数学建模考试题(2011)

2011数学建模考试题（开卷）
1.某饮料公司拥有甲、乙两家饮料厂，都能生产A、B两种牌号的饮料。

甲饮料厂生产A饮料的效率为8吨/小时，生产B饮料的效率为10吨/小时；乙饮料厂生产A饮料的效率为10吨/小时，生产B饮料的效率为4吨/小时。

甲饮料厂生产A饮料和B饮料的成本分别为1000元/吨和1100元/吨；乙饮料厂生产A饮料和B饮料的成本分别为850元/吨和1000元/吨。

现该公司接到一生产订单，要求生产A饮料1000吨，B饮料1600吨。

假设甲饮料厂的可用生产能力为200小时，乙饮料厂的生产能力为120小时。

（1）请你为该公司制定一个完成该生产订单的生产计划，使总的成本最小（要求建立相应的线性规划模型，并给出计算结果）。

（2）由于设备的限制，乙饮料厂如果生产某种牌号的饮料，则至少要生产该种牌号的饮料300吨。

此时上述生产计划应如何调整（给出简要计算步骤）？
2.讨价还价中的数学。

在当前市场经济条件下，在商店，尤其是私营个体商店中的商品，所标价格a与其实际价值b之间，存在着相当大的差距。

对购物的消费者来说，总希望这个差距越小越好，即希望比值λ接近于1，而商家则希望λ>1。

这样，就存在两个问题：第一，商家应如何根据商品的实际价值（或保本价）b来确定其价格a才较为合理？第二，购物者根据商品定价，应如何与商家"讨价还价"？
第一个问题，国家关于零售商品定价有相关规定，但在个体商家实际定价中，常用"黄金数"方法，即按实际价b定出的价格a，使b:a≈0.618。

虽然商品价值b位于商品价格a 的黄金分割点上，考虑到消费者讨价还价，应该说，这样定价还是较为合理的。

对消费者来说，如何"讨价还价"才算合理呢？一种常见的方法是"对半还价法"：消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价则加上二者差价的一半；消费者第二次还价要减去二者差价的一半；如此等等。

直至达到双方都能接受的价格为止。

有人以为，这样讨价还价的结果其理想的最终价格将是原定价的黄金分割点。

是这样的吗？试进行定量分析，并给出结果。

3有七种规格的包装箱要装到两辆平板车上去。

包装箱的宽和高是一样的，但是厚度（t,以厘米计）及其重量（w以公斤计）是不同的。

下表给出了每种包装箱的厚度、重量和数量。

每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（像面包片一样），载重为40吨。

由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一定的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7厘米。

试把包装箱（见下表）装到平板车上去使得浪费的空间最小。

4众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45O的有效扇形区域内。

以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。

在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。

而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。

影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。

最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该
更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？
哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。

参考数据资料如下：
表1 李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩
表2 我国优秀运动员的铅球投掷数据
以上各题中每组任选一题，以实验报告的形式完成，实验报告格式见附录。

只准小组内讨论完成，如有雷同，取消考试成绩。

附录:
数学建模课程实验报告。