人教A版数学必修二平面与平面垂直的判定与性质.pptx
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人教版高中数学必修2《平面与平面垂直的性质》PPT课件
3，∴h＝
3 2.
在△BCD 中，BF＝BD·cos 60°＝2×12＝1，DF＝BD·sin 60°＝ 3，∴DC＝2 3，
故 S△BCD＝12BF·DC＝12×1×2 3＝ 3.
∴VD-BCG＝VG-BCD＝13S△BCD·h＝13× 3× 23＝12.
[方法技巧] (1)在有关垂直问题的证明过程中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的 相互转化．因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键． (2)空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则．解题时， 要通过几何图形自身的特点，如等腰(等边)三角形的“三线合一”、中位线定理、 菱形的对角线互相垂直等，得出一些题目所需要的条件．对于一些较复杂的问 题，注意应用转化思想解决问题．
【对点练清】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，BC∥平 面 PAD，∠ABC＝90°，PA＝PB＝ 22AB.求证： (1)AD∥平面 PBC； (2)平面 PBC⊥平面 PAD. 证明：(1)∵BC∥平面 PAD，BC⊂平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 PAD＝AD， ∴BC∥AD. ∵AD⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC，∴AD∥平面 PBC.
若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α 成立，则②α⊥β 一定成立； 若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α 成立，则①m⊥n 一定成立． ∴①③④⇒②(或②③④⇒①)． 答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)
• 题型二 垂直关系的综合应用
• [探究发现]
• 试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关 系．
提示：在线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化中．每一种垂直的
判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
人教版高中数学必修2(A版) 2.3.2平面与平面垂直的判定 PPT课件
类似地，下面的这个二面角应该如何表示？
Q l
B P
二面角的表示
(1)二面角－AB－ (2)二面角P AB Q (3)二面角 l (4)二面角P l Q
A
三.新知的探索 思考4：我们常说“把门开得大一些”，是指哪个角
大一些？
三.新知的探索
在上述变化过程中，图形在变化，形成的二面角也在变化， 我们应该怎样刻画二面角的大小？
2.3.2平面与平面垂直的判定
一.复习与回顾
1.1如何作出两条异面直线的夹角？ 1.2如何作出斜线与平面的夹角？ “空间问题平面化” 1.3在研究上述两个问题时，我们采用了相同的方法，即将 空间角的问题转化为平面角进行处理.
P
a
a
O
a
b/
A
B
b
二.新知的引入
三.新知的探索
我们知道直线上的一点将直线分割成两部分， 每一部分分别叫射线. 那么平面上的一条直线将整个平面一分为二， 每一部分应该叫做什么呢？
（2）角的两边分别在两个面内
（3）角的两边都要垂直于二面角的棱
三.新知的探索 观察：
1.教室相邻的两个墙面分别与地面所成的二面角是多少度？ 相邻的两个墙面所成的二面角又是多少度？
2.教室相邻的两个墙面分别与地面有什么样的位置关系？ 相邻的两个墙面又有什么位置关系呢？
三.新知的探索 3.4定义：
线线垂直
线面垂直
面面垂直
3.转化与化归思想：空间问题平面化处理 习题2.3 必做题A组 第1题、第2题 选做题B组 第1题
P
PA BC PA AC A
BC AC
《平面与平面垂直的性质定理》人教版高中数学必修二PPT课件(第2.3.4课时)
人教版高中数学必修二
第2章 关系 点、直线、平面之间的位置关系
2.3.4 平面与平面垂直的性质
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲解人： 时间：2020.6.1
复习回顾
面面垂直的判定
（１）利用定义［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］
（２）利用判定定理［线面垂直
面面垂直］
l l
感谢你的聆听
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲解人： 时间：2020.6.1
人教版高中数学必修二
第2章 关系 点、直线、平面之间的位置关系
2.2.2平面与平面平行的判定
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲解人： 时间：2020.6.1
复习回顾
1.判定直线与平面平行的方法有哪些？ ①根据定义，即直线与平面没有公共点。 ②根据判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
a
b
即：若线线平行，则线面平行。
a
b
a
//
a // b
复习回顾
2.空间两平面有哪些位置关系？
相交
平行
有公共点
无公共点
新知探究
如何检验平面与平面平行呢？
新知探究
平面α内有两条相交直线 a , b 平行平面β, 则α∥ β吗?
你能得到什么结论
an
γ
mb A
新知探究
证法1：设 n, m,
在α内作直线a ⊥n
在β内作直线b⊥m
a
同理b
b / /a
a
b
b / /
b
l
b / /l
第2章 关系 点、直线、平面之间的位置关系
2.3.4 平面与平面垂直的性质
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讲解人： 时间：2020.6.1
复习回顾
面面垂直的判定
（１）利用定义［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］
（２）利用判定定理［线面垂直
面面垂直］
l l
感谢你的聆听
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讲解人： 时间：2020.6.1
人教版高中数学必修二
第2章 关系 点、直线、平面之间的位置关系
2.2.2平面与平面平行的判定
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讲解人： 时间：2020.6.1
复习回顾
1.判定直线与平面平行的方法有哪些？ ①根据定义，即直线与平面没有公共点。 ②根据判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
a
b
即：若线线平行，则线面平行。
a
b
a
//
a // b
复习回顾
2.空间两平面有哪些位置关系？
相交
平行
有公共点
无公共点
新知探究
如何检验平面与平面平行呢？
新知探究
平面α内有两条相交直线 a , b 平行平面β, 则α∥ β吗?
你能得到什么结论
an
γ
mb A
新知探究
证法1：设 n, m,
在α内作直线a ⊥n
在β内作直线b⊥m
a
同理b
b / /a
a
b
b / /
b
l
b / /l
人教A版必修22.3.2平面与平面垂直的判定课件
题型一
题型二
题型一
二面角的定义
【例1】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,找出二面角D1-BC-D的
平面角.
解:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥CD,BC⊥CC1,CD∩CC1=C,所
以BC⊥平面D1C.
又D1C⊂平面D1C,所以BC⊥D1C,
所以∠D1CD是二面角D1-BC-D的平面角.
1
2
【做一做1-1】 在二面角α-l-β的棱l上任选一点O,若∠AOB是二面
角α-l-β的平面角,则必须具有的条件是 (
)
A.AO⊥BO,AO⊂α,BO⊂β
B.AO⊥l,BO⊥l
C.AB⊥l,AO⊂α,BO⊂β
D.AO⊥l,BO⊥l,且AO⊂α,BO⊂β
解析:根据二面角的平面角的定义可知选D项.
答案:D
语言
符号
语言
作用
l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
判断两个平面垂直
1
2
名师点拨 平面与平面垂直的判定定理告知我们,可以通过直线
与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,
则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面
垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.
1
题型一
题型二
(方法二)如图,取AB的中点O,连接OD,OC.
则有OD⊥AB,OC⊥AB,
即∠COD是二面角C-AB-D的平面角.
2
AC=a,则 OC=OD= 2 a.
设
因为CD=AD=AC,
所以CD=a,所以CD2=OC2+OD2.
所以△COD是直角三角形,即∠COD=90°.
数学必修Ⅱ人教新课标A版2-3-4平面与平面垂直的性质定理课件(42张)
求点到面的距离 [例 2] 已知△ABC，AC＝BC＝1，AB＝ 2，又已知 S 是△ ABC 所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝ 5，点 P 是 SC 的中点， 求点 P 到平面 ABC 的距离． [解] 法一：如图所示，连接 PA，PB.易知 △SAC，△ACB 是直角三角形， 所以 SA⊥AC，BC⊥AC. 取 AB，AC 的中点 E，F，连接 PF，EF， PE，则 EF∥BC，PF∥SA. 所以 EF⊥AC，PF⊥AC.
[解] 证明：(1)过点 A 作 AM⊥DE 于 点 M，则 AM⊥平面 BCDE，
∴AM⊥BC.又 AD＝AE， ∴M 是 DE 的中点．取 BC 的中点 N， 连接 MN，AN，则 MN⊥BC. 又 AM⊥BC，AM∩MN＝M，∴BC⊥平面 AMN，∴AN⊥ BC. 又∵N 是 BC 的中点，∴AB＝AC.
[类题通法] 解决折叠问题的策略 (1)抓住折叠前后的变量与不变量．一般情况下，在折线同 侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会 发生变化，这是解决这类问题的关键． (2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的 变化情况．注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的 长度，角度的变化情况．
[活学活用] (广东高考)如图①，四边形 ABCD 为矩形，PD⊥平面 ABCD，AB ＝1，BC＝PC＝2，作如图②折叠：折痕 EF∥DC，其中点 E，F 分别在线段 PD，PC 上，沿 EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上的点记 为 M，并且 MF⊥CF.
在 Rt△AEP 中，AP＝12SC＝ 25，AE＝12AB＝ 22，
所以 PE＝ AP2－AE2＝ 54－12＝ 23，
即点
P
到平面
ABC
的距离为
数学必修Ⅱ人教新课标A版2-3-4平面与平面垂直的性质定理课件(36张)
答案:相交、平行或异面
4.如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC， 求证：BC⊥平面PAB.
P
A
C
B
证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E，
因为平面PAB⊥平面PBC，
P
平面PAB∩平面PBC=PB，
所以AE⊥平面PBC.
因为BC 平面PBC,所以AE⊥BC. A
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC,
α
所以AB⊥ .
Eβ D
B
A
C
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直．
符号表示:
α⊥β
α∩β= CD AB ⊂ α
⇒ AB ⊥β
AB ⊥ CD
AB∩CD = B
A
C
BD
【提升总结】
关键点：①线在平面内.
②线垂直于交线. C
A BD
作用： ①它能判定线面垂直.
2.3.4 平面与平面垂直的性质
墙面与地面垂直，墙角线与地面有何位置关系？
迷宫的所有面都是与地面垂直的，每个拐角所 在直线与地面什么关系？
1.掌握平面与平面垂直的性质定理.（重点） 2.能运用性质定理解决一些简单问题.（难点） 3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理 和性质定理间的相互联系.
D
E
A
β
C
B
思考3 , C D， A B ,
AB CD,
垂足为B，那么直线AB与平面β的位置关系如何？
为什么？
Eβ
D
α
B
A
C
提示：垂直
证明:在平面 β内作BE⊥CD,
垂足为B.
则∠ABE就是二面角α- CD -β
平面与平面垂直的判定【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件PPT
第一课时 平面与平面垂直的判定
[思考发现]
1．如图所示的二面角可记为
()
A．α-β-l
B．M-l-N
C．l-M-N
D．l-β-α
解析：根据二面ห้องสมุดไป่ตู้的记法规则可知 B 正确．故选 B.
答案：B
8 . 6 . 3 第 一 课时 平 面 与 平 面 垂直的 判定-【 新教材 】人教 A版（ 2019） 高中数 学必修 第二册 课件(共 25张P PT)
2．剖析平面与平面垂直 (1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况．例如正方体 中任意相邻两个面都是互相垂直的． (2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过 所成的角是直角定义的． 3．详解平面与平面垂直的判定定理 (1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即 线面垂直⇒面面垂直． (2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题， 进一步转化为处理线线垂直问题来解决．
8 . 6 . 3 第 一 课时 平 面 与 平 面 垂直的 判定-【 新教材 】人教 A版（ 2019） 高中数 学必修 第二册 课件(共 25张P PT)
5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，二面角 A-BC-A1 的平面角等于______．
解析：根据长方体中的线面位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥ BC ， 根 据 二 面 角 平 面 角 定 义 可 知 ， ∠ ABA1 即 为 二 面 角 A-BC-A1 的平面角. 又 AB＝AA1，且 AB⊥AA1，所以∠ABA1 ＝45°. 答案：45°
[系统归纳]
1．二面角与平面几何中的角的对比 平面几何中的角
二面角
图形
从平面内一点出发的两条 从一条直线出发的两个半
【人教A版】高中数学必修二：2.3《直线、平面垂直的判定及其性质》ppt课件.pptx
2.3.1直线与平面垂直的判定
日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面 的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直 的印象.
问题1：如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与 这个平面垂直？举例说明.
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管 影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就是 说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.
问题2：能否找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系？ 如图，长方体 ABCD—A′B′C′D′中，棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的 平面 ABCD，它们之间具有什么位置关系？
棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面 ABCD，它们之间互相平行.
问题 4：如图,请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实验：过△ ABC 的顶点 A 翻折纸片，得折痕 AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC 与桌面接触）. (1)折痕 AD 与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面 α 垂直？
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在的平面 α 垂直. 如图.
又∵OA 平面 PAO，∴BC⊥OA.
同理,可证 AB⊥OC.∴O 是△ ABC 的垂心. ∴OB⊥AC.可证 PO⊥AC. ∴AC⊥平面 PBO.
又 PB 平面 PBO，∴PB⊥AC.
例 2、如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.
解：连接 BC1 交 B1C 于点 O，连接 A1O. 设正方体的棱长为 a， 因为 A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以 A1B1⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1. 又因为 BC1⊥B1C，所以 BC1⊥平面 A1B1CD. 所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影，∠BA1O 为直线 A1B 与平面 A1B1CD
日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面 的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直 的印象.
问题1：如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与 这个平面垂直？举例说明.
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管 影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就是 说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.
问题2：能否找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系？ 如图，长方体 ABCD—A′B′C′D′中，棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的 平面 ABCD，它们之间具有什么位置关系？
棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面 ABCD，它们之间互相平行.
问题 4：如图,请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实验：过△ ABC 的顶点 A 翻折纸片，得折痕 AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC 与桌面接触）. (1)折痕 AD 与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面 α 垂直？
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在的平面 α 垂直. 如图.
又∵OA 平面 PAO，∴BC⊥OA.
同理,可证 AB⊥OC.∴O 是△ ABC 的垂心. ∴OB⊥AC.可证 PO⊥AC. ∴AC⊥平面 PBO.
又 PB 平面 PBO，∴PB⊥AC.
例 2、如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.
解：连接 BC1 交 B1C 于点 O，连接 A1O. 设正方体的棱长为 a， 因为 A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以 A1B1⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1. 又因为 BC1⊥B1C，所以 BC1⊥平面 A1B1CD. 所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影，∠BA1O 为直线 A1B 与平面 A1B1CD
2019-2020人教A版数学必修2第2章 2.3 2.3.2 平面与平面垂直的判定课件PPT
平面 SBC.
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法二：(利用判定定理) 因为 SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°， 所以 SA＝AB＝AC， 所以点 A 在平面 SBC 上的射影为△SBC 的外心． 因为△SBC 为直角三角形， 所以点 A 在△SBC 上的射影 D 为斜边 BC 的中点， 所以 AD⊥平面 SBC. 又因为 AD⊂平面 ABC，所以平面 ABC⊥平面 SBC.
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平面与平面垂直的判定
【例 2】 如图所示，在四面体 ABCS 中，已知∠BSC＝90°， ∠BSA＝∠CSA＝60°，又 SA＝SB＝SC.
求证：平面 ABC⊥平面 SBC.
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[证明] (1)法一：(利用定义证明) 因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， 所以△ASB 和△ASC 是等边三角形， 则有 SA＝SB＝SC＝AB＝AC， 令其值为 a，则△ABC 和△SBC 为共底边 BC 的等腰三角形． 取 BC 的中点 D，如图所示，
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2．确定二面角的平面角的方法： (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分 别过该点作垂直于棱的射线． (2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两 个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
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1．如图，AC⊥平面 BCD，BD⊥CD, AC＝12AD，求平面 ABD 与 平面 BCD 所成的二面角的大小．
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连接 AD，SD，则 AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS 为二面角 A-BC-S 的平面角．
在 Rt△BSC 中，因为 SB＝SC＝a，
所以
SD＝
22a，BD＝B2C＝
2 2 a.
在 Rt△ABD 中，AD＝ 22a， 在△ADS 中，因为 SD2＋AD2＝SA2，
高一人教A版高中数学必修第二册《8.6.3 平面与平面垂直(第二课时)》课件
P
bc
a
知识小结：1、过一点有且仅有一条直线与平面垂直。 2、过平面内一点作垂面的垂线，只需作 交线的垂线，且线在原平面内。
对应练习（课本163页） 第10题:已知平面α ,β,γ ,且α ⊥ γ ,β ⊥ γ ,α∩β=l,求证l⊥ γ.
证明：在l上找一点A，过点A在平面α 内作直线a垂直于γ
∵点A在平面α 内，∴直线a在平面α内
思路：要证BC⊥平面PAB
思路1：面面垂直性质 思路2：线面垂直判定
直线b与直线a是什么位置关系？相应地直线b与平面α是什么
位置关系？为什么？
， a,b
（1）b与a平行 b//α
（2）b与a重合 b⊂α
b
（3）b与a相交 b与α相交
a
当b与a斜交时，b不垂直a,也不垂直平面α。
特别地：b⊥a？
探索新知
， a,b ，b a
b
分析：设b∩a=A,过点A在α 平面内作c使得c⊥a
b
a
探索新知
问题1：如图，已知平面 α⊥平面 β ，α∩ β=a，则β内任意
直线b与直线a是什么位置关系？相应地直线b与平面α是什么
位置关系？为什么？
， a,b
（1）b与a平行 b//α （2）b与a重合 b⊂α （3）b与a相交 b与α相交
b
a
探索新知
问题1：如图，已知平面 α⊥平面 β ，α∩ β=a，则β内任意
分析：线在面内，且垂直于交线，这就是面面垂直的性质定理。
探索新知
问题2：设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的 垂线a，则直线a与平面α具有什么位置关系？
解：设α∩β＝c． 过点P在平面α内作直线b⊥c． 由平面与平面垂直的性质定理可知b⊥β． 因为过一点有且仅有一条直线与平面β垂直， 所以直线a与直线b重合，因此a⊂α．
新教材人教A版必修第二册平面与平面垂直第二课PPT课件
α
l
β
图形语言
m
提升总结：
关键点： ①线在平面内.
②线垂直于交线.
A
C
作用： ①它能判定线面垂直.
BD
② 它能在一个平面内作与这个平面垂
直的垂线. 面面垂直
线面垂直
（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
知识探究（二）平面与平面垂直的性质探究
思考：设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过点P
作平面 的垂线a，直线a与平面 具有什么位置关
例3、 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法2：设 n,m ,
在γ内任取一点A（不在m,n上），
l α
在γ内过A点作直线 a ⊥n，
β
在γ内过A点作直线 b⊥m，
an
γ mb A
n
a
a n l
a l
同理 b l l .
（１）利用定义［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］
（２）利用判定定理［线面垂直
面面垂直］
知识探究（一）平面与平面垂直的性质定理
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，直线l 在平面α内，那么直线l与平面β的位置关系 有哪几种可能？
αl β
αl β
α
l β
思考2:如何找地面的垂线？
证明：过B在平面β内作BE⊥CD，
线线垂直 面面垂直
线面垂直 线面垂直
面面垂直 线线垂直
垂直、平行关系小结
β A
B αa
线线垂直
线面垂直
面面垂直
线线平行
面面平行
1.平面与平面垂直的性质定理：
面面垂直
l
β
图形语言
m
提升总结：
关键点： ①线在平面内.
②线垂直于交线.
A
C
作用： ①它能判定线面垂直.
BD
② 它能在一个平面内作与这个平面垂
直的垂线. 面面垂直
线面垂直
（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
知识探究（二）平面与平面垂直的性质探究
思考：设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过点P
作平面 的垂线a，直线a与平面 具有什么位置关
例3、 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法2：设 n,m ,
在γ内任取一点A（不在m,n上），
l α
在γ内过A点作直线 a ⊥n，
β
在γ内过A点作直线 b⊥m，
an
γ mb A
n
a
a n l
a l
同理 b l l .
（１）利用定义［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］
（２）利用判定定理［线面垂直
面面垂直］
知识探究（一）平面与平面垂直的性质定理
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，直线l 在平面α内，那么直线l与平面β的位置关系 有哪几种可能？
αl β
αl β
α
l β
思考2:如何找地面的垂线？
证明：过B在平面β内作BE⊥CD，
线线垂直 面面垂直
线面垂直 线面垂直
面面垂直 线线垂直
垂直、平行关系小结
β A
B αa
线线垂直
线面垂直
面面垂直
线线平行
面面平行
1.平面与平面垂直的性质定理：
面面垂直
人教A版高中数学必修二2.3.2平面与平面垂直的判定课件
2.3.2 平面与平面垂直 的判定
二面角
问题: 1. 两个平面的位置关系有___平__行__、__相__交___.
l
2. 如何确定两个相交平面的相对位置?
3.阅读课本75页倒数第8行至倒数第1行.
一、二面角的定义
★从空间一条直线出发的 两个半平面所组成的图 形叫做二面角.
记作 或 AB
B C
(2)过A作AE PC于E, 过A作AF PB于F，连接EF
问此图形中有多少直角三角形？
课堂小结
1、证明面面垂直的方法： （1）证明二面角为直角
（2）用面面垂直的判定定理
2、线线垂直 线面垂直面面垂直
证明: 设已知⊙O平面为α PA 面, BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径
AC BC PA BC AC BC
PA AC A PA 面PAC, AC 面PAC
BC 面PAC BC 面PBC
面PAC 面PBC
探究1：如图为正方体,请问哪些平面与 面A1B 垂直?
D1 A1
C1 B1
▲说明: 二面角的平面角的特征: O
ι
(1)顶点在二面角的棱上;
(2)两边分别在二面角的两个面内;
β
B A
α
(3)两边都垂直于二面角的棱.
2.二面角的大小范围: [0o,180o]
面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(1)除了定义之外,如何判定两个平面 互相垂直呢?
形式: 半平面—线(棱)—半平面
角
★从平面内一点出发的 两条射线(半直线)所 组成的图形.
记作:∠AOB
形式: 射线—点(顶点)—射线
二面角
问题: 1. 两个平面的位置关系有___平__行__、__相__交___.
l
2. 如何确定两个相交平面的相对位置?
3.阅读课本75页倒数第8行至倒数第1行.
一、二面角的定义
★从空间一条直线出发的 两个半平面所组成的图 形叫做二面角.
记作 或 AB
B C
(2)过A作AE PC于E, 过A作AF PB于F，连接EF
问此图形中有多少直角三角形？
课堂小结
1、证明面面垂直的方法： （1）证明二面角为直角
（2）用面面垂直的判定定理
2、线线垂直 线面垂直面面垂直
证明: 设已知⊙O平面为α PA 面, BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径
AC BC PA BC AC BC
PA AC A PA 面PAC, AC 面PAC
BC 面PAC BC 面PBC
面PAC 面PBC
探究1：如图为正方体,请问哪些平面与 面A1B 垂直?
D1 A1
C1 B1
▲说明: 二面角的平面角的特征: O
ι
(1)顶点在二面角的棱上;
(2)两边分别在二面角的两个面内;
β
B A
α
(3)两边都垂直于二面角的棱.
2.二面角的大小范围: [0o,180o]
面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(1)除了定义之外,如何判定两个平面 互相垂直呢?
形式: 半平面—线(棱)—半平面
角
★从平面内一点出发的 两条射线(半直线)所 组成的图形.
记作:∠AOB
形式: 射线—点(顶点)—射线
高中数学人教A版必修第二章平面与平面垂直的判定及性质教学PPT课件
追 踪
2、如图，已知AB⊥面BCD，BC⊥CD，
练 则图中哪些平面是互相垂直的？为什么?
习
AB 面BCD
A
面ABC 面BCD
面ABD 面BCD
CD 面ABC
面ABC 面ACD
B
D
C
例3:如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在
的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：
平面PAC 平面PBC.
转 化 思 想
作业：P８１第 １，３，４题
PA⊥α，BC在α内，所以PA ⊥BC
PA 面ABC 证明两个平面垂直有哪些方法？ 面PAC 面ABC 过平面α的一条垂线可作_____个平面 PA 面 证明两个平面垂直有哪些方法？ PAC 5、如图，在四面体ABCD中，AC⊥BD，∠BAD=60°， ∠BAC=∠CAD=45°，
1、如图为正方体，问正方体中面A1B与哪些表面垂直? 2、平面与平面垂直的判定定理：
1、面面垂直的定义：
• 一般地，两个平面相交，如果它们所成的 二面角是直二面角，就说这两个平面互相 垂直。
• 画法：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。
β β
α
α
• 记作：α⊥β
抛砖引玉
• 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
ι
注意观察： 1.门轴与地面的关系； 2.门轴与门面的关系； 3.门面与地面的关系。
与平面α垂直.
2.过一点可作_无__数__个平面与已知平面垂
直.
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作__一__个平
面与α垂直.
9
追 踪
1、如图为正方体，问正方体中面A1B与
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（有几个直角三角形？）
α
C
A
β
DLeabharlann Bl例3.已知PA 平面ABC，二面角A PB C是 直二面角，求证：AB BC
P
D
A
C
B
例4、已知平面,, ,直线a满足a , a ,试判断直线a与平面的位置关系.
b
a
求证：平面ACC1A1 平面A1BD
.
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
练习2:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在 的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：
平面PAC 平面PBC.
P
C
A
•O
B
例2．已知：如图，α⊥β，在α与β的交线 上取线段AB＝4，AC、BD分别在α和β内，它 们都垂直于AB，并且AC＝3，BD＝12，求CD长
空白演示
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平面与平面垂直的判定与性质
一、研究两个平面所成的“角”必要性
两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角” 来确定的．在生产实践中，有许多问题也涉及到两个 平面所成的角．如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐 久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造 地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地 球的赤道平面成一定的角度.
二、二面角的概念及二面角的平面角
1.半平面: 平面内的一条直线,把这个平面分成两部分, 其中的每一部分都叫做半平面.
2.二面角: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角. 这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面 角的面.
A
Bl
OA
O
B
二面角的大
二面角 l AOB叫做二面角 l 的平面角
面面垂直
五、平面与平面的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线 与另外一个平面垂直.
面面垂直
a
线面垂直
l
b
思考：
设 , P ,过点P作c ，则c与是什么位置关系？
由思考得到的一个重要结论: 如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面的一点 垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.
小可以用它 的平面角来
度量
3、直二面角
平面角是直角的二面角.
三、两个平面互相垂直的意义
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直 二面角，就说这两个平面相互垂直.
记作:
四、面面垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
证明面面垂直的本质和关键是什么？
本质：线面垂直 关键：找垂直平面的线
P.
l
c
例1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,求平面 A1BD与平面C1BD的夹角的余弦值.
D1
C1
A1
D O
A
B1 C
B
例1.如图，A是BCD所在平面外一点，AB AD， ABC ADC 90，E是BD的中点， 求证：平面AEC 平面ABD
A
B
D
E
C
练习1:在正方体ABCD－A1B1C1D1中，