Q-深圳实验学校、中山纪念中学、珠海一中等五校联考数学期末试卷(文)

2007届高三五校联考期末考试（文科）数学试题
命题学校：中山纪念中学 2007.2
参考公式：(1) 三棱锥的体积公式sh V 3
1
=
三角锥其中s 表示三棱锥的底面面积，h 表示三棱锥的高(2)前n 个自然数平方和:2222
(1)(21)1236
n n n n ++++++=
一．选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有
且只有一项是符合题目要求的． 1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2()U U A B A C B ===,则集合等于 ( ) A .{1，2，3，4，5} B.{1， 3} C.{1，2，3} D.{4，5}
2.复数
(1)(2)
i i i
++= ( )
A.13i -
B. 3i -+
C.32i -
D.3i -
3.已知5
13
cos α=
,且α是第四象限的角,则()2tan πα-= ( ) A .125- B.125 C. 125± D.5
12
±
4.同时满足两个条件：①定义域内是减函数 ②定义域内是奇函数的函数是 （ ） A .()f x x x =- B.()3f x x = C.()cos f x x = D.()ln x
f x x
=
5.如图,线段AB 与CD 互相平分,则BD 可以表示为 ( )
A .A
B CD - B. 1122AB CD -
+ C. 1
()2
AB CD - D. ()AB CD -- 6.若直线022=+-by ax ),(R b a ∈始终平分圆014222=+-++y x y x 的周长，则ab
的最大值是 ( ) A.1 B.
14 C.1
2
D.不存在最大值 7.在4和67之间插入一个含有n 项的等差数列,仍构成一个等差数列，且新等差数列的所有
项之和等于781，则n 的值为 （ ） A.22 B. 23 C. 20 D.21 8.设函数)(x f 是定义在R 上的以5为周期的奇函数，若3
(2)1,(3)3
a f f a +>=
-，则a 的取值范围是 （ ） A.(0,3) B.(,0)-∞ C.(0,)+∞ D.),3()0,(+∞-∞ 9.下图是一个空间几何体的三视图,根据图中尺寸(单位:cm ),可知几何体的表面积是( )
A.2
18
cm +
B.2 2
cm C.2
18
cm
D.2
6cm +
10. 无论m 取任何实数值，方程2
3322x x m x ⎛⎫
-+=- ⎪⎝⎭
的实根个数都是 （ ）
A.1个
B. 3个
C. 2个
D.不确定
2
22
2
俯视图
侧视图
正视图
3
3
二． 填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．
11.已知椭圆C 以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,且椭圆C 以抛物线216x y =的焦点为焦
点,以双曲线
22
1169
y x -=的焦点为顶点,则椭圆C 的标准方程为______________________. 12.如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6
π
θ=
,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,求飞镖落在小
正方形内概率_______________________.
13.已知在平面直角坐标系中,(0,0),(1,1),(0,1),(2,3)O M N Q ,动点(,)P x y 满足不等式
01,01,OP OM OP ON ≤⋅≤≤⋅≤则Z OQ OP =⋅的最大值为_______________________.
14.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰如图2, 第四件首饰如图3, 第五件首饰如图4, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六变形,依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝;则前n 件首饰所用珠宝总数为_____________________________颗.
2007届高三五校联考期末考试（文科）数学答题卷
二． 填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.(第14小题第一问3分,第二问2分)
11._____________________. 12._____________________.
13._____________________. 14.______________; _______________. 三．解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.(本题12分)
已知函数2()2cos cos()sin cos 6
f x x x x x x π
=-+
(Ⅰ)求()f x 的最小正周期;
(Ⅱ)当[0,]x π∈时,若()1f x =,求x 的值.
图1 图2
图3
16.(本题12分)如图,设1F 、2F 分别为椭圆
C ：22
221x y a b
+= (0a b >>)的左、右焦点. (Ⅰ)设椭圆C 上的点3
(1,)2
A 到F 1、F 2两点距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和离心率；
(Ⅱ)设点K 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点，求线段1F K 的中点的轨迹方程.
17.(本题14分)如图,已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直
,AB =, 1AF =,M 是线段EF 的中点. (Ⅰ)求三棱锥A BDF -的体积;
(Ⅱ)求证:AM //平面BDE ;
(Ⅲ)求异面直线AM 与DF 所成的角.
18.(本题14分)函数2
1()ln 2
f x x a x =-,已知函数
()y f x =的图象在点(2,(2))P f 处的切线方程为:l y x b =+. (Ⅰ) 求出函数()y f x =的表达式和切线l 方程;
(Ⅱ) 当1
[,]x e e
∈时(其中 2.71828e =),不等式()f x k <恒成立,求实数k 的取值范围.
19．(本题14分) 某市原水价为1.5元/吨．从2006年5月1日起执行新的水价标准,实行分段计量水价：当家庭人口数不超过4人时，月用水量．．．．如表1所示；当家庭人口数超过4人时，人均．．月用水量．．．．
如表2所示．水费由第一级别开始逐级计算，月用水量超出第一级别的部分按第二级别水价收取水费，月用水量超出第二级别的部分按第三级别水价收取水费．新的水价标准如表3所示.
准之前多多少元；
(Ⅱ)如果按新的水价标准收费，试写出某家庭某月的用水水费总额y (元)关于月用水量x (吨)的函数．
M
F E
D
C B
A
20.(本题14分)已知向量m n //,其中31
m (
,1)1
x c =-+-,n (1,)y =-(,,)x y c R ∈,把其中
,x y 所满足的关系式记为()y f x =,若函数()f x 为奇函数. (Ⅰ)求函数()f x 的表达式.
(Ⅱ)已知数列{}n a 的各项都是正数, n S 为数列{}n a 的前n 项和,且对于任意*
n N ∈,都有
“数列{}()n f a 的前n 和”等于2n S ,求数列{}n a 的首项1a 和通项式n a . (Ⅲ)若数列{}n b 满足1
*42
(,)n a n n b a a R n N +=-⋅∈∈,求数列{}n b 的最小值.
2007届高三五校联考期末考试（文科）数学试题
参考答案及评分标准 第Ⅰ卷选择题（满分50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．（B ） 2．（D ） 3．（B ） 4．（A ） 5．（B ） 6．（B ） 7．（C ） 8．（A ） 9．(A) 10．(C)
第Ⅱ卷非选择题（满分100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．221925x y += 12．1 13．3 14．66； 32436
n n n
+-
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(Ⅰ)21
()2cos sin ]sin cos 2
f x x x x x x x =++. ………….1分
2
2
2sin cos x x x x +
2sin 2x x
=+ ………….3分
2sin(2)3
x π
=+
………….5分
()f x ∴的最小正周期为T π=………….6分
(Ⅱ)
1
()2sin(2)1sin(2)332f x x x ππ=+=⇒+= ……….7分
2236
x k π
π
π∴+
=
+……….8分
或522,36
x k k Z ππ
π+=
+∈……….9分 12
x k π
π∴=-
+ 或,4
x k k Z π
π=
+∈……….10分
[0,]x π∈,1112
x π
=
……….11分
或4
x π
=
……….12分
16．解：(Ⅰ)24a =，. ………….1分
221914a b
+=. ………….2分 2
4a =，2
3b =. ………….4分
椭圆的方程为22
143
x y +=，. ………….5分
因为2
2
2
1c a b =-=. ………….6分 所以离心率1
2
e =
. ………….7分 (Ⅱ)设1KF 的中点为(,)M x y ，则点(21,2)K x y +. ………….10分
又点K 在椭圆上，则1KF 中点的轨迹方程为
22
(21)(2)143
x y ++=. ………….12分 17.(Ⅰ) 三棱锥A BDF -的体积为11
33
A BDF F ABD ABD V V S AF --==⨯⨯=………………4分 (Ⅱ) 证明：连接BD , BD
AC O =,连接EO ….……..5分
,E M 为中点,且ACEF 为巨型,所以 //,,E M O A
E M O A =….……..6分
∴四边形EOAM 为平行四边形,
//AM EO ∴, ………….7分
,,EO BDE AM BDE ⊂⊄平面平面
//AM BDE ∴平面………….9分
(Ⅲ)过点M 作//MG DF ,则AMG ∠为异面直线DF 与AM 所成的角, ……..10分
M 为中点,所以点G 为线段DE 的中点
,122
MG DF ∴=
=
,………..11分 连接AG ,过G 作//GH EC H ⇒为DC 的中点
,
11,22GH CE HA AG ∴===⇒=,…………13分
在AMG ∆中
,2AG =
, 2
MG =
,AM =222
AG MG AM =+,∴异面直线DF 与AM 所成的角为
2
π
…………14分 M
F
E
D
C
B
A
O
G H
18．解(Ⅰ)
'()a
f x x x
=-
………….1分 '(2)2122
a
f a ∴=-=⇒= 2
1()2ln 2
f x x x ∴=
-………….3分 (2,(2))P f 点满足21
()2ln 2
f x x x =-,
(2)22ln 2f ∴=-………….4分
因为(2,(2))P f 点在直线y x b =+上,2ln 2b ∴=- ………….6分 ∴直线:2ln 2l y x =- ………….7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知2
1()2ln 2f x x x =-
21()2ln 2f x x x ∴=-
,'
2(()x x f x x x x
+=-=
当'()0f x x =⇒=8分
随x 的变化,'
的变化如下表: 12分
由表可知当1[,]x e e ∈时,函数()y f x =的最大值为21
22e +
,………………13分
所以21
22k e
>+………………14分
19.解：(Ⅰ)如果按原来的水价,水费为35 1.552.5⨯=元,………..2分
如果按新标准则,3525>,∴水费按三个级别来收取,
25 1.9(3325) 2.5(3533)373.5⨯+-⨯+-⨯=元,……..5分
相差73.552.521-=元
该家庭在5月份的水费比实施新的水价标准之前多21元……….6分 (Ⅱ)假设家庭人口数为*
()n n N ∈, ①若4n ≤时,
当月用水量025x ≤≤时,水费 1.9y x =;
当月用水量2533x <≤时,水费 1.925 2.5(25)y x =⨯+⨯-; 当月用水量33x <时, 1.925 2.583(33)y x =⨯+⨯+⨯-
综上所述: 若4n ≤时,某家庭某月的用水水费总额()y 元关于月用水量()x 立方米的函数为
1.9 025
2.515 2533331.5 33x x y x x x x ≤≤⎧⎪
=-<≤⎨⎪->⎩
………….10分
②若5n ≥时,
1.9 06
2.5
3.6 6837.6n 8x x n y x n n x n x x n ≤≤⎧⎪
=-<≤⎨⎪->⎩
………..14分
20．解：(Ⅰ)
m//n 33
3
1101(10)1
y y x c x c x c ∴
⋅-=⇒=+-+-≠+-,因为函数()f x 为奇函数.所以1c =,3()(0)f x x x ⇒=≠…………3分 (Ⅱ)由题意可知,2333
32
12123()()()n n n n
f a f a f a S a a a a S ++
+=⇒+++
+=…..① 由①可得3
21111,01a a a a =>⇒=………….4分
333
32
12311n n a a a a S --∴+++
+=………②
由①-②可得:
322
11()n n n n n n a S S a S S --=-=+
{}n a 为正数数列212n n n n n a S S S a -∴=+=-…..③…………..6分
21112n n n a S a ---∴=-………..④ 由③-④可得:2211n n n n a a a a ---=+
10n n a a -+>,11n n a a -∴-=,{}n a ∴为公差为1的等差数列,…………..8分
*()n a n n N ∴=∈…………9分
(Ⅲ) *()n a n n N ∴=∈,122*42(2)()n n n n b a a a n N +∴=-⋅=--∈ 令2(2)n
t t =≥,22()(2)n b t a a t ∴=--≥…………10分
(1)当2a <时,数列{}n b 的最小值为当1n =时,144n b b a ==-……….11分 (2)当2a ≥时
①若*
2()k
a k N =∈时, 数列{}n
b 的最小值为当n k =时,2k b a =-
②若1
*22()2
k k a k N ++=
∈时, 数列{}n b 的最小值为, 当n k =时或1n k =+ 221(2)k k k b b a a +==--
③若1
*222()2
k k k
a k N ++<<∈时, 数列{}n
b 的最小值为,当n k =时,22
(2)k k b a a =--④若
1
1*222()2
k k k a k N +++<<∈时,数列{}n b 的最小值为,当1n k =+时 1221(2)k k b a a ++=--…………14分。