八年级数学下册(人教版)配套教学教案：1823第1课时正方形的性质.doc

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人教版（RJ）
18.2.3正方形
第1课时正方形的性质
1.掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和讣算；（重点）
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.（难点）
—、情境导入
做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形.学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系.
问题：什么样的四边形是正方形？
二、合作探究
探究点一：正方形的性质
【类型_］特殊平行四边形的性质的综合
菱形，矩形，正方形都具有的性质是（
A.对角线相等且互相平分
B.对角线相等且互相垂直平分
C.对角线互相平分
D.四条边相等，四个角相等
解析：选项A不正确，菱形的对角线不相等；选项B不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直：选项C正确，三者均具有此性质；选项D不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等.故选C.
方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
［类型二］利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题
如图所示，正方形ABCD的边长为1, AC是对角线，AE平分ZB4C, EF丄AC于
（1）求证：BE=CF；
⑵求BE的长.
解析：（1）由角平分线的性质可得到B E=EF,再证明尸为等腰直角三角形，即可证
BE=CF; (2)设BE=x,在△CEF中可表示出CE.由BC= 1,可列出方程，即可求得BE.
(1)证明：・・•四边形A BCD为正方形，・・・/3=90。

.・・・£尸丄4C,・・・/£用=90。

.・・・人£平分
ABAC, ；・BE=EF.又TAC 是正方形ABCD的对角线，:.AC平分ZBCD, :. ZACB=45°,
・•・ ZFEC=ZFCE=45。

, ；・EF=FC,二BE=CF；
(2)解：设BE=x,则EF=CF=x, CE= 1 -x.在RtACEF中，由勾股定理可得
x.»\y[2x= 1—x,解得兀=7^—1,即BE 的长为7^—1.
方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此【类型三】利用正方形的性质解决角的计算或证明问题
正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决.
在正方形ABCD中，点F是边A3上一点，连接DF,点E为DF的中点.连接BE、CE、AE.
(1)求证：'AEBU'DEC；
(2)当EB=BC时，求ZAFD的度数.
解析：⑴根据“正方形的四条边都相等”可得AB=CD，根据“正方形每一个角都是直角”可得
ZBAD=ZADC=90Q f再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AE=EF=DE=*DF,根据“等边对等角”可得ZEAD=ZEDA f再得出ZBAE=/CDE, 然后利用“SAS"证明即可；⑵根据“全等三角形对应边相等”可得EB=EC,再得出ABCE 是等边三角形.根据等边三角形的性质可得ZEBC=60°,然后求出ZABE=30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出ZBAE,然后根据“等边对等角”可得ZAFD=ZBAE.
(1)证明：在正方形4BCD 中，4B=CD ZBAD= ZADC=90°.9：点E 为DF 中点,:.AE =EF=DE=*DF, ：•上EAD=kEDA. •:上BAE=ZBAD—ZEAD, Z CDE= ZADC- ZEDA,
AB=CD,
:.ZBAE=ZCDE,在ZUEB 和中，＜ZBAE= ZCDE,
、AE=DE,
・・・ AA£B^ADEC(SAS)；
(2)解：•: 'AEBQ'DEC,:・EB=EC. •: EB=BC, :.EB=BC=EC, :. ABCE 是等边三角形，A ZEBC=60°, A
Z90°-60° = 30°.9：EB=BC=AB, A ZBAE=|x(180°-30°)=75°.又TAE=EF, :. ZAFD= ZBAE=75°.
方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等.
探允点二：正方形性质的综合应用
【类型_]利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系
如图，4E是正方形ABCD中ZBAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E, AC.
BD相交于O.求证:
⑴ BE=BF；
(2)OF=^CE.
解析：(1)根据正方形的性质可求得ZABE= ZAOF= 90°.由于AE是正方形ABCD中ABAC的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得ZAFO=ZAEB.^据“对顶角相等” 即可求得ZBFE= ZAEB f BE=BF;⑵连接O和AE的中点G.根据三角形的中位线的性质即可证得OG//BC, OG=^CE.根据平行线的性质即可求得ZOGF=ZFEB,从而证得ZOGF = ZAFO, OG=OF,进而证得O F=*CE.
证明：(I)；'四边形ABCD是正方形，:.AC丄BD, A ZABE= ZAOF=90°, :. ZBAE + ZAEB= ZCAE+ ZAFO=90°. *：AE是ZB4C 的平分线，:.ZCAE=ZBAE, :. ZAFO= ZAEB.又•：ZAFO=/BFE,：・ZBFE=ZAEB, ；・BE=BF；
(2)连接O 和AE 的中点G.・・・AO=CO, AG=EG, :. OG//BC, OG=*CE,:.乙OGF= ZFEB.T ZAFO=/AEB, :.ZOGF= ZAFO, ：・OG=OF, :.OF=^CE.
方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决.
【类型二]有关正方形性质的综合应用题
如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点,B是CF延长线上一点，5.AB=AD,
若四边形ABCD的面积是24cm2.510 AC长是 _____________ cm.
解析：•・•四边形AFCE是正方形，:.AF=AE f ZE= ZAFC= ZAFB=90°.在RtZVIED
AD=AB t 0
和中，* ・・丝RlZ\4FB(HL), •・S Z\AFD=S A4阳.・S 四边形ABCD=24cm~,
AE=AF,
:.S正方彫"rE=24cm[ ；・AE=EC=2百cm.根据勾股定理得AC=yj (2^6) 2+ (2^6) 2= 4筋(cm).故答案为4、/§.
方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题.
三、板书设计
1.正方形的定义和性质
四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角.
2.正方形性质的综合应用
通过学生动手操作得出的结论归纳矩形和菱形的性质，继而得到正方形的性质，激起了学生的学习热情和兴趣.创设有意义的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活泼.让学生觉得学习数学是快乐的，使学生保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚的学习兴趣.。