等腰三角形(2)八年级数学下册(北师大版)

随堂练习
3.若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°, 则顶角的度数为 ( B )
A.50° B.80 °
C.100 °
D.130 °
4.在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为∠ABC、
∠ACB的平分线，BD=5，则CE= 5
.
随堂练习
5.如图，已知△ABC 是等边三角形，D，E，F 分别是 三边AB，AC，BC 上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC， DF⊥AB，计算△DEF 各个内角的度数．
A
B
C
探究新知
类比拓展： （1）等边三角形是轴对称图形吗？如果是，它有几条 对称轴？ （2）等边三角形还有哪些特征？
探究新知
归纳总结 等边三角形的性质： 1.等边三角形是轴对称图形。 2.等边三角形的各角都相等，都等于60° 3.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、 高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边 三角形的对称轴。等边三角形共有三条对称轴。
随堂练习
解：因为△ABC 是等边三角形， 所以∠A＝∠B＝∠C＝60°. 因为DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB， 所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°. 所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. 所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°. 同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°. 即△DEF 各个内角的度数都是60°.
等边三角 形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且 每个角都等于60°
谢谢~
情境导入
在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角 形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角 架等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三 角形的各角之间有什么关系呢？等腰三角形中有哪些相等的线段？
探究新知
核心知识点一： 等腰三角形的重要线段的性质
上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，即顶角 的平分线、底边上的高、底边上的中线.
试猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、 两腰上的中线有什么关系呢？
探究新知
画一画：在纸上画一个等腰三角形。 在等腰三角形中作出两底角的平分线。 它们在数量上有何关系？你能证明吗？
探究新知
证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
新课标 北师大版 八年级下册
第一章 三角形的证明 1.1.2等腰三角形（2）
学习目标
1.探索等腰三角形的轴对称性及相关性质； 2.类比等腰三角形的性质，得出等边三角形的 相关性质； 3.应用等腰或等边三角形的性质解决相关数学 问题。
情境导入
知识点1 等腰三角形的两底角相等. 简称为等边对等角.
知识点2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及 底边上的高线互相重合. 通常称为：等腰三角形“三线合一”.
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD 和CE
是△ABC的角平分线.
A
求证：BD = CE.
E 1
B
D 2
C
探究新知
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）.
∵BD，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，
A
∴ 1= 1 ABC , 2= 1 ACB.
2
2
∴ ∠1＝∠2.
在△BDC 和△CEB 中，
在△AMD和△AND中,
∵AM=AN,∠MAD=∠NAD,AD=AD,
∴△AMD≌△AND,
∴DM=DN.
随堂练习
7. 如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边
三角形，求∠BAC的度数.
解：∵ △ADE是等边三角形，
A
∴ AD=DE=AE， ∠ADE= ∠DEA= ∠DAE =60°.
把“等腰三角形两腰上的中线相等”改为“等腰三角 形两腰上的三等分线（或四等分线）相等”是否也成立呢？
两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.
探究新知
核心知识点二： 等边三角形的性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形 的内角有什么特征呢？ 定理 ：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
∵ D，E是BC的三等分点， ∴ BD=DE=EC，∴BD=AD，
BD
EC
∴ ∠ABD= ∠BAD= 30°（三角形的外角性质）.
同理， ∠ ACE= ∠CAE= 30°.
∴ ∠BAC= ∠BAD+ ∠DAE+ ∠BAD= 120°.
课堂小结
等腰三角 形重要线 段的性质
底角的两条角平分线相等 两条腰上的中线相等 两条腰上的高相等
随堂练习
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，下列条件中， 不能使BD＝CE的是( D )
A．BD，CE为AC，AB边上的高
B．BD，CE都为△ABC的角平分线
C．∠ABD＝
1 3
∠ABC，∠ACE＝
1 3
∠ACB
D．∠ABD＝∠BCE
随堂练习
2.如图，在等边三角形ABC中，BD，CE是两条中线， 则∠1的度数为( C ) A．90° B．30° C．120° D．150°
E
D
∠ ACB＝∠ ABC，BC=CB，∠1＝∠2，
1
∴△BDC ≌ △CEB (ASA).
B
2 C
∴BD ＝CE (全等三角形的对应边相等）.
探究新知
归纳总结 等腰三角形两底角的平分线相等.
等腰三角形两腰上的中线相等吗？高呢？还有其 他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流.
探究新知
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的
思考： 怎样证明这一定理？ 可以利用等腰三角形的性质进行证明.
探究新知
已知：如图, 在△ABC中，AB= AC=BC. 求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°. 证明：∵AB = AC，
∴∠ B = ∠ C (等边对等角). 又∵AC = BC， ∴∠A= ∠ B (等边对等角). ∴∠A= ∠ B = ∠ C. 在△ABC中，∠A+∠ B+∠ C = 180°. ∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
随堂练习
6.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于 点D,点M,N分别在AB,AC边上, AM=2MB, AN=2NC. 求证:DM=DN.
随堂练习
证明:∵AM=2MB,∴AM= 2AB.
同理,AN=AC,∴AM=AN.
∵AD平分∠BAC,∴∠MAD=∠NAD.
探究新知
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的高.
求证：BD=CE.
A
证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB.
∵ BD和CE是△ABC两腰上的高，
∴ ∠BDC= 90°，∠BEC= 90° .
在△BDC 和△CEB 中，
E
D
∠ACB= ∠ABC， BC=CB， ∠BDC=∠BEC， B
C
∴ △BDC≌△CEB（AAS）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
探究新知
归纳总结
A
A
A
E
DF
EQ
P
B
CB
CB
C
结论总结：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上 的中线相等，两腰上的高相等．
探究新知
归纳总结 如果把等腰三角形两底角的平分线（二等分线）
换成三等分线、四等分线，你能得到一个什么结论？ 过底边的端点且与底边夹角相等的两对应线段相等.
中线. 求证：BD=CE.
A
证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB
∵ BD和CE是△ABC两腰上的中线，
∴CD=
1 2
AC，BE=
1
2AB，∴CD= BE.
在△BDC和△CEB 中，
E
D
BC=CB，∠ACB=∠ABC，CD= BE ，
B
C
∴ △BDC≌△CEB（SAS）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.