边界层理论PPT课件

第四节 平板绕流摩擦阻力计算
所以，总阻力
S LB yx
y0
1 2
C
f
2
0
LB
0.664 03B2L
另一方面，由边界层积分方程的解，也可以计算 出层流平面绕流摩擦阻力，
即由
和 x
0
3 2
y
1 2
y
3
4.64 x 4.64 x
0
Rex
可得到
x 3 1
yx y0
y y0 2 0
x
y
y
y
Y
1
p y
2 y
x2
2 y
y 2
y方向动量传输方程
注：x
t
x
x
x
y
x
y
z
z
z
X
1
p x
2x
x2
2 x
y 2
2z
z 2
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第二节 方程）
平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分
考虑不可压缩流体作平面层流（二维流场），此时质
量力对流动产生的影响较小，则有方程组
m l
m x x
m x
d dx
l
dy x
0
x
BC面在边界层之外，流体沿x方向的速度近似等于υ0，故此由BC面流入 的动量在x方向的分量Ml
M l
m l0
0
d dx
l
dy
x
x
0
4）AD面没有质量流入、流出，但有动量通量存在，其值为τ0，故此由
AD面在单位时间内传给流体的粘性动量为τ0Δx。
2! 2 5! 4 8!
8 11!
n1
1 n 2
An1 2
3n 2
!Cn 3n2
式中：Cn为二项式的系数；A2为系数，可由边界条 件确定。
边界层厚度δ与流进距离x 和流速υ0 的关系为
5.0 x 5.0 1 x
Re
0
x
式中Re 0 x x
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方 程一）、 边界层积分方程的建
（1）层流区： x<xc （xc为对应于Rex=2×105的流进深度。）
（ 2 ） 过 渡 区 ： 随 着 流 进 深 度 的 增 长 ， 当 x>xc ， 使 得 Rex>2×105，且 Rex<3×106时。 在这一 区 域内，边界层的厚度随着流进尺寸的增加 而迅速增加。
（3）湍流区：随着流进尺寸的进一步增加，使得Rex > 3×106，这时边界层内的流动形态已进入湍 流状态，边界层的厚度随流进长度的增加而 迅速增加。
于是， x方向动量传输方程可简化
为
x
x
x
y
x
y
1
p x
2 x
y 2
关于y轴方向上的动量传输方程，因为边界层厚度δ很小，第三式中的Vy对
x轴 x和y的各项偏导数与 方向上的动量传输相比均属无穷小量，可略而不
计。因而，第三式可以简化为
p 0 y
p dp x dx
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第二节 方程）
平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分
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第一节 边界层理论的基本概念
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第二节 方程）
平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分
一、 微分方程的建立
对于二维平面不可压缩层流稳态流动，在直角坐标系下 满足的控制方程为
x
y
0
x y
连续性方程
x
x
x
y
x
y
X
1
p x
2x
x2
2x
y 2
x方向动量传输方程
x
y
1）y 0, 0 x
3）y , x 0
y
2）y ,
x
0
4）y
2
0, x
0
y 2
条件1），2），3）是显而易见的; 条件4）是由于y=0
时，υx= υy =0； 再结合前面推导的普朗特微分方程而 得到
x
x
x
y
x
y
2 x
y 2
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方
程）
利用上述边界条件确定出：a=0，c=0，
b
3,d
1
2
2
因此，速度分布可表示为
x
0 2
3y
y3
2
或者
x 0
3 2
y
1 2
y
3
将上式联立冯-卡门方程，就可求出速度分布和边界层
厚度δ
4.64 x 4.64 1 x
Re
0
x
上式给出了边界层厚度δ与进流距离和速度的关系。
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第四节 平板绕流摩擦阻力计算
对于实际流体掠过平板作层流流动，由于流体粘性 的作用，使得流体和平板之间存在着相互作用力，即
x
yx y0
y y0
根据上式，如果我们知道流体在边界层内的速度分布υx 和流体的动力粘度 η，则平板对流体的作用力就可以很方便地通过上式求出。
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边界层理论
意义：粘性流体流动理论应用于实际问题，明确了研究理想流体流动的
实际意义，在流体力学的发展中起了非常重要的作用。
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第一节 边界层的基本概念
一、边界层的定义 边界层：流体在流经固体壁面时，在固体壁面形成速
度梯度较大的流体薄层。 边界层的厚度：流速相当于主流区速度的99%处，到
二、 层流边界层积分方程的解
波尔豪森是最早解出冯～卡门方程的人，他分析了方 程的特点，假设在层流情况下，速度的分布曲线是y的三 次方函数关系，即
υx=a+by+cy2+dy3
式中的四个待定常数a、b、c、d 可由以下边界条件确定：
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方 程这）些边界条件是
其中：xν为0 为流主体流进区来R入e流平x体板=判x速的ν度长别。0度ρ，，/又η称不进计流过深算度此。； 时 的 雷 诺 数 用
对于光滑平板而言：Rex<2×10 5 时为层流；Rex>3×10 6 时为湍流；2×10 5 <Rex <3×10 6为层流到湍流的过渡区。
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第一节 边界层理论的基本概念
第四节 平板绕流摩擦阻力计算
一、不可压缩流体作层流掠过平板表面流动时的摩擦阻力
通常定义摩擦阻力系数Cf 为
Cf
yx y0
1 2
02
对于长度为L、宽度为B 的平板，其总阻力S 为
BL
S 0
0
yx
dxdz
y0
我们注意到
S LB yx
y
0
1 2
C
f
2
0
LB
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第四节 平板绕流摩擦阻力计算
对主流区中的同一 y 值，不同的 x 值其伯努利方程可写为
p 02 C 2g
由于ρ与υ0皆为常数，故p为常数，即 dp/dx=0
因此
x
x
x
y
x
y
1
p x
2 x
y 2
x
x
x
y
x
y
2 x
y 2
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第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分 方程）
所以，原方程组就简化为
x
边界层理论
理论形成的背景：
实际流体流动方程是非线性偏微分方程，难以求解； 人们注意到大多数实际流体的流动都可以分为两个区 域，即靠近壁面、速度梯度较大的一薄层（边界层） 和大部分远离壁面、速度梯度较小的区域。对速度梯 度较小的区域可以利用理想流体的欧拉方程和伯努利 方程求解；对很薄的边界层可以通过简化后再求解。 这样就将整个区域求解问题转化为主流区的理想流体 的流动问题和靠近壁面边界层内的流动问题。当然， 与此同时就有一个区域的划分问题或者说有一个边界 层厚度的确定问题。
x
y 0
x y
连续性方程
x
x
x
y
x
y
1
p x
2x
x2
2x
y 2
x
y
x
y
y
y
1
p
y
2 y
x2
2 y
y 2
x方向动量传输方程 y方向动量传输方程
因为 x 是一个无穷小量，所以 x
x
x
x
2 x
x 2
是一个高价无穷小，可以略去不计。
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第二节 方程）
平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分
注意：原教材中该部分 多处有误！请参照改正。 （P 71）
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第四节 平板绕流摩擦阻力计算
所以
S
B 0
L
0
yx
dxdz
y0
0.646
03 B 2 L
联立式
S LB yx
y
0
x y
x
x
x
y
x
y
2 x
y 2
定解条件为
y 0， 0， 0
x
y
y ，
x
0
普朗特边界层微分方程的解是由他的学生布拉修斯在1908年首先求出 的，他首先引入了流函数的概念，得出边界层微分方程的解是一无穷级数。
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第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分 方程）
f ( ) A2 2 1 A22 5 11 A23 8 375 A24 11
第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方 程 ） 三、湍流边界层内积分方程的解
在湍流情况下，冯-卡门积分方程中的τ0为一般的应力项，要想解上述方程 也必须补充一个υx与δ之间的关系式，它不能由波尔豪森的三次方函数给出， 此时要借助圆管内湍流速度分布的1/7次方定律
x
0
y R
1
7
用边界层厚度δ代替式中的R得到
对如图所示的二维平面流动问题，取图示的控制体（单元体），断面 为ABCD，垂直于图面方向（z 轴方向）取单位长度。
1）从AB面单位时间流入的质量记为mx、动量记为
Mx
l
m x
dy
0
x
M x
l
x
x
dy
l
x
2
dy
0
0
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
2）从CD面单位时间流出的动量记为M x+Δx，流出的质量记为m x+Δx
x
0
y
1
7
用它来代替波尔豪森多项式的速度分布，根据圆管湍流阻力的关系式， 得出壁面切应力τ0为
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门
方程）
0.225 0
0
2
0
1/ 4
将它和
x
0
y
1
7
代入积分方程
d dx
0
0
x
x
dy
0
可得到
积分后得
14
7 72
d
Fp
dp dx
lx
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
建立动量守恒方程如下
l 0
x2dy
l 0
2 x
dy
d dx
l 0
x2dy
x
0
d dx
l 0
x
dy
x 0
x dp l dx
x0
化简后得
d
dx
l 0
0
x
x
dy
0
dp dx
l
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方 程）
m x x
l
dy
0
x
d dx
l
dy x
0
x
M x x
l
x
2
dy
0
d dx
l
x
2dy
x
0
3）从BC面单位时间内流入的质量记为ml，流入的动量在x方向的分量记 为Ml ；而AD面没有流体的流入、流出。
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
根据质量守恒定律，则有
dx
0.0225
0
14
5 4
0.289
0
xC
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方
程）
由边界条件
0，C 0 x0
从而得到湍流边界层厚度的分布
15
0.370 x
x
由此可见：湍流边界层厚度（δ∝x4/5），比层流边界层厚度（δ ∝ x1/2） 随进流距离增加而增厚要快得多。
d
dx
0
0
x
x
dy
0
dp
dx
上式就是边界层积分方程，也称为冯～卡门方程。
由前面的分析我们知道 为
是一小dp量，可略去不计，这时方程进一步简化 dx
d
dx
0
0
x
x
dy
0
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方 程）
上式即为简化后的冯～卡门方程，可以用于不同的流态，只要是不可压 缩流体就可。
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
5）沿x方向一般情况下还存在着压力梯度。所以，由于作用在AB面和CD面 上的压力差而施加给控制体的作用力为
Fp
l 0
pdy
l pdy d
0
dx
l
pdy
0
x
d dx
l 0
pdy
x
通过前面的推导我们已经知道
p 0 y
所以，上式变为
立
前面将连续性方程与纳维 尔～斯托克斯方程应用于边界 层，并通过合理的简化处理， 使方程的形式大为简化。但所 得到的布拉修斯解仍然是一个 无穷级数，使用时很不方便。 而且还只能用于平板表面层流 边界层。现在我们将直接从动 量守恒定律出发，建立边界层
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方 程）
即
1
2
C
f 02
LB
B 0
L
0 yx
dxdz
y0
可求出层流条件下掠过平板表面的摩擦阻力系数Cf
C f 1.328
1.328
0 L
ReL
请注意：讲义中此处应补充以下内容
x
0.332
0
y y0
0 x
霍华斯（Howarth)对微分方程通过数 值计算给出。
其中
ReL
0 L
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第一节 边界层理论的基本概念
应特别强调的是：无论过渡区还是湍流区，其边界层最靠近壁面的一层始 终都是作层流运动，此即所谓的层流底层。
注意：层流底层和边界层的区别与联系 层流底层是根据有无脉动现象来划分；边界层则是根据有无速度梯度
来划分。边界层内的流体可以是层流流动，也可以是作湍流流动。
固体壁面的距离称为边界层厚度。
二、边界层的形成与特点