2016届高考数学一轮复习 题组层级快练10(含解析)

题组层级快练(十)
1．(2015·四川泸州一诊)2lg2－lg 1
25的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案 B
解析 2lg2－lg 125＝lg(22
÷125)＝lg100＝2，故选B.
2．(log 29)·(log 34)＝( ) A.1
4 B.1
2 C ．2 D ．4
答案 D
解析 原式＝(log 232)·(log 322
)＝4(log 23)·(log 32)＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4.
3．(2015·石家庄一模)已知a ＝31
2，b ＝log 1312
，c ＝log 21
3，则( )
A ．a >b >c
B ．b >c >a
C ．c >b >a
D ．b >a >c
答案 A
解析 因为31
2>1,0<log 1312
<1，c ＝log 21
3<0，所以a >b >c ，故选A.
4．已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (x 2
)的值域为( ) A ．[4,5] B ．[4，11
2]
C ．[4，13
2]
D ．[4,7]
答案 B
解析 y ＝f (x )＋f (x 2
)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2
＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f (x )＋f (x 2
)有意义，必有1≤x 2
≤2，得1≤x ≤2，从而4≤y ≤112
.
5．(2014·四川文)已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d
＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c
答案 B
解析 由已知得5a ＝b,10c ＝b ，∴5a ＝10c,5d ＝10，∴5dc ＝10c ，则5dc ＝5a
，∴dc ＝a ，故选B. 6．若x ∈(e －1,
1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3
x ，则( )
A ．a <b <c
B ．c <a <b
C ．b <a <c
D ．b <c <a
答案 C 解析 由x ∈(e －1,
1)，得－1<ln x <0，a －b ＝－ln x >0，a >b ，a －c ＝ln x (1－ln 2
x )<0，a <c ，因此有b <a <c ，
选C.
7．若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( ) A ．(1
a
，b )
B ．(10a,1－b )
C ．(10
a
，b ＋1)
D ．(a 2,
2b )
答案 D
解析 当x ＝a 2
时，y ＝lg a 2
＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,
2b )在函数y ＝lg x 图像上． 8．设log b N ＜log a N ＜0，N ＞1，且a ＋b ＝1，则必有( ) A ．1＜a ＜b B ．a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜a D ．b ＜a ＜1
答案 B
解析 ∵0＞log a N ＞log b N ⇒log N b ＞log N a ，∴a ＜b ＜1.
9．若0<a <1，则在区间(0,1)上函数f (x )＝log a (x ＋1)是( ) A ．增函数且f (x )>0 B ．增函数且f (x )<0 C ．减函数且f (x )>0 D ．减函数且f (x )<0
答案 D
解析 ∵0<a <1时，y ＝log a u 为减函数，又u ＝x ＋1增函数，∴f (x )为减函数；又0<x <1时，x ＋1>1，又0<a <1，∴f (x )<0.选D.
10．函数f (x )＝2
|log2x |的图像大致是( )
答案 C
解析 ∵f (x )＝2|log2x |
＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ，x ≥1，1
x
，0<x <1，∴选C.
11．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a
答案 A
解析 ∵a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 2
3＜log 22＝1，∴a ＞b .又b c ＝1
2log 231
2
log 32＝(log 23)2
＞1，∴b ＞c .
故a ＞b ＞c .选A.
12．若0＜a ＜1，则不等式1
log a x
＞1的解是( ) A ．x ＞a B ．a ＜x ＜1 C ．x ＞1 D ．0＜x ＜a
答案 B
解析 易得0＜log a x ＜1，∴a ＜x ＜1.
13．若log a (x ＋1)>log a (x －1)，则x ∈________，a ∈________. 答案 (1，＋∞) (1，＋∞)
14．若log a (a 2
＋1)＜log a 2a ＜0，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (1
2
，1)
解析 ∵a 2
＋1＞1，log a (a 2
＋1)＜0，∴0＜a ＜1. 又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，∴a ＞1
2.
∴实数a 的取值范围是(1
2
，1)．
15．若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a ＝________. 答案 2
解析 f (x )＝log a (x ＋1)的定义域是[0,1]，∴0≤x ≤1，则1≤x ＋1≤2. 当a >1时，0＝log a 1≤log a (x ＋1)≤log a 2＝1，∴a ＝2；
当0<a <1时，log a 2≤log a (x ＋1)≤log a 1＝0，与值域是[0,1]矛盾． 综上，a ＝2.
16．(2015·广东韶关调研)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x >0，
3x
，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只
有一个实根，则实数a 的取值范围是________．
答案 a >1
解析 如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图像，其中a 表示直线在y 轴上的截距，由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．
17．设函数f (x )＝|lg x |，
(1)若0<a <b 且f (a )＝f (b )．证明：a ·b ＝1； (2)若0＜a ＜b 且f (a )＞f (b )．证明：ab ＜1. 答案 略
解析 (1)由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b .∴ab ＝1. (2)由题设f (a )＞f (b )，即|lg a |＞|lg b |.
上式等价于(lg a )2
＞(lg b )2
，即(lg a ＋lg b )(lg a －lg b )＞0，lg(ab )lg a
b ＞0，由已知b ＞a ＞0，得0＜a b
＜1.
∴lg a b
＜0，故lg(ab )＜0.∴ab ＜1.
18．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；
(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；
(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围． 答案 (1){x |－1<x <1} (2)奇函数 (3){x |0<x <1}
解析 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.
故所求定义域为{x |－1<x <1}． (2)f (x )为奇函数．证明如下： 由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，
且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．
(3)由f (x )>0，得log a (x ＋1)－log a (1－x )>0. ∴log a (x ＋1)>log a (1－x )．又a >1，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1>0，1－x >0，x ＋1>1－x ，
解得0<x <1.
所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}．
若a >0且a ≠1，x >y >0，n ∈N *
，则下列各式：
①(log a x )n ＝n log a x ；②(log a x )n ＝log a x n
；③log a x ＝－log a 1x ；④n log a x ＝1n log a x ；⑤log a x n
＝log a n x ；
⑥log a
x －y x ＋y ＝－log a x ＋y
x －y
.
其中正确的有________．答案③⑤⑥。