曲线与方程 课件 (共37张PPT)

y)=0表示的曲线C上.
(2)从方程的解的角度：若f(x0，y0)=0，则M(x0，y0)在方程f(x， y)=0所表示的曲线C上；或若M(x0，y0)不在方程f(x，y)=0表示的曲 线C上，则f(x0，y0)≠0.
类型二：曲线与方程关系的应用 【典例2】证明以原点为圆心，半径为3的圆的方程是x2+y2=9.
x2+y2=9(y≥0).
2.(改变问法)本例中方程改为x2+y2=9(xy>0)，则它表示的轨迹是什 么？ 【解析】以方程x2+y2=9的解为坐标的点都在以原点为圆心，以3为半 径的圆上，当满足xy>0时，说明这些点的横、纵坐标同号，即这些点 应该在第一象限或第三象限内，所以方程表示的曲线是以原点为圆心，
O
M ( x0 , y0 )
以 ( x 0 , y 0 )为 坐 标 的 点 在 直 线 上 .
x
问题2：方程 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 表示如图的圆， 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r 图象上的点M与此方程 ，
有什么关系？
（1）圆上任一点
第二章
圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问 题：假若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月 球球心和月球表面上一定点的距离之和近似等于定值 2a，视月球为球体，半径为R，你能写出一个轨迹的方 程吗？
【探究】 曲线的方程与方程的曲线 问题 1 ：在直角坐标系中，平分第一、三象限的直 线和方程x-y=0有什么关系？ (1)在直线上任找一点 M ( x 0 , y 0 ),则 x 0 y 0， 即 （ x 0 , y 0） 是方程x-y=0的解； x-y=0 y (2)如果 ( x 0 , y 0 ) 是 x y 0的解，那么
M ( x 0 , y 0 )的 坐 标 是 方 程 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 的解.
（2）若 ( x 0 , y 0 )是方程 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2的解，则以( x 0 , y 0 )
为坐标的点在以 ( a , b )为圆心， 以 r 为半径的圆上 .
x y 3 0
x y 3 0
2.排除法的应用 判断曲线是否为方程的曲线，方程是否为曲线的方程的方法时，主要 利用排除法，用特例来检验两个条件是否满足，即 (1)从点的坐标角度：若点M(x0，y0)在方程f(x，y)=0所表示的曲线C 上，则f(x0，y0)=0；或若f(x0，y0)≠0，则M(x0，y0)不在方程f(x，
x,y制约关系 代数表示
方程f(x,y)=0
曲线的方程与方程的曲线 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点
的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二
元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做 方程的曲线.
问题3:曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解， 能否说f(x,y)=0是曲线C的方程？
解：不能，还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标
的点是不是都在曲线上,如,以原点为圆心，以2为
半径的圆上半部分和方程 x 2 y 2 4 .
【总结提升】 要紧扣定义
由曲线的方程的定义可知，如果曲线C的方程为 f(x,y)=0,那么点 P0 ( x 0 , y 0 ) 在曲线C上的充分必要
条件是 f ( x 0 , y 0 ) 0 .
问题4：曲线的方程与方程的曲线有什么区别？ 曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念，
“曲线的方程”强调的是图形所满足的数量关系；而
“方程的曲线”强调的是数量关系所表示的图形.两
者通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系，使方 程成为曲线（几何图形）的代数表示，从而将研究曲 线的性质转化到讨论相应方程的问题上.
2 2 的 ( , ) 2 2 坐标适合方程x2＋y2＝1，但不在所给曲线上；B不是，理由同上，如
点(－1,1)适合x2－y2＝0，但不在所给曲线上；C不是，因为曲线上 的点的坐标都不是方程的解，如(－1，－1)在所给曲线上，但不适合 方程lgx＋lgy＝1.
(2)选C.根据题意得 x y 1 0 或x-y-3=0，由 x y 1 0 得交点 为(2，-1)，故方程表示直线x-y-3=0和直线x+y-1=0上自点(2，-1) 向右下方的射线.
类型一：曲线的方程与方程的曲线的判定 【典例1】(1)下面所给的方程是图中曲线的方程的是 ( )
(2)方程 x y 1 x y 3 0 表示的曲线
是 ( ) B.两条射线 D.一个点(2，-1)
A.两条互相垂直的直线 C.一条直线和一条射线
【解析】(1)选D.A不是，因为x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1 的圆，以方程的解为坐标的点不都是曲线上的点，如
【解析】(1)设M(x1,y1)是圆上任意一点，则点M到原点的距离为3， 所以 (x1 0)2 (y1 0)2 3， 即x12+y12=9，所以圆上的点的坐标都是方 程x2+y2=9的解. (2)设点N的坐标(x2,y2)是方程x2+y2=9的解，则x22+y22=9，即
(x 2 0)2 (y2 0)2 3，所以点N到原点的距离为3，所以点N在以原点
0 y
( x a)2 ( y b)2 r 2
.
·
M ( x0 , y0 )
x
通过探究可知，在直角坐标系建立以后，平面内 的点与数对（x,y）建立了一一对应关系.点的运动形 成曲线C，与之对应的实数对的变化就形成了方程
f(x,y)=0.
点
Байду номын сангаас
按某种规律运动 曲线C 几何对象
坐标（x,y）
为圆心，以3为半径的圆上,由(1)(2)可知，以原点为圆心，半径为3
的圆的方程是x2+y2=9.
【延伸探究】 1.(变换条件)本例条件改为：求以原点为圆心，半径为3的圆的上半 圆的方程. 【解析】上半圆上点的坐标仍旧是方程x2+y2=9的解，但方程的解中 纵坐标为负的点都在x轴下方，不在曲线上，所以方程应为