湘教版八年级下册数学：1.4-角平分线的性质-课件(共15张PPT)
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6
例1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F 在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E， ∠C＝90°，∴DE＝DC. 在△BDE和△FDC中， DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC, ∴ △BDE ≌ △FDC （SAS） ∴ BD=DF (全等三角形中对应边相等).
7
合作探究
思 考
分
逆命题
析
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
′ 已知:如图, ∠AOB,
PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O
A D
P C
别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
E
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可
B
以先作出过点P的射线OC,然后证明
11
例2、 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，
BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
C P FB
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分 线上.∵ PF⊥OB，PE⊥OA
且PE＝PF.
∴点P在∠AOB的平分线上.
14
自我检测
1、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
O
(2)OP是CD的垂直平分线.
2、如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线, A DE⊥AB,垂足为E.
∠AOC=∠BOC.
8
已知：如图,∠AOB中，PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 过点O,P做射线OP
∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）
在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO（公共边）
A
PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
A
D
C
P
O
E
B
5
应用 1
【例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
导引：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在的 △BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一 角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，这 可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．
湖南教育出版社八下
1.4角平分线的性质
1
学习目标、重点、难点
（1）经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线 的性质定理及其逆定理． （2）能运用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何 问题.
（1）通过学习活动，进一步提高学生推理证明能力和推理 证明的意识，培养抽象概括能力。 （2）通过学生交流合作、独立思考等活动，使学生进一步 提高分析问题，解决问题的技巧。 （1）在参与数学学习的活动中，培养合作交流的良好习惯（ 2）通过合作交流、自主评价，促进良好的学习态度的形成，
重点: 养成永无止境的科学探索精神. 掌握角的平分线的性质定理及其逆定理
难点: 角平分线定理和逆定理的应用
2
动一动手
A
A
A(B)
D PC
C
O
BO
O EB
将∠AOB对折,展开画出折痕OC，在折痕OC上任取 一点Ｐ;
过点P作PD⊥OA、PE⊥OB,交OA,OB于点D,E.并 标出垂直符号，
思考：测量PD和PE，它们之间有什么大小关系?
上(或直线经过某一点)的根据之一.
10
应用 2
【例2】 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
导引：要证AD平分∠BAC，已知 条件中有两个垂直，即有 点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即 可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证 明△BDE和△CDF全等来完成．
D
C
P
∴ ∠POD= ∠POE ∴在△POD和△PEO中
O
B E
∠ PDO＝∠PEO
∠ POD＝∠POE
OP=OP
∴ △PDO≌△PEO（AAS）
∴ PD= PE
4பைடு நூலகம்
角平分线的性质：
角平分线上的点到角的两边 的距离相等．
用数学语言表示为：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB,点P在∠AOB的平分线上
∴ PD＝PE
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.
12
应用与提高
已知：如图，△ABC中，BD,CD是△ABC的角平分 线，求证：点D在∠BAC的角平分线上。 A
证明：过点D作DE⊥BC,DG⊥AC,
DF⊥AB分别交BC,AC,AB于点E,G,F ∵ BD,CD是△ABC的角平分线
F
DG
∴ DE＝DG DE=DF
结论 角的平分线上的点到角两边的距离 相等. 3
结论：在角平分线上的点到角两边的距离相等
条件：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
A
求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB,
∴ ∠PDO= ∠PEO= 90° ∵ OC平分∠AOB,
(1)如果CD＝4cm，AC的长 (2)求证:AB＝AC＋CD.
A C
P D
B
E
C
D
B
15
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学 次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁 要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。 久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一 看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知， 幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世 若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便 明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太 了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目 受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服 表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微 存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以 定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是 而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做 让时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚 并把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志 类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶 的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。 灾难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈 它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点 的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的， 么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。
(角平分线性质定理)
∴DF=DG(等量代换) 又∵DG⊥AC,DF⊥AB
B
E
C
∴点D在∠BAC的角平分线上
（角平分线性质定理的逆定理）
13
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
E
A
且PF⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PF
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上 O
D P
E
B
9
二.角平分线性质定理的逆定理
逆定理:角的内部到角的两边距离相等 的点在角的平分线上.
用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足
分别是D,E,且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上
A D
P
O
C
E B
温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线
例1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F 在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E， ∠C＝90°，∴DE＝DC. 在△BDE和△FDC中， DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC, ∴ △BDE ≌ △FDC （SAS） ∴ BD=DF (全等三角形中对应边相等).
7
合作探究
思 考
分
逆命题
析
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
′ 已知:如图, ∠AOB,
PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O
A D
P C
别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
E
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可
B
以先作出过点P的射线OC,然后证明
11
例2、 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，
BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
C P FB
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分 线上.∵ PF⊥OB，PE⊥OA
且PE＝PF.
∴点P在∠AOB的平分线上.
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自我检测
1、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
O
(2)OP是CD的垂直平分线.
2、如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线, A DE⊥AB,垂足为E.
∠AOC=∠BOC.
8
已知：如图,∠AOB中，PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 过点O,P做射线OP
∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）
在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO（公共边）
A
PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
A
D
C
P
O
E
B
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应用 1
【例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
导引：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在的 △BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一 角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，这 可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．
湖南教育出版社八下
1.4角平分线的性质
1
学习目标、重点、难点
（1）经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线 的性质定理及其逆定理． （2）能运用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何 问题.
（1）通过学习活动，进一步提高学生推理证明能力和推理 证明的意识，培养抽象概括能力。 （2）通过学生交流合作、独立思考等活动，使学生进一步 提高分析问题，解决问题的技巧。 （1）在参与数学学习的活动中，培养合作交流的良好习惯（ 2）通过合作交流、自主评价，促进良好的学习态度的形成，
重点: 养成永无止境的科学探索精神. 掌握角的平分线的性质定理及其逆定理
难点: 角平分线定理和逆定理的应用
2
动一动手
A
A
A(B)
D PC
C
O
BO
O EB
将∠AOB对折,展开画出折痕OC，在折痕OC上任取 一点Ｐ;
过点P作PD⊥OA、PE⊥OB,交OA,OB于点D,E.并 标出垂直符号，
思考：测量PD和PE，它们之间有什么大小关系?
上(或直线经过某一点)的根据之一.
10
应用 2
【例2】 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
导引：要证AD平分∠BAC，已知 条件中有两个垂直，即有 点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即 可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证 明△BDE和△CDF全等来完成．
D
C
P
∴ ∠POD= ∠POE ∴在△POD和△PEO中
O
B E
∠ PDO＝∠PEO
∠ POD＝∠POE
OP=OP
∴ △PDO≌△PEO（AAS）
∴ PD= PE
4பைடு நூலகம்
角平分线的性质：
角平分线上的点到角的两边 的距离相等．
用数学语言表示为：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB,点P在∠AOB的平分线上
∴ PD＝PE
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.
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应用与提高
已知：如图，△ABC中，BD,CD是△ABC的角平分 线，求证：点D在∠BAC的角平分线上。 A
证明：过点D作DE⊥BC,DG⊥AC,
DF⊥AB分别交BC,AC,AB于点E,G,F ∵ BD,CD是△ABC的角平分线
F
DG
∴ DE＝DG DE=DF
结论 角的平分线上的点到角两边的距离 相等. 3
结论：在角平分线上的点到角两边的距离相等
条件：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
A
求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB,
∴ ∠PDO= ∠PEO= 90° ∵ OC平分∠AOB,
(1)如果CD＝4cm，AC的长 (2)求证:AB＝AC＋CD.
A C
P D
B
E
C
D
B
15
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学 次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁 要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。 久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一 看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知， 幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世 若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便 明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太 了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目 受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服 表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微 存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以 定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是 而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做 让时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚 并把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志 类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶 的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。 灾难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈 它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点 的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的， 么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。
(角平分线性质定理)
∴DF=DG(等量代换) 又∵DG⊥AC,DF⊥AB
B
E
C
∴点D在∠BAC的角平分线上
（角平分线性质定理的逆定理）
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1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
E
A
且PF⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PF
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上 O
D P
E
B
9
二.角平分线性质定理的逆定理
逆定理:角的内部到角的两边距离相等 的点在角的平分线上.
用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足
分别是D,E,且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上
A D
P
O
C
E B
温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线