2019届高考数学一轮复习第4单元平面向量数系的扩充与复数的引入测评理

第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入
小题必刷卷(七)平面向量、数系的扩充与复数的引入
题组一真题集训
1.[2016·全国卷Ⅲ]已知向量=,,=,,则∠ABC=()
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
2.[2016·全国卷Ⅱ]已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=()
A.-8
B.-6
C.6
D.8
3.[2016·全国卷Ⅰ]设(1+i)x=1+y i,其中x,y是实数,则|x+y i|=()
A.1
B.
C.
D.2
4.[2016·全国卷Ⅱ]已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()
A.(-3,1)
B.(-1,3)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-3)
5.[2016·北京卷]设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.[2017·全国卷Ⅱ]设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ()
A.a⊥b
B.|a|=|b|
C.a∥b
D.|a|>|b|
7.[2017·全国卷Ⅰ]设有下面四个命题
p1:若复数z满足∈R,则z∈R;
p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;
p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;
p4:若复数z∈R,则∈R.
其中的真命题为()
A.p1,p3
B.p1,p4
C.p2,p3
D.p2,p4
8.[2017·浙江卷]如图X7-1所示,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=·,I2=·,I3=·,则()
图X7-1
A.I1<I2<I3
B.I1<I3<I2
C.I3<I1<I2
D.I2<I1<I3
9.[2017·天津卷]在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且
·=-4,则λ的值为.
10.[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .
11.[2015·全国卷Ⅱ]设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.
12.[2017·浙江卷]已知a,b∈R,(a+b i)2=3+4i(i是虚数单位),则
a2+b2= ,ab= .
题组二模拟强化
13.[2017·郑州质检]已知四边形ABCD中,G为CD的中点,则+(+)= ()
A.B.
C.D.
14.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量e=()
A.B.
C.D.
15.[2017·上饶重点中学联考]设复数z满足z2=3-4i,则|z|=()
A.B.5
C.D.1
16.[2017·柳州模拟]已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若(ka+b)∥(a-3b),则实数k的值为
()
A.-
B.
C.-3
D.3
17.[2017·宁夏石嘴山三模]设i为虚数单位,若z=(a∈R)是纯虚数,则a=()
A.-1
B.0
C.1
D.2
18.[2017·武汉调研]在平面直角坐标系中,点M(,),P是以原点O为圆心的单位圆上的动点,则|+|的最大值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
19.[2017·池州联考]设i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若z·=2(+i),则z=
()
A.-1-i
B.-1+i
C.1+i
D.1-i
20.[2017·北京西城区二模]设a,b是平面上的两个单位向量,a·b=,若m∈R,则|a+mb|的最小值为()
A.B.
C.D.
21.[2017·湖州、衢州、丽水三市联考]已知O是△ABC的外心,∠C=45°,=m+n(m,n ∈R),则m+n的取值范围是 ()
A.B.[-,1)
C.D.
22.[2017·黄山二模]已知复数z=(a+i)(-3+a i)(a∈R),若z<0,则a= .
23.[2017·常德一模]已知单位向量a,b满足|a+3b|=,则a与b的夹角为.
24.[2017·渭南质检]已知向量a=(2,m),b=(-1,2),若a⊥b,c=a+b,则a在向量c方向上的投影为.
25.[2017·长郡中学模拟]已知△ABC中,BA⊥AC,且∠ACB=60°,AC=2,=,若P是BC边
上的动点,则·的取值范围为.
小题必刷卷(七)
1.A[解析] cos∠ABC==×+×=,又∠ABC∈[0°,180°],∴∠ABC=30°.
2.D[解析] a+b=(4,m-2),∵(a+b)⊥b,∴(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.
3.B[解析] 由已知得x+x i=1+y i,根据两复数相等的条件可得x=y=1,所以
|x+y i|=|1+i|=.
4.A[解析] 由题易知m+3>0,m-1<0,解得-3<m<1.
5.D[解析] 若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为菱形,a+b,a-b表示的是该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立,从而不是充分条件;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为矩形,矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,从而不是必要条件.故选D.
6.A[解析] 将|a+b|=|a-b|两边平方,得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,于是有a·b=0,所以a⊥b.
7.B[解析] 设z=a+b i(a,b∈R).=,若∈R,则b=0,此时z∈R,故命题p1为真命题;若z
∈R,则b=0,此时=a-b i∈R,命题p4为真命题;z2=a2-b2+2ab i,z2∈R时,a=0或b=0,此时z为实数或纯虚数,命题p2为假命题.设z1=i,z2=4i,则z1z2∈R,但z1≠,命题p3为假命题.故选B.
8.C[解析] 显然∠BOC为锐角,所以I1=·<0,I2=·>0,I3=·<0,如图所示,过点B作BM⊥AC于M,过点A作AN⊥BD于N.三角形ABD与三角形ABC均为等腰三角形,所以BN=ND,AM=MC,所以<,<,∠AOB=∠COD>,所以I1>I3.所以I3<I1<I2.因此选C.
9.[解析] ∵·=3×2×cos
60°=3,=+,∴·=+·(λ-)=×3+×4-×9-×3=-4,解得λ=.
10.2[解析] |a+2b|===2.
11.[解析] 因为λa+b与a+2b平行,所以存在唯一实数t,使得λa+b=t(a+2b),所以
解得λ=t=.
12.52[解析] 由(a+b i)2=3+4i,得a2+2ab i+b2i2=3+4i,即a2-b2+2ab i=3+4i,又a,b∈R,所以由复数相等的充要条件,得解得ab=2,a2=4,b2=1,因此a2+b2=5.
13.A[解析] +(+)=+=,故选A.
14.B[解析] 由题得=(3,-4),所以=5,所以与同方向的单位向量e==,-,故选B.
15.A[解析] ==|3-4i|==5,所以=,故选A.
16.A[解析] ∵(ka+b)∥(a-3b),∴10(2k+2)=-4(k-3),∴k=-,故选A.
17.C[解析] z===-i,因为z是纯虚数,所以故a=1.
18.C[解析] ∵|+|≤||+||,当且仅当与方向相同时取等
号,∴|+|的最大值为||+||=2+1=3,故选C.
19.C[解析] 设z=a+b i(a,b∈R),由z·=2(+i)得(a+b i)(a-b i)=2(a-b i+i),解得a=b=1,所以z=1+i.故选C.
20.C[解析] ∵a·b=,∴|a+mb|2=a2+2ma·b+m2b2=m2+m+1=m+2+,则|a+mb|的最小值为,故选C.
21.B[解析] 由题意可得∠AOB=90°,以OA,OB所在直线分别为x轴,y轴建立直角坐标系,如图所示,设A(1,0),B(0,1),则点C在优弧AB上.设C(cos α,sin α),则α∈,2π,显然=cos α+sin α,则m=cos α,n=sin α,则m+n=cos α+sin α=sinα+.
由于α∈,2π,所以α+∈,,所以sinα+∈-1,,所以m+n∈[-,1),故选B.
22.[解析] ∵z<0,∴z∈R,又∵z=(a+i)(-3+a i)=-4a+(a2-3)i,∴a2-3=0,解得a=±.当a=-时,z>0,不符合题意,∴a=.
23.[解析] 由|a+3b|=,得|a+3b|2=a2+6a·b+9b2=13.因为a,b是单位向量,所以
6a·b=3⇒a·b=,所以cos<a,b>==,又因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=.
24.[解析] 向量a=(2,m),b=(-1,2),若a⊥b,则a·b=-2+2m=0,解得m=1,则
c=a+b=(1,3),所以a在向量c方向上的投影为==.
25.[2,6][解析] 建立平面直角坐标系,如图所示.由BA⊥AC,且∠ACB=60°,AC=2,=,得A(0,0),B(2,0),C(0,2),E(,1).设P(x,y),则·=x+y,又直线BC的方程为y=-x+2,所以·=x+y=x+2,又0≤x≤2,所以·的取值范围为[2,6].。