹣a＜x＜a+2}，
可得﹣a≤1，且8≤a+2，且a＞0，
即有a≥6，
则正实数a的取值范围为[6，+∞）．
16．解：∵=（2cos x，sin x），=（3cos x，﹣2cos x），
∴f（x）=•=（2cos x，sin x）•（3cos x，﹣2cos x）=
=6×=
=．
（1）函数f（x）的最小正周期为T=；
（2）∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣]，
则sin（2x﹣）∈[﹣]．
∴f（x）的值域为[，6]．
17．解：（1）=（1，﹣3），=（3，2）．
==．
由平行四边形的性质可得：=，可得=+=（6，3）．
∴=（7，1），可得：==5．
（2）C（a，b），且，∴=+（3，1）=（a+3，b+1）．
∴=（a+4，b﹣1）．
=（a﹣2，b﹣4）．
∴=（a﹣2）（a+4）+（b﹣4）（b﹣1）=a2+2a﹣8+b2﹣5b+4
=（a+1）2+﹣≥，当且仅当a=﹣1，b=时取等号．
18．解：（1）∵M，N是AD，CD的中点，AB=8，AD=4，BP=x，BQ=y，
∴S△AMP==8﹣x，S△DMN==4，S△NCQ==8﹣2y，S△BPQ=，
∵观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km2），
∴8﹣x+4+8﹣2y+xy=4×8﹣15=17，
∴y==．
令0＜y＜4，即0＜＜4，解得0＜x＜3或5＜x＜8．
（2）由题意可知0＜x＜3，
∴x+y=x+=x+2﹣，
令f（x）=x+2﹣，则f′（x）=1﹣，
令f′（x）=0得x=4﹣，
∴当0＜x时．f′（x）＞0，当4﹣＜x＜3时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，4﹣）上单调递增，在（4﹣，3）上单调递减，
∴当x=4﹣时，f（x）取得最大值6﹣2．
∴所有游客的步行距离之和的最大值为20000×（6﹣2）=40000（3﹣）km．19．解：（1）∵（n+1）a2n+1+a n+1a n﹣na=0，∴[（n+1）a n+1﹣na n]（a n+1+a n）=0，又a n+1+a n＞0．
∴（n+1）a n+1﹣na n=0，解得=．
∴a n=••…••a1=••…•×1=．
∴a n=．
∵数列{b n}的前n项和为S n且S n=1﹣b n．
∴n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=1﹣b n﹣（1﹣b n﹣1），化为：b n=b n﹣1．
n=1时，b1=S1=1﹣b1，解得b1=．
∴数列{b n}是等比数列，首项与公比都为．
∴b n=．
（2）①c n==，
∴数列{c n}的前n项和T n=++…+．
∴=++…++，
可得：=+…+﹣=﹣，可得：S n=2﹣．
②假设存在正整数m满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列，
则2c3=c2+c m，
∴=+，化为：2m﹣2=m．
m=4时，满足：2m﹣2=m．
m≥5时，2m﹣2﹣m=（1+1）m﹣2﹣m
=1++++…﹣m
=1+m﹣2+++…﹣m
=++…﹣1＞0．
∴m≥5时，2m﹣2﹣m＞0，因此2m﹣2=m无解．
综上只有m=4时，满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列．
20．解：（1）当a=4时，f（x）=x|x﹣4|+2x，
当x≥4时，x（x﹣4）+2x≥8，解得x≥4（x≤﹣2舍去）；
当x＜4时，x（4﹣x）+2x≥8，解得2≤x＜4．
综上可得，f（x）≥8的解集为[2，+∞）；
（2）当a∈[0，3]时，f（x）=x（x﹣a）+2x=x2+（2﹣a）x，
对称轴为x=∈[﹣1，]，
区间[3，4]在对称轴的右边，为增区间，可得f（3）为最小值，即为15﹣3a；当a∈（3，4]时，当3＜x＜a时f（x）=x（a﹣x）+2x=﹣x2+（2+a）x，
对称轴为x=∈（，3]，区间（3，a）在对称轴的右边，为减区间；
当a≤x≤4时，f（x）=x（x﹣a）+2x=x2+（2﹣a）x，
对称轴为x=∈[，1]，
区间[3，4]在对称轴的右边，为增区间，
即有f（a）取得最小值，且为2a．
综上可得，a∈[0，3]时，f（x）的最小值为15﹣3a；
a∈（3，4]时，f（x）的最小值为2a．
（3）当x＜a时，f（x）=﹣x2+（2+a）x，对称轴为x=
当a∈[0，2]知a﹣=≤0，可得x＜a为增函数；
当x≥a时，f（x）=x2+（2﹣a）x，对称轴为x=，
当a∈[0，2]知a﹣=＞0，可得x≥a为增函数；
则不满足关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根．
当a∈[2，4]时，a＞+1＞﹣1，
∴y=f（x）在（﹣∞，+1）上单调增，在（+1，a）上单调减，
在（a，+∞）上单调增，
∴当f（a）＜tf（a）＜f（+1）时，
关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根；
即2a＜t•2a＜（+1）2，
∵a∈[2，4]，∴1＜t＜（1++），
设h（a）=（1++），
∵存在a∈[2，4]使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，
又可证h（a）=（1++）在[2，4]上单调增，
∴h（a）max=h（4）=，
∴1＜t＜．。