学案1：3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质

3.3.2第1课时抛物线的简单几何性质学习目标核心素养
1.掌握抛物线的几何性质．(重点)
2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点) 1.通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养.
2.通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.
情景导入
(1)通过多媒体课件展示．抛物线形反射镜，平行光束聚焦于焦点，激发学生兴趣．
(2)问题：一抛物线形拱桥跨度为4米，拱顶离水面2米，一水面漂浮一宽2米，高出水面1.6米的大木箱，问能否通过该拱桥？
为了解决这个问题，我们先来研究一下抛物线的简单几何性质．
新知初探
1．抛物线的几何性质
标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p
＞0)
图形
性质
焦点⎝⎛⎭⎫
p
2，0⎝
⎛
⎭
⎫
－
p
2，0⎝
⎛
⎭
⎫
0，
p
2⎝
⎛
⎭
⎫
0，－
p
2准线x＝－
p
2x＝
p
2y＝－
p
2y＝
p
2
范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴x轴y轴
顶点(0,0)
离心率e＝1
2.
直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的
定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p
2，故|AB |＝ .
3．直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．
设直线y ＝kx ＋m 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，将y ＝kx ＋m 代入y 2＝2px ，消去y 并化简，得k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0. ①k ＝0时，直线与抛物线只有 交点；
②k ≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线 ⇔有 个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线 ⇔只有 公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线 ⇔ 公共点．
思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？ 初试身手
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线是无中心的圆锥曲线．
( ) (2)抛物线y 2＝2px 过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p ． ( ) (3)抛物线y ＝－18x 2的准线方程为x ＝1
32
．
( )
2．顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝±8y
D ．x 2＝±16y
3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( ) A ．10 B ．8 C ．6
D ．4
4．若双曲线x 23－16y 2
p 2＝1(p ＞0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.
合作探究
类型1 抛物线性质的应用
例1 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，则抛物线的方程为________．
(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，求抛物线的方程．
规律方法
用待定系数法求抛物线方程的步骤
提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．
跟踪训练
1．若直线x＝m与抛物线y2＝43x交于A、B两点，F是其焦点，若△ABF为等边三角形，求m的值．
类型2 直线与抛物线的位置关系
例2 (1)过定点P (0,1)作与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线有几条？
(2)若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax (a ≠0)恰好有一个公共点，试求实数a 的取值集合． 规律方法
直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．
(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切． 跟踪训练
2．若抛物线y 2＝4x 与直线y ＝x －4相交于不同的两点A ，B ，求证OA ⊥OB .
证明：由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x ，y ＝x －4，
消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.
∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16.
∵OA →·OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，
∴OA →⊥OB →
，即OA ⊥OB . 类型3 中点弦及弦长公式
例3 过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被点Q 所平分，求AB 所在直线的方程． 规律方法
“中点弦”问题解题方法
跟踪训练
3．已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π
4的直线l 被抛物线所截
得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
类型4 抛物线的综合应用 [探究问题]
1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？
2．如何对待圆锥曲线中的定点、定值问题？
例4 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点为坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．
(1)求抛物线的方程及其准线方程；
(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB 的斜率为定值． 母题探究
1.若本例题改为：如图所示，已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，试在抛物线AOB 这段曲线上求一点P ，使△P AB 的面积最大，并求出这个最大面积．如何求解？
2.若本例改为“抛物线方程为y2＝x，且过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A(1,1)不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2”，求证：k1·k2为定值．
应用抛物线性质解题的常用技巧
(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．
(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．
课堂小结
1．抛物线的性质可以总结为五个“1”，即：一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，离心率为1的无心圆锥曲线．
2.抛物线中常见的几个结论：
已知AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．点F 是抛物线的焦点(如图)．
则有(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24
. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p .
(3)以过焦点的弦为直径的圆与准线相切． (4)以焦半径为直径的圆与y 轴相切． 课堂检测
1．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( ) A ．1
2
B ．14
C ．16
D ．18
2．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2,42)
D ．(2，±42)
3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →
＝－4， 则点A 的坐标是( ) A ．(2，±22) B ．(1，±2) C ．(1,2)
D ．(2,22)
4．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是________． 5．已知点P (1，m )是抛物线C ：y 2＝2px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF |＝2，直线l ：y ＝k (x －1)与抛物线C 相交于不同的两点A ，B . (1)求抛物线C 的方程；(2)若|AB |＝8，求k 的值．
参考答案
新知初探 2.x 1＋x 2＋p . 3．①一个 ②相交 两
相切 一 相离 没有
思考： [提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点． 初试身手
1．[提示] (1)√ (2)√ (3)× 2．【答案】D
【解析】顶点到准线的距离为p 2，则p
2＝4.解得p ＝8，又因对称轴为y 轴，则抛物线方程为
x 2＝±16y . 3．【答案】B
【解析】|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 4．【答案】4
【解析】双曲线的左焦点为(－3＋p 216，0)，由条件可知，－p
2
＝－3＋p 2
16
，解得p ＝4. 合作探究
类型1 抛物线性质的应用
例1 (1)【答案】y 2＝3x 或y 2＝－3x
【解析】根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，3)或(－1，3)，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)， 则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .
(2)解：如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，
设|BF |＝a ，则由已知得：|BC |＝2a ， 由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°， 在Rt △ACE 中，∵|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，
∴2|AE |＝|AC |，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝4
3，∵BD ∥FG ，∴43p ＝23，p ＝2.因此抛物线的方程是
y 2＝4x . 跟踪训练
1．解：根据题意△ABF 为等边三角形，则
tan 60°＝|m －3|
43m ，m ＞0，
解得m ＝73±12.
类型2 直线与抛物线的位置关系
例2 解：(1)当直线的斜率不存在时，直线x ＝0，符合题意．
当直线的斜率存在时，设过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1，当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝1，满足直线与抛物线y 2＝2x 仅有一个公共点；
当k ≠0时，将直线方程y ＝kx ＋1代入y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.由Δ＝0，得k ＝12，直线方程为y ＝1
2
x ＋1.故满足条件的直线有三条． (2)因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax
只有一组实数解，
消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，即(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0 ①.
(ⅰ)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原
方程组有唯一解⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝－1.
(ⅱ)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程． 令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－4
5
.
所以原方程组有唯一解⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝－5，y ＝－2.
综上，实数a 的取值集合是⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫－1，－45.
跟踪训练
2．证明：由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x ，
y ＝x －4，
消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.
∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16.
∵OA →·OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，
∴OA →⊥OB →
，即OA ⊥OB . 类型3 中点弦及弦长公式
例3 解：法一：(点差法)设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．
又y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2＝4(x 1－x 2)， 即y 1－y 2
x 1－x 2
＝4，∴k AB ＝4. ∴AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0. 法二：由题意知AB 所在直线斜率存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 弦AB 所在直线的方程为y ＝k (x －4)＋1.
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A ，B 两点的纵坐标． 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝8k .
又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4.
∴AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0. 跟踪训练
3．解：当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l 的方程为y ＝x －p 2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过点A ，B 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A 1，点B 1，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p
2＋⎝
⎛⎭⎫x 2＋p
2＝x 1＋x 2＋p ＝6， ∴x 1＋x 2＝6－p .①
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x －p 2，y 2＝2px
消去y ，得⎝⎛⎭⎫x －p 22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p ，
代入①式得3p ＝6－p ，∴p ＝3
2.
∴所求抛物线的标准方程是y 2＝3x .
当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x . 类型4 抛物线的综合应用 [探究问题]
1．[提示] 两条直线的斜率互为相反数．
2．[提示] 常选择一个参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算说明与参数无关，进而找到定点、定值．也常用特值法找定点、定值．
例4 解：(1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，
故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.
(2)证明：因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1
. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224
－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2
＝－1.
1．【答案】A
【解析】线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，
则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12. 2．【答案】D
【解析】抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)，设P (x ，y )符合题意，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x 2＋y 2＝(x －4)2＋y 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x ＝2⇒⎩⎨⎧
x ＝2，y ＝±4 2. 所以符合题意的点为(2，±42)．]
3．【答案】B
【解析】由题意知F (1,0)，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 2
04，－y 0， 由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∴点A 的坐标为(1，±2)，故选B.
4．【答案】158
【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14
. ∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，
∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158
. 5．解：(1)抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2
， 由|PF |＝2得：1＋p 2
＝2，得p ＝2. 所以抛物线的方程为y 2＝4x .
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1，y 2＝4x ，
可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16＞0，
∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k
2. ∵直线l 经过抛物线C 的焦点F ，
∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k
2＋2＝8， 解得k ＝±1，所以k 的值为1或－1.。