2021-2022年高二上学期期末数学试卷(文科) 含解析(I)

2021-2022年高二上学期期末数学试卷（文科）含解析(I)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N=（）A．{﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，0} C．{0，1} D．{0，1，2}
2．若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）
A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．∃x∈R，2x2+1＞0 C．∃x∈R，2x2+1＜0 D．∃x ∈R，2x2+1≤0
3．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）
①y=cosx（x∈R）是三角函数；
②三角函数是周期函数；
③y=cosx（x∈R）是周期函数．
A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①
}的公比q=2，则的值为（）
4．已知等比数列{a
n
A．B．C．D．1
5．在△ABC中，D为AB的中点，设，则=（）
A．B．C．D．
6．已知函数f（x）=x2﹣6x+4lnx，则函数f（x）的增区间为（）
A．（﹣∞，1），（2，+∞）B．（﹣∞，0），（1，2）C．（0，1），（2，+∞）D．（1，2）
7．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知x，y的值如表所示：
x234
y546
如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，则b=（）
A．B．C．D．
9．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则边BC的长为（）A．B．3 C．D．7
10．动点P（x，y）满足，点Q为（1，﹣1），O为原点，λ||=，则λ的最大值是（）
A．﹣1 B．1 C．2 D．
11．过抛物线y=x2的焦点F作直线交抛物线于P，Q，若线段PF与QF的长度分别为m，n，则2m+n的最小值为（）
A．B．C．D．
12．已知函数y=f（x）的定义域内任意的自变量x都有f（﹣x）=f（+x），且对任意的x∈（﹣，），都有f′（x）+f（x）tanx＞0（其中f′（x）是函数f （x）的导函数），设a=f（），b=f（），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则
p= ．
14．曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为．
15．某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如表，则大约有%的把握认为主修统计专业与性别有关系．参考公式：．
统计专
非统计专业
业
男1510
女520
）0.0250.0100.0050.001
P（Χ2＞x
6.635
7.87910.828
x
0 5.024
16．已知函数，若a，b是从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则使函数f（x）有极值点的概率为．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.）
17．已知等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且a
2
=5，S
15
=150．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）记，{b
n }的前n项和为T
n
，求T
n
．
18．已知圆Q：x2+y2+Dx+Ey+F=0经过点（0，5），（1，﹣2），（1，6），且直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣6=0与圆Q相交于C，D
（1）求圆Q的方程．
（2）若△QCD的周长为18，求m的值．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a•cosC+c•cosA=2b•cosA．（1）求角A的大小；
（2）求函数y=sinB+sin（C﹣）的值域．
20．某校学生依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核．每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练及考核，若每个学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，若每一次考试是否合格互不影响．
（1）求学生甲体能考核与外语考核都合格的概率．
（2）设学生甲不放弃每一次考核的机会，求学生甲恰好补考一次的概率．21．已知椭圆过点，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
22．已知函数，g（x）=xf（x）+（1﹣tx）e﹣x，t∈R
（1）求函数f（x）的极大值；
（2）若存在a，b，c∈[0，1]满足g（a）+g（b）＜g（c），求实数t的取值范围．
xx重庆一中高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N=（）A．{﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，0} C．{0，1} D．{0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．
【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）＜0，
解得：﹣1＜x＜4，即M={x|﹣1＜x＜4}，
∵N={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴M∩N={0，1，2}，
故选：D．
2．若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）
A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．∃x∈R，2x2+1＞0 C．∃x∈R，2x2+1＜0 D．∃x ∈R，2x2+1≤0
【考点】命题的否定；全称命题．
【分析】根据含有量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定，即可写出否命题
【解答】解：由题意∀x∈R，2x2+1＞0，
的否定是∃x∈R，2x2+1≤0
故选D
3．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）
①y=cos x（x∈R）是三角函数；
②三角函数是周期函数；
③y=cosx（x∈R）是周期函数．
A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①
【分析】根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析即可得到正确的次序．
【解答】解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：
①y=cosx（（x∈R ）是三角函数是“小前提”；
②三角函数是周期函数是“大前提”；
③y=cosx（（x∈R ）是周期函数是“结论”；
故“三段论”模式排列顺序为②①③
故选B
4．已知等比数列{a
}的公比q=2，则的值为（）
n
A．B．C．D．1
【考点】等比数列的性质．
}的公比q=2，可得==，即可得出结论．
【分析】利用等比数列{a
n
}的公比q=2，
【解答】解：∵等比数列{a
n
∴==，
故选：A．
5．在△ABC中，D为AB的中点，设，则=（）
A．B．C．D．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【分析】D为AB的中点，这样根据向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算便可得出．
【解答】解：如图，D为AB中点；
∴；
∴．
故选：A．
6．已知函数f（x）=x2﹣6x+4lnx，则函数f（x）的增区间为（）A．（﹣∞，1），（2，+∞）B．（﹣∞，0），（1，2）C．（0，1），（2，+∞）D．（1，2）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先确定函数的定义域然后求导数f′（x），在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0，解得的区间就是单调增区间．
【解答】解：∵f（x）=x2﹣6x+4lnx，x＞0，
f′（x）=2x﹣6+=，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或0＜x＜1，
故f（x）在（0，1），（2，+∞）递增，
故选：C．
7．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．
【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，
∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．
故选：A．
8．已知x，y的值如表所示：
x234
y546
如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，则b=（）
A．B．C．D．
【考点】线性回归方程．
【分析】根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到b的值．
【解答】解：根据所给的三对数据，得到=3，
=5，
∴这组数据的样本中心点是（3，5）
∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，
∴5=3b+，
∴b=，
故选B．
9．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则边BC的长为（）A．B．3 C．D．7
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】根据三角形的面积公式求出AC的值，再由余弦定理求得AC的值．【解答】解：根据三角形的面积公式得：，
把A=60°，AB=2代入得，AC=1，
由余弦定理得，BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA
=4+1﹣=3，
则BC=，
故选：A．
10．动点P（x，y）满足，点Q为（1，﹣1），O为原点，λ||=，则λ的最大值是（）
A．﹣1 B．1 C．2 D．
【考点】简单线性规划．
【分析】根据向量的数量积公式将条件进行化简，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：：∵λ||==，
∴λ=||cos＜＞，
作出不等式组对应的平面区域如图，
则OQ，OA的夹角最小，
由，解得，即A（3，1），
则=（3，1），
又，
则cos＜＞===，
∴λ的最大值是||cos＜＞=．
故选：D．
11．过抛物线y=x2的焦点F作直线交抛物线于P，Q，若线段PF与QF的长度分别为m，n，则2m+n的最小值为（）
A．B．C．D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设PQ的斜率k=0，因抛物线焦点坐标为（0，），把直线方程y=代入抛物线方程得m，n的值，可得+=4，利用“1”的代换，即可得到答案．
【解答】解：抛物线y=4x2的焦点F为（0，），
设PQ的斜率k=0，
∴直线PQ的方程为y=，
代入抛物线y=x2得：x=±，
即m=n=，
∴+=4，
∴2m+n=（2m+n）（+）=（3++）≥
故选：C．
12．已知函数y=f（x）的定义域内任意的自变量x都有f（﹣x）=f（+x），且对任意的x∈（﹣，），都有f′（x）+f（x）tanx＞0（其中f′（x）是函数f （x）的导函数），设a=f（），b=f（），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出函数的对称轴，构造函数g（x），通过求导得到g（x）的单调性，从而判断出a，b，c的大小即可．
【解答】解：∵f（﹣x）=f（+x），
∴x=是函数的对称轴，
令g（x）=，则g′（x）=，
∵对任意的x∈（﹣，），都有f′（x）+f（x）tanx＞0，
∴对任意的x∈（﹣，），都有cosxf′（x）+sinf（x）＞0，
∴对任意的x∈（﹣，），都有g′（x）＞0，
∴g（x）在（﹣，）单调递增，
∴g（x）在（，）单调递减，
∴g（）＞g（0）=g（π）＞g（），
∴f（）＞f（0）=f（π）＞f（），
∴b＞c＞a，
故选：A．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p= 2 ．【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先求出x2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值．
【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2=2px的准线为x=﹣，
∴=，∴p=2，
故答案为：2．
14．曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y=3x﹣1 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】根据曲线方程y=﹣x3+3x2，对f（x）进行求导，求出f′（x）在x=1处的值即为切线的斜率，曲线又过点（1，2）利用点斜式求出切线方程；
【解答】解：∵曲线y=﹣x3+3x2，
∴y′=﹣3x2+6x，
=﹣3+6=3，
∴切线方程的斜率为：k=y′|
x=1
又因为曲线y=﹣x3+3x2过点（1，2）
∴切线方程为：y﹣2=3（x﹣1），
即y=3x﹣1，
故答案为：y=3x﹣1．
15．某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如表，则大约有99.5 %的把握认为主修统计专业与性别有关系．参考公式：．非统计专业统计专
业
男1510
女520
）0.0250.0100.0050.001
P（Χ2＞x
x
6.635
7.87910.828
0 5.024
【考点】独立性检验的应用．
【分析】根据表格数据，利用公式，结合临界值，即可求得结论．
【解答】解：根据具体数据表得，K2的观测值k=≈8.3，因为8.3＞7.879，
所以有1﹣0.5%=99.5%的把握认为主修统计专业与性别有关．
故答案为：99.5%．
16．已知函数，若a，b是从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则使函数f（x）有极值点的概率为．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】求出导数，由导数数值为0得到使函数f（x）有极值点的充要条件是a2≥5b，由此利用列举法能求出使函数f（x）有极值点的概率．
【解答】解：∵函数，
∴f′（x）=x2+2ax+5b，
由f′（x）=x2+2ax+5b=0有解，得△=4a2﹣20b≥0，
∴使函数f（x）有极值点的充要条件是a2≥5b，
∵a，b是从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，
∴基本事件总数为4×3=12，
满足a2≥5b的有：（4，1），（4，2），（4，3），（3，1），共4种，∴使函数f（x）有极值点的概率为p=．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.）
17．已知等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且a
2
=5，S
15
=150．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）记，{b
n }的前n项和为T
n
，求T
n
．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）设等差数列{a
n }的首项为a
1
，公差为d，利用等差数列的通项公式
即可得出；
（2）易知：，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{a
n }的首项为a
1
，公差为d，
则a
2=a
1
+2d=5，S
15
=15a
1
+15×7d=150，
解得a
1=3，d=1，∴a
n
=n+2．
（2）易知：，
∴T
n =b
1
+b
2
+…+b
n
=21+22+…+2n==2n+1﹣2．
18．已知圆Q：x2+y2+Dx+Ey+F=0经过点（0，5），（1，﹣2），（1，6），且直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣6=0与圆Q相交于C，D
（1）求圆Q的方程．
（2）若△QCD的周长为18，求m的值．
【考点】圆的一般方程．
【分析】（1）把（0，5），（1，﹣2），（1，6）代入圆Q：x2+y2+Dx+Ey+F=0，由此能求出圆方程．
（2）圆x2+y2﹣8x﹣4y﹣5=0的圆心Q（4，2），半径r=5，从而弦CD的长度8，进而圆心（4，2）到直线l的距离为4，由此利用点到直线的距离公式能求出m 的值．
【解答】解：（1）解：∵圆Q：x2+y2+Dx+Ey+F=0经过点（0，5），（1，﹣2），（1，6），
∴由题意得：，
∴则圆方程为x2+y2﹣8x﹣4y﹣5=0．
（2）∵圆x2+y2﹣8x﹣4y﹣5=0的圆心Q（4，2），半径r==5，
直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣6=0与圆Q相交于C，D，△QCD的周长为18，弦CD的长度为：18﹣2r=18﹣10=8，
∴圆心（4，2）到直线l的距离为=4，
∴，
解得．…
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a•cosC+c•cosA=2b•cosA．（1）求角A的大小；
（2）求函数y=sinB+sin（C﹣）的值域．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）根据正弦定理把题设等式中的边换成相应角的正弦，化简整理可求得cosA，进而求得A．
（2）利用辅助角公式化简函数，即可求函数y=sinB+sin（C﹣）的值域．
【解答】解：（1）根据正弦定理∵2b•cosA=c•cosA+a•cosC．
∴2sinB•cosA=sinC•cosA+sinA•cosC，
∵sinB≠0
∴cosA=，
又∵0°＜A＜180°，∴A=；
（2）∵，∴，
∴，
∴，
∵，
∴y∈（1，2]．
20．某校学生依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核．每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练及考核，若每个学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，若每一次考试是否合格互不影响．
（1）求学生甲体能考核与外语考核都合格的概率．
（2）设学生甲不放弃每一次考核的机会，求学生甲恰好补考一次的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；分布列对于刻画随机现象的重要性．【分析】（1）分别求出两个项目都不补考能通过概率、两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率和两个项目都要补考才能通过的概率，由此能求出学生甲体能考核与外语考核都合格的概率．
（2）恰好补考一次记为ξ=1，由相互独立事件乘法概率计算公式能求出学生甲恰好补考一次的概率．
【解答】解：（1）①两个项目都不补考能通过概率：
②两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率：
③两个项目都要补考才能通过的概率：，
∴学生甲体能考核与外语考核都合格的概率：
（2）恰好补考一次记为ξ=1，
则学生甲恰好补考一次的概率：
．
21．已知椭圆过点，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意得：， =1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0＜r＜1），设直线方程为y=kx+m，二者联立，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用韦达定理、向量垂直、直线与圆相切，结合已知能求出存在圆心在原点的圆满足题意．
【解答】解：（1）∵椭圆过点，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形，
∴由题意得：， =1，
解得a=，b=1，
∴椭圆C的方程为．…
（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0＜r＜1）
当直线P，Q的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，
由，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
令P（x
1，y
1
），Q（x
2
，y
2
），则有：，…
∵⊥，∴．∴，∴3m2=2k2+2．…
∵直线PQ与圆相切，∴，∴存在圆
当直线PQ的斜率不存在时，也适合．
综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意．…
22．已知函数，g（x）=xf（x）+（1﹣tx）e﹣x，t∈R
（1）求函数f（x）的极大值；
（2）若存在a，b，c∈[0，1]满足g（a）+g（b）＜g（c），求实数t的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值；
（2）求出g（x）的导数，通过讨论t的范围，确定函数的单调区间，从而求出t的具体范围．
【解答】解：（1），
当x≥0时，f′（x）≤0，
所以f（x）在区间[0，+∞）上为减函数，
当x＜0时，f′（x）＞0，
所以f（x）在区间（﹣∞，0]上为增函数，
=f（0）=1…
所以f（x）
极大值
（2）因为，
所以…
设g（x）在[0，1]上的最大值为M，最小值为N，则2N＜M，
①当t≥1时，g′（x）≤0，g（x）在[0，1]上单调递减，
由2N＜M，所以2g（1）＜g（0），即，得…
②当t≤0时，g′（x）≥0，g（x）在[0，1]上单调递增，
所以2g（0）＜g（1）即，得t＜3﹣2e…
③当0＜t＜1时，在x∈[0，t），g'（x）＜0，g（x）在[0，t]上单调递减，在x∈（t，1]，g'（x）＞0，g（x）在[t，1]上单调递增，
所以2g（t）＜g（0），且2g（t）＜g（1）}，
即，且，
由（Ⅰ）知在t∈（0，1）上单调递减，
故，而，所以无解，
综上所述，．…
xx8月3日
G[/
p31030 7936 礶}C36304 8DD0 跐5;32454 7EC6 细20761 5119 儙k38259 9573 镳。