2019-2020学年江苏省南京市高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省南京市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合A ＝{1，2，3}，集合B ＝{x |x 2≤4，x ∈R }，则A ∩B ＝（ ） A ．∅ B ．{1}
C ．{1，2}
D ．{1，2，3}
【答案】C
【解析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得A B .
【详解】
由24x ≤，解得22x -≤≤，故{}2B x x =|-2≤≤，所以{}1,2A B =.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．已知向量(1,2)OA =-，(1,1)OB =-，则向量AB 的坐标为（ ） A ．（－2，3） B ．（0，1）
C ．（－1，2）
D ．（2，－3）
【答案】D
【解析】利用向量减法运算，求得AB . 【详解】
依题意()()()1,11,22,3AB OB OA =-=---=-. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查平面向量减法的坐标运算，属于基础题.
3．已知a ＝log 0.81.2，b ＝1.20.8，c ＝sin 1.2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b
C ．c ＜a ＜b
D ．c ＜b ＜a
【答案】B
【解析】利用0,1分段法，判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】
0.80.8log 1.2log 10a =<=，0.801.2 1.21b =>=，由于
ππ
1.232
<<，所以0sin1.21c <=<，所以a c b <<.
故选：B 【点睛】
本小题主要考查指数式、对数式和三角函数比较大小，属于基础题. 4．函数()tan 24f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的定义域为（ ） A ．,2x x k k π
π⎧⎫≠+
∈⎨⎬⎩
⎭
Z B ．2,2x x k k Z π
π⎧⎫
≠+
∈⎨⎬⎩
⎭
C ．,28k x x k Z π
π⎧⎫≠
+∈⎨⎬⎩⎭
D ．,8x x k k Z π
π⎧⎫
≠+
∈⎨⎬⎩
⎭
【答案】C
【解析】根据正切型三角函数定义域的求法，求得()f x 的定义域. 【详解】 由ππ2π42x k +
≠+，解得ππ
28k x ≠+，所以()f x 的定义域为,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查正切型三角函数定义域的求法，属于基础题.
5．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．4
C ．2π
D ．4π
【答案】B
【解析】利用扇形面积公式求得扇形的半径，进而求得AB 的长. 【详解】
设扇形的半径为r ，依题意21
24,22
r r ⋅⋅==.所以AB 224r α=⋅=⋅=. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查扇形面积公式，考查扇形弧长计算，属于基础题.
6．若向量,a b 满足：()()
1,,2a a b a a b b =+⊥+⊥，则a b -=（ ）
A ．1
B ．2
C ．5
D 【答案】D
【解析】利用已知条件求得2
,a b b ⋅，由此求得a b -r r
的值.
【详解】
由()()
1,,2a a b a a b b =+⊥+⊥得()
(
)
222
102220a b a a a b a b a b b a b b a b b ⎧+⋅=+⋅=+⋅=⎪
⎨+⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩
，化简
得2
1
2a b b ⎧⋅=-⎨=⎩
.所以(
)
2
22
21225a b a b
a a
b b -=-=-⋅+=++=.
故选：D 【点睛】
本小题主要考查平面向量数量积运算，考查两个向量垂直的表示，考查向量模的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 7．函数2
12ln ||
()x f x x ⋅=
图象的大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】根据函数的奇偶性和单调性，选出正确选项. 【详解】
由于函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，由此排除B,C 选项.由于()()22222
1212212,f e f e e e e e ==⋅<，所以当0x >时，()f x 存在减区间，由此排除D 选项. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
8．安装了某种特殊装置的容器内有细沙10cm 3，容器倒置后，细沙从容器内流出，tmin 后容器内剩余的细沙量为y ＝10
1+at
（单位：cm 3
），其中a 为常数．经过4min 后发现容
器内还剩余5cm 3
的沙子，再经过xmin 后，容器中的沙子剩余量为1.25cm 3
，则x ＝（ ） A ．4 B ．6
C ．8
D ．12
【答案】C
【解析】根据已知条件求得a 的值，由此列方程，求得x 的值.
【详解】
当4t =时5y =，所以14510a +=，即111
14lg5,4lg51lg
,lg 242
a a a +==-==⋅.设经过min y 后，剩余沙子为111lg 42
5
10
4
y +⋅=，即1411l g 101124
1lg 421510101024
y
y y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭+⋅⎢⎥⎣⎦
⎛⎫
==⋅=
⎪
⎝⎭
，即13
4
1122y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
，13,124y y ==.所以再经过的时间1248x =-=. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查对数运算，考查运算求解能力，属于中档题.
二、多选题
9．下列各选项中，值为1的是（ ） A ．log 26·log 62 B ．log 62＋log 64
C ．()()
11
2
2
22⋅
D
．(
(112
222+-
【答案】AC
【解析】对选项逐一化简，由此确定符合题意的选项. 【详解】
对于A 选项，根据log log 1a b b a ⋅=可知，A 选项符合题意. 对于B 选项，原式()66log 24log 81=⨯=≠，B 选项不符合题意. 对于C
选项，原式(
(
112
2
2211⎡⎤==⎣
⎦
⋅=+，C 选项符合题意.
对于D
选项，由于
((
)
(
(11112
2
2
22
2222222-+⎡
⎤
=⎣
⋅⎢⎥⎦
4221
=-=≠，D 选项不符合题意. 故选：AC 【点睛】
本小题主要考查对数、根式运算，属于基础题. 10．记函数()sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象为G ，则下列结论正确的是（ ）
A ．函数f （x ）的最小正周期为π
B ．函数f （x ）在区间5,1212ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上单调递增 C ．直线12
x π
=-
是图象G 的一条对称轴
D ．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移3
π
个单位长度，得到图象G 【答案】ABC
【解析】根据三角函数的图像与性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】
函数()f x 的最小正周期为2π
π2
=，故A 选项正确. 由πππ2232x -
≤-≤，解得π5π1212x -≤≤，所以函数f （x ）在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，故B 选项正确. 由于ππππsin 2sin 1121232f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，所以直线12x π=-是图象G 的一条对称轴，故C 选项正确.
sin 2y x =向右平移
π3得到π2πsin 2sin 233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，故D 选项错误.
故选：ABC 【点睛】
本小题主要考查三角函数图像与性质，包括周期性、单调性、对称性和图像变换等知识，属于基础题.
11．已知函数f （x ）＝x ，g （x ）＝x －4，则下列结论正确的是（ ） A ．若h （x ）＝f （x ）g （x ），则函数h （x ）的最小值为4 B ．若h （x ）＝f （x ）|g （x ）|，则函数h （x ）的值域为R
C ．若h （x ）＝|f （x ）|－|g （x ）|，则函数h （x ）有且仅有一个零点
D ．若h （x ）＝|f （x ）|－|g （x ）|，则|h （x ）|≤4恒成立 【答案】BCD
【解析】对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项. 【详解】
对于A 选项，()()()2
24424h x x x x x x =-=-=--，当2x =时，函数()h x 的最
小值为4-，所以A 选项错误.
对于B 选项，()224,4
44,4
x x x h x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，画出()h x 图像如下图所示，由图可
知，()h x 的值域为R ，故B 选项正确
.
对于C 选项，()4,0424,044,4x h x x x x x x -<⎧⎪
=--=-≤≤⎨⎪>⎩
，画出()h x 图像如下图所示，由
图可知，()h x 有唯一零点2，故C 选项正确
.
对于D 选项，由C 选项的分析，结合()h x 图像可知()4h x ≤恒成立，故D 选项正确. 故选：BCD 【点睛】
本小题主要考查函数的最值、值域和零点，考查分段函数，考查数形结合的思想方法，属于基础题.
12．已知向量,a b 是同一平面α内的两个向量，则下列结论正确的是（ ） A ．若存在实数λ，使得b a λ=，则a 与b 共线 B ．若a 与b 共线，则存在实数λ，使得b a λ=
C ．若a 与b 不共线，则对平面α内的任一向量c ，均存在实数,λμ，使得c a b λμ=+r r r
D ．若对平面α内的任一向量c ，均存在实数,λμ，使得c a b λμ=+r r r
，则a 与b 不共
线
【答案】ACD
【解析】根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断出正确选项. 【详解】
根据平面向量共线的知识可知A 选项正确.
对于B 选项，若a 与b 共线，可能0a =，当b 为非零向量时，不存在实数λ，使得
b a λ=，所以B 选项错误.
根据平面向量的基本定理可知C 、D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】
本小题主要考查平面向量共线、平面向量的基本定理，属于基础题.
三、填空题
13．已知a 和b 都是单位向量，且0,2a b c a b ⋅==+，则向量b 与c 的夹角的余弦值是____．
【解析】利用cos ,b c b c b c
⋅=⋅求得向量b 与c 的夹角的余弦值.
【详解】
依题意cos ,b c b c b c
⋅=
⋅
()
2
2
2
2442b a b
a b a b ⋅+=
=
=
=+⋅+.
【点睛】
本小题主要考查平面向量数量积、模的运算，考查向量夹角的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
14．在△ABC 中，已知7
sin cos 13
A A ＋＝，则sinAcosA 的值为____，tanA 的值为____．
【答案】60
169-
125
- 【解析】利用同角三角函数的基本关系式，求得sin cos ,tan A a A 的值. 【详解】 由7sin cos =
13A A +两边平方得4960
12sin cos ,sin cos 169169
A A A A +=
=-.由于A 是三角形的内角，故A 为钝角，所以sin cos 0A A ->，而
()
2
289sin cos 12sin cos 169A A A A -=-=
，所以17
sin cos 13
A A -=
.由17sin cos 13
7sin cos 13A A A A ⎧
-=⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
＋＝
解得125sin ,cos 1313A A ==-，所以sin 12tan cos 5A A A ==-. 故答案为：（1）60
169-（2）125
-
【点睛】
本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
15．已知函数f （x ）（x ∈R ）是周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，
(1),01()sin ,12
x x x f x x x π-⎧=⎨<⎩剟
…则
376f f ⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
______． 【答案】
14
【解析】根据函数()f x 的周期性、奇偶性和分段函数解析式，求得所求表达式的值. 【详解】 依题意
3711111111π42sin
66666f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ππ1sin 2πsin 662⎛
⎫=--== ⎪⎝
⎭.
371111162224
f f f ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1
4
【点睛】
本小题主要考查分段函数求函数值，考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题. 16．已知A ，
B 是函数()sin 2
x
f x π=的图象与函数()cos
2
x
g x π=的图象的两个不同的
交点，则线段AB 长度的最小值是______．
【解析】求得()(),f x g x 在一个周期内的两个交点坐标，由此求得AB 长度的最小值. 【详解】
()f x 和()g x 的周期为2π
4
π2
T =
=，由()()f x g x =得ππsin cos 22
x x =，在
[]0,4x ∈时，有ππ24x =或π5π24x =，记得12
x =或5
2x =
，不妨设
15,,,2222A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以AB 长度的最小值为
AB ==
.
【点睛】
本小题主要考查正弦函数与余弦函数，考查两点间的距离公式.
四、解答题
17．已知向量()()2,,1,6a m b m ==-． （1）若//a b ，求实数m 的值； （2）若a b a b +=-，求实数m 的值． 【答案】（1）3-或4；（2）
1
4
【解析】（1）利用两个向量平行的条件列方程，解方程求得m 的值；
（2）将a b a b +=-两边平方，求得0a b ⋅=，根据向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得m 的值.
【详解】
（1）由于//a b ，所以()2610m m ⋅--=，解得3m =-或4m =.
（2）将a b a b +=-两边平方得2222
22a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，所以0a b ⋅=，即
()2160m m -+=，解得1
4
m =.
【点睛】
本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，考查向量模的运算、数量积的运算，考查方程的思想，属于基础题.
18．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P （－3，m ），且4
sin 5
α=． （1）求实数m 的值；
（2）求sin(2)cos()
3sin cos 22παππααπα-++⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值．
【答案】（1）4；（2）
1
7
【解析】（1）根据三角函数的定义列方程，解方程求得m 的值. （2）由（1）求得cos α的值，利用诱导公式化简求得表达式的值. 【详解】
（1）由于角α的终边经过点()3,P m -，且4
sin 05
α=
>，所以0m
>，且4sin 5
α=
=
，从而()22
25169m m =+，即216m =，解得4m =. （2）由（1）知()4,3,4m P =-
，所以3
cos 5α=
=-，所以
sin(2)cos()sin cos 1
3cos sin 7sin cos 22ππααππαααααα-++--==-⎛⎫⎛⎫
++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【点睛】
本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式和同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
19．已知函数()2
x x e ae f x --=是奇函数，其中e 是自然对数的底数．
（1）求实数a 的值；
（2）若f （lgx ）＋f （－1）＜0，求x 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）()0,10
【解析】（1）根据奇函数的性质，利用()00f =列方程，解方程求得a 的值. （2）利用函数的奇偶性和单调性化简不等式，并由此求得不等式的解集. 【详解】
（1）函数()f x 的定义域为R ，且为奇函数，所以()1002
a
f -=
=，解得1a =. （2）由（1）得()122x x e f x e
=-，由于1,2x
x e e -都在R 上递增，所以函数
()1
22x x e f x e
=-在R 上递增，根据()f x 为奇函数得()()()lg 11f x f f <--=，所
以lg 1x <，解得010x <<.即不等式的解集为()0,10. 【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
20．如图，摩天轮的半径为50m ，圆心O 距地面的高度为65m ．已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每30min 转动一圈．游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．
（1）游客进入摩天轮的舱位，开始转动tmin 后，他距离地面的高度为h ，求h 关于t 的函数解析式；
（2）已知在距离地面超过40m 的高度，游客可以观看到游乐场全景，那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间是多少？ 【答案】（1）π6550cos ,015t h t ⎛⎫
=-≥
⎪⎝⎭
；
（2）20min 【解析】（1）建立平面直角坐标系，根据摩天轮的转动速度，结合三角函数的知识，求得h 关于t 的解析式.
（2）由40h >列不等式，解不等式求得距离地面超过40m 的时间范围，由此求得游客
可以观看到游乐场全景的时间. 【详解】
（1）如图以摩天轮的圆心为坐标原点，水平方向为x 周，建立平面直角坐标系.设游客的位置为点P .因为摩天轮按逆时针方向匀速转动，且每30min 转动一圈，所以OP 在
min t 内所转过的角为
2πt πt
3015
=.因为游客是从摩天轮的最低点进入摩天轮的舱位，所以，以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为
πt π
152
-，因此P 点的纵坐标为ππ50sin 152t ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.从而游客距离地面的高度
πππ50sin 656550cos 15215t t h ⎛⎫⎛⎫
=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0t ≥.
（2）令π6
550c o s 4015t h ⎛⎫
=-> ⎪⎝⎭
，得π1
c
o s 152t ⎛⎫< ⎪⎝⎭
，所以ππt 5π2π2π3153k k +<<+，即3053025k t k +<<+，k ∈N ，令0k =，则525t <<.
由于在距离地面超过40m 的高度，游客可以观看到游乐场全景，因此，在转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间为25520min -=.
【点睛】
本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查三角不等式的解法，属于中档题. 21．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝3，D 为BC 中点，2AE EB =,1
2
AF FC =
．
（1）若3
A π
∠=
，求AD EF ⋅的值；
（2）若0DE DF ⋅=，求AB AC ⋅uu u r uuu r
的值． 【答案】（1）12-；（2）
81
8
【解析】（1）利用向量加法、减法和数量积运算，化简求得AD EF ⋅的值.
（2）利用向量加法、减法和数量积运算，结合0DE DF ⋅=，化简求得AB AC ⋅uu u r uuu r
的值. 【详解】
（1）由于D 是BC 的中点，所以()
1
2AD AB AC =+，由于2AE EB =,12
AF FC =，所以21
,33
AE AB AF AC =
=.所以AD EF ⋅()
1122
33AB AC AC AB ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭2212
1123
33AB AB AC AC ⎛⎫=--⋅+ ⎪
⎝⎭22111366AB AB AC AC =--⋅+22111166333626-⨯-⨯⨯⨯+⨯33
121222
=--+=-.
（2）()
2111
3262DE AE AD AB AB AC AB AC =-=-
+=-， ()
1111
3226
DF AF AD AC AB AC AB AC =-=-+=--，
所以
11116226DE DF AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫
⋅=-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2211212129AB AC AB AC
=-++⋅323049AB AC =-++⋅=,解得81
8
AB AC ⋅=.
【点睛】
本小题主要考查向量加法、减法和数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
22．已知函数f （x ）＝sinx ，g （x ）＝lnx ． （1）求方程()2f x f x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
在[0，2π]上的解； （2）求证：对任意的a ∈R ，方程f （x ）＝ag （x ）都有解；
（3）设M 为实数，对区间[0，2π]内的满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4的任意实数x i （1≤i ≤4），不等式()()()()()()122334M f x f x f x f x f x f x -+-+-…成立，求M 的最小值． 【答案】（1）
π4
或5π4；（2）详见解析；（2）4
【解析】（1）利用诱导公式化简()2f x f x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，结合同角三角函数的基本关系式求得tan x 的值，由此求得方程的解.
（2）将a 分成0a =和0a ≠两种情况，结合零点存在性证得结论成立.
（3）先证得4M ≥，再证得()()()()()()1223344f x f x f x f x f x f x ≥-+-+-，由此求得M 的最小值为4. 【详解】
（1）因为，()()πsin ,2f x x f x f x ⎛⎫==-
⎪⎝⎭，所以πsin sin 2x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，即sin cos x x =，且[]0,2πx ∈.若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x +=矛盾.所以cos 0x ≠，从而tan 1x =.又[]0,2πx ∈，所以π
4
x =或5π4
x =
. （2）当0a =时，由()()f x ag x =得sin 0x =，即πx =是该方程的一个解；
当0a ≠时，令()1ln sin h x x x a =-.因为()h x 的图像在区间22,a a
e e -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦上连续不断，
且2
2
21
211
sin 0a a h e
e a a a a a --⎛⎫⎛⎫=--≤-+=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
，22
21211
sin 0a a h e e a a a a a -⎛⎫⎛⎫=-≥-=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，根据零点存在性定理可知，存在22
0,a
a
x e e
-⎛⎫
∈⎪ ⎪⎝⎭
，使得()00h x =.因此，当0a ≠时，方程()()f x ag x =有解0x x =. 综上所述，对任意a R ∈，方程()()f x ag x =都有解. （3）先证：4M ≥. 取1234π3π
0,,,2π22
x x x x ==
==，122334sin sin sin sin sin sin 1214M x x x x x x ≥-+-+-=++=.
再证：当123402πx x x x ≤<<<≤时，都有
()()()()()()1223344f x f x f x f x f x f x ≥-+-+-，即
1223344sin sin sin sin sin sin x x x x x x --≥+-+.
①若2πx ≤，因为234π2πx x x ≤<<≤，于是2341sin ,sin ,sin 0x x x -≤≤，所以
2334sin sin 1,sin sin 1x x x x -≤-≤，而12sin sin 2x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤.
②若3πx ≤，1223sin sin 1,sin sin 1x x x x -≤-≤，34sin sin 2x x -≤，所以
122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤；
③若23πx x <<，1223sin sin 1,sin sin 2x x x x -≤-≤，34sin sin 1x x -≤，所以
122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤，
于是对任意满足条件的1234x x x x <<<，都有
1223344sin sin sin sin sin sin x x x x x x --≥+-+.
综上所述，M 的最小值为4. 【点睛】
本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.。