福建省厦门市2018届高三下学期第一次质量检查(3月)数学(文)试题(含答案)

（ⅳ）当 时，由（1）可知，对任意
，当且仅当 时取等号.
此时令 ∴在
，得
；令
单调递减；在
得
.
上单调递增；此时 有一个极小值点 ，无极大值点.
【解析】
由三视图画出如图所示的直观图：
该几何体是直三棱柱
，其中
，
直三棱柱补全成长方体，如图所示：
，
，四边形
是正方形，则将该
∴该长方体的体对角线为
，则外接球的半径为
∴该几何体外接球的表面积是
故选 A.
点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆
.即 在
上单调递增；当
时，
，即 在
上单调递减：此时 有一个极大值点 和一个极小值点 .
（ⅱ）当 时，
，所以
时 有一个极小值点 ，无极大值点.
，显然 在
单调递减；在
上单调递增；此
（ⅲ）当
时，由（1）可知，对任意
，从而
，而对任意
.
∴对任意
.
此时令 ∴在
，得
；令
单调递减；在
，得
.
上单调递增；此时 有一个极小值点 ，无极大值点.
的平面角，此角显然存在，即当 在底面上的射
影位于 的中点时，直线 与直线 垂直，故③正确；对于④，若存在某个位置，
，因为
，所以 平面 ，从而
，这与已知矛盾，故④不正确.
故选 C.
12. 的内角的对边分别为 ，若
A.
B.
【答案】A
【解析】
C. 3 D. 4
，则 的最大值为（ ）
∵
∴
，即
.
∵
∴
∴
∴当
，即 时， 取得最大值为
∴
故选 A.
第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量
，若 ，则 __________．
【答案】 【解析】 ∵ ∴
，且
∴ 故答案为 . 14.已知 【答案】 【解析】
，则
__________．
∵
∴
，即
∴ ∴ 故答案为 . 15.若函数 【答案】 【解析】
识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查；
（2）解决定点、定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得 到定值．
21.已知函数
，其中 为自然对数的底数.
（1）当
时，证明：
；
（2）讨论函数 极值点的个数.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
，
.
∴ ∵
∴令
，则
.
∴当 时，
，即函数 在 上为减函数；
当 时，
，即函数 在
上为增函数.
∴
，即
.
∴
，即此时 最大.
∴
，即
.
故答案为 .
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等差数列 的前 项和味 ， （1）求数列 的通项公式；
，
.
（2）记数列
三个社团中选取一个社团加入，共有
种不同的结果，这两名同学加入同一个社团的有 3 种情况，则这两名同学加入同一个社团的概率
是. 故选 B.
4.已知双曲线的渐近线方程为
，焦距为 ，则该双曲线的标准方程是（ ）
A.
B.
【答案】C
【解析】
C.
或
∵双曲线的渐近线方程为
D.
或
∴可设双曲线的标准方程为 ∵焦距为
（1）根据抽样结果估计该校学生的每天平均阅读时间（同一组数据用该区间的中点值作为代表）； （2）根据已知条件完成下面的 列联表，并判断是否有 的把握认为“阅读达人”跟性别有关？
附：参考公式
临界值表：
，其中
.
【答案】（1） ；（2）没有 的把握认为“阅读达人”跟性别有关. 【解析】 试题分析：（1）利用该组区间的中点值与频率，即可估计该校学生的每天平均阅读时间；（2）利用数据及等
断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)
从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
8.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积
是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】况，某学校随机抽取了 50 人进行统计分析，把这 50 人每天阅读的时间 (单位:分钟)绘制成频数分布表，如下表所示：
若把每天阅读时间在 60 分钟以上（含 60 分钟）的同学称为“阅读达人”，根据统计结果中男女生阅读达 人的数据，制作出如图所示的等高条形图.
福建省厦门市 2018 届高三下学期第一次质量检查（3 月）
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
∵集合
∴
，
故选 D. 2.已知 为虚数单位，
， 单调递增.
∴
，即
，原不等式成立.
（2）
.
记
（ⅰ）当 时，
， 在 上单调递增，
，
.
∴存在唯一
①若
，即
②若
，即 时，
，且当 时，
；当
.
时，对任意
，此时 在 上单调递增，无极值点；
时，此时当 或
时，
.即 在
上单调递增；当
，即 在
上单调递减；此时 有一个极大值点 和一个极小值点 ；
③若
，即
时，此时当
或 时，
高条形图，可得 列联表，代入公式计算出 ，与临界值比较即可得到结论. 试题解析：（1）该校学生的每天平均阅读时间为：
（2）由频数分布表得，“阅读达人”的人数是 根据等高条形图 列联表
人，
（分）.
由于
，故没有 的把握认为“阅读达人”跟性别有关.
19.如图，平面
平面
.
，四边形
是菱形，
，
，
，
（Ⅰ）求四棱锥
，即
∴当 时，
，即 ，则双曲线的标准方程为
；
当 时， 故选 C.
，即 ，则双曲线的标准方程为
.
点睛：（1）已知双曲线方程
求渐近线：
；
（2）已知渐近线
，设双曲线标准方程
.
5.设 满足约束条件
A.
B. 0 C. 1
【答案】C
【解析】
则 D. 2
的最小值是（ ）
约束条件
对应的可行域如图所示：
平移直线
，由图易得，当经过点 时，目标函数
求数 的前 项和 .
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）根据题设条件可得
，从而解出 与 的值，即可求出数列 的通项公式；
（2）由（1）得数列 的通项公式，根据数列的特性采用分组求和法即可求得前 项和 .
试题解析：（1）由条件可得：
消去 得：
所以
.
，解得 或
（舍），所以
（2）由（1）得： 所以数列 的前
∴
∴
∴当 时， 故选 D. 7.已知函数 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
由图可得函数 的定义域是
，当
时，
，故排除 B，D 选项；由图象可得函数
图象不关于原点对称，而选项 C 为奇函数，故排除 C.
故选 A.
点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判
法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.如图是利用刘徽的割圆术”
思想设汁的一个程序框图，若输出 的值为 24，则判断框中填入的条件可以为（ ）
(参考数据：
)
A.
B.
C.
【答案】C
【解析】
模拟执行程序可得： ， ，
入的条件为
.
故选 C.
D.
，不满足条件， ，
，不满足条件，
【解析】
试题分析：（1）依题意，
，故原不等式可化为
，记
，对函数 求导，得出 的
单调性，即可证明不等式成立；（2）对函数 求导，记 论，判断出函数的单调性，从而得出函数的极值点的个数. 试题解析：
，对函数记 再求导，然后对 进行分类讨
（1）依题意，
，故原不等式可化为
，因为 ，只要证
.
记
，则
.
当
时，
， 单调递减；当 时，
在区间 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ②利用导数转化为不等式
或
恒成立问题求参数范围，本题是利用方法②求解的.
16.已知 是圆 __________．
上两点，点 在抛物线
上，当 取得最大值时，
【答案】 【解析】
依题意可得，当
是圆 的切线时
∵圆 ∴圆心
，半径为 1
取得最大值，即 是圆 的切点，设
两点， 的中点为 ，
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点
，求证:直线 过定点，并求出定点的坐标.
与 交于
【答案】（1） 【解析】
；（2）直线 过定点 .
试题分析：（1）设椭圆的右焦点为 ，则 为
的中位线，推出
，结合离心率为 ，即可求
出椭圆 的方程；（2）设
，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，表示出
， ，即
的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解；
(2)若球面上四点
构成的三条线段
两两互相垂直，且
，一般把有关元素
“补形”成为一个球内接长方体，利用
求解．
9.已知
A.
B.
【答案】B
【解析】
【分析】
，则 的大小关系是（ ）
C.
D.
由指数函数的性质可得
，由对数函数的性质可得 ，化简
，从而可得结果.
是菱形
∴
又∵平面
平面
,平面
平面
,
∴ 平面
在 中,
,设
,计算得
在梯形 中,
平面
梯形 的面积
∴四棱锥 （2）在平面
的体积为
内作
,且
∵
,
∴
,且
∴四边形
是平行四边形.
∴
. ,连接 交 于 ，则点 满足
,证明如下：
又菱形
中,
.
∴ ∴四边形
是平行四边形
∴
,即
.
∵
∴ 又
∴
.
20.设 为坐标原点，椭圆
的左焦点为 ，离心率为 .直线
6.把函数
的图象向右平移 个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，
纵坐标不变，得到函数
的图象，则 的一个可能值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
∵函数
∴函数 ∴把函数 的图象向右平移 个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得
到的函数解析式为
.
∵函数
，因为输出 的值为 24，则满足条件，退出循环，故判断框中填
11.矩形
中，
， 为 中点，将
沿 所在直线翻折，在翻折过程中，给出下列结论：
①存在某个位置，
； ②存在某个位置，
；
③存在某个位置，
； ④存在某个位置，
.
其中正确的是（ ）
A. ①② B. ③④ 【答案】C
C. ①③
D. ②④
【解析】
根据题意画出如图所示的矩形
∵函数 ∴
在 上单调递增，则 的取值范围是__________．
在 上单调递增 在 上恒成立
∴
在 上恒成立
∵
，当且仅当
，即 时取等号
∴
故答案为
.
本题主要考查利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为
已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数
最小，最小值为 1.
故选 C.
点睛: 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)
考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的
直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
【详解】∵
,由幂函数的性质可得
∴
，
，
, ∴
故选 B.
【点睛】本题主要考查幂函数、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较
大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间
）；二
是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
10.公元 263 年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算
， ，再根据点
，即可求出 的值，从而求出定点的坐标.
试题解析：（1）设椭圆的右焦点为 ，则 为
的中位线.
∴
∴
∵ ∴ ∴
∴椭圆 的方程为:
（2）设
，.
联立
,消去 整理得：
.
∴，
∴
，
∵ ∴
∴
，整理得：
解得： 或
（舍去）
∴直线 过定点 .
点睛：（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知
：
翻折后如图：
.
对于①，连接 ，交 于点 ，易证
，设
，则
，
，所以
，
，
则
，即
，
，所以翻折后易得 平面 ，即可证
，故①正确；
对于②，若存在某个位置，
，则 平面 ，从而平面
平面 ，即 在底面 上的
射影应位于线段 上，这是不可能的，故②不正确；对于③，若存在某个位置，
，则 平面
，平面 ⊥平面 ，则 就是二面角
的体积；
（Ⅱ）在 上有一点 ，使得
【答案】(1)
.
，求 的值.
(2)
.
【解析】
试题分析：（1）由四边形
是菱形推出
，在根据平面
平面
证出
平面 ，
结合
，求出梯形 的面积，即可求得四棱锥
的体积；（2）在平面 内作
,且
,连接 交 于 ，从而四边形
是平行四边形，再由菱形
推出
，通过
即可得出 的值.
试题解析：（1）∵四边形
，若
，则
（）
A.
B. 0 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
∴