2020届高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差教师用书理PDF含解析

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1 为4.
(2) 随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4.
P(X = 0)=
1 4
,P(X = 1) =
2 A24

1 6
,P(X =
2) =
1 A24
+ A22 A34

1 ,

P(X = 3)=
C12 A22 = A34
1 6
,P( X = 4)=

3 3

4 4

1 4

所以随机变量 X 的分布列为
的两点分布.
3.超几何分布列
在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中含有 X 件
次 品, 则 事 件 { X = k } 发 生 的 概 率 为 P ( X = k ) =
CkM
·Cn-k N-M CnN



0,1,2,…,m) ,其中
m = min{ M,n} ,且
n≤N,M≤
N,n、M、N∈N∗ ,称分布列
中,甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关,则
P( A)=
6 12
×
3 6
×
2 3
×
1 2

1 12

(2) 随机变量 X 的取值可以为 1,2,3,4.
P(X = 1)=
6= 12
1 2

P(X = 2)=
6× 12
3 6

1 4

P(X = 3)=
6× 12
3 6
×
1 3
= 1, 12
P(X = 4)=
(1) pi ≥0,i = 1,2,…,n; (2)p1 +p2 +…+pi +…+pn = 1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范 围内各个值的概率之和. 2.两点分布 如果随机变量 X 的分布列为






其中 0<p<1,q = 1-p,则称离散型随机变量 X 服从参数为 p
2) =
C24 ×1 A44

1 4

P(


3) =
C34 ×2 A44

1 3

P(X = 4)=
1- 1 - 24
1 4

1 3

3 8

所以 X 的概率分布列为










24



所以数学期望
E( X) =
0×
1 24
+2×
1 4
+3×
1 3
+4×
3 8
= 3.
1-2 (2019 河南新乡二模,19) 2019 年元旦班级联欢晚会
因为
C2n

6,即n(
n-1) 2

6,也即
n2
- n - 12

0,
解得 n = 4 或 n = -3(舍去),
所以 n = 4.
( 2) 因为学生所坐的座位号与该生的编号 不同的 学生 人数
为 X,
由题意可知 X 的可能取值是 0,2,3,4,
所以
P( X

0) =
1 A44

1 ,
24
P(


S=
1 5
×[(0.8-0.9) 2 +(0.8-0.8) 2 +(0.7-0.7) 2 +(0.7-0.6) 2 +
(0.2-0.4) 2 ] = 0.012.
(11 分)
因为 S = 0.012<0.05,
所以,该次测试的难度预估是合理的.
(12 分)
1-1 (2019 河北冀州高三期末,19) 有编号为 1,2,3,…,n
机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度,其算术平方根 DX 为 随机变量 X 的标准差,记作 σX.
2.均值与方差的性质 (1) E( aX+b)= aEX+b( a,b 为实数) . (2) D( aX+b) = a2 DX( a,b 为实数) . 3.两点分布的均值、方差 若 X 服从两点分布,则 EX = p,DX = p(1-p) .
所以,估计 240 人中有 240×0.2 = 48 人实测答对第 5 题.
(3 分)
(2) X 的所有可能取值是 0,1,2.
P( X

0) =
C2 16
C2 20

12 19
,P( X

1) =
C1 16
C14
C2 20

32 95 ,P(


2) =
C24 C2
20

3 95

(6 分)
X 的分布列为
1)
由频率估计概率可知


4 20

0.2,进而估计
240
名学生
中第 5 题的实测答对人数;
(2)确定人数 X 的所有可能取值,求 X 的概率分布列及数
学期望;
( 3) 由方差公式代入求方差.
解析 (1) 因为 20 人中答对第 5 题的人数为 4,
因此第

题的实测难度为
4 20

0.2,
(2 分)
(1)求 a 同学摸球三次后停止摸球的概率;
(2) 记 X 为 a 同学摸球后表演节目的个数,求随机变量 X 的
分布列和期望.
解析 (1)设“a 同学摸球三次后停止摸球”为事件 E,

P( E) =
A23 A34

1 4 ,故
a 同学摸球三次后停止摸球的概率
第十二章 概率与统计 7
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上,某班设计了一个摸球表演节目的游戏:在一个纸盒中装有 1
个红球,1 个黄球,1 个白球和 1 个黑球,这些球除颜色外完全相
同,同学不放回地每次摸出 1 个球,若摸到黑球,则停止摸球,否
则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节
目,摸到白球或黄球表演 1 个节目,摸到黑球不用表演节目.
6 5 年高考 3 年模拟 B 版( 教师用书)
对应学生用书起始页码 P210
求离散型随机变量的分布列和均值
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人依次从中取出一张卡片,取到标有数字 7 到 12 的卡片的同学
留下,其余的淘汰;第二轮将标有数字 1 到 6 的六张相同的卡片
放入一个不透明的盒子中,每人依次从中取出一张卡片,取到标
有数字 4 到 6 的卡片的同学留下,其余的淘汰;第三轮将标有数
字 1,2,3 的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中,每人依
求离散型随机变量 ξ 的分布列与均值的步骤:
(1)理解 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 意 义, 写 出 ξ 的 所 有 可 能
取值;
(2)求 ξ 取每个值的概率;
(3)写出 ξ 的分布列;
(4)根据均值的定义求 E(ξ).
注意:如果 ξ ~ B( n,p) ,可用公式 E( ξ) = np 求解均值.

xn

p1
p2

pi

pn
(1)均值 称 EX = x1 p1 +x2 p2 +…+xi pi +…+xn pn 为随机变量 X 的均值或
数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平. ( 2) 方差

∑ 称 DX = ( xi -EX) 2 pi 为随机变量 X 的方差,它刻画了随 i=1
第十二章 概率与统计 5
§ 12.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
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的 n 个学生,入座编号为 1,2,3,…,n 的 n 个座位,每个学生规
定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生
人数为 X,已知 X = 2 时,共有 6 种坐法.
(1)求 n 的值;
(2)求随机变量 X 的概率分布列及数学期望 E(X).
解析 (1) 因为当 X = 2 时,有 C2n 种方法,
(2019 湖北荆门高三调研,19) 在测试中,客观题难度
的计算公式为
Pi

Ri N
,其中
Pi
为第

题的难度,Ri
为答对该题的
人数,N 为参加测试的总人数.现对某校高三年级 240 名学生进
行一次测试,共 5 道客观题.测试前根据对学生的了解,预估了每
道题的难度,如下表所示:
题号





考前预估难度 Pi
次从中取出一张卡片,取到标有数字 2,3 的卡片的同学留下,其
余的淘汰;第四轮用同样的办法淘汰一位同学,最后留下的这位
同学获得一个奖品.已知同学甲参加了该游戏.
( 1) 求甲获得奖品的概率;
(2)设 X 为甲参加游戏的轮数,求 X 的分布列和数学期望.
解析 (1)设甲获得奖品为事件 A,由题意知在每轮游戏

















期望 EX = 0×
1 4
+1×
1 6
+2×
1 6
+3×
1 6
+4×
1 4
= 2.
1-3 (2018 湖北恩施一模,18) 某班为了活跃元旦气氛,
主持人请 12 位同学做一个游戏,第一轮游戏中,主持人将标有
数字 1 到 12 的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中,每
考点一 离散型随机变量及其分布列 高频考点
1.离散型随机变量的分布列
若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2,…,xn,X 取 每一个值 xi( i = 1,2,…,n) 的概率 P( X = xi ) = pi ,则称表

x1
x2

xi

xn

p1
p2

pi

pn
为离散型随机变量 X 的概率分布列,简称 X 的分布列,它具有如 下性质:




12 32 3

19 95 95
EX

0×
12 19
+1×
32 95
+2×
3 95

38 95

2 5

(7 分) (8 分)
(3) 将抽样的 20 名学生测试中第 i 题的实测难度作为 240 名学生测试中第 i 题的实测难度.
列表如下:
题号





实测难度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
测试后,随机抽取了 20 名学生的答题数据进行统计,结果如下:
题号





实测答对人数
16
16
14
14

(1) 根据题中数据,估计这 240 名学生中第 5 题的实测答对
人数;
(2) 从抽样的 20 名学生中随机抽取 2 名学生,记这 2 名学
生中答对第 5 题的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望;
6× 12
3 6
×
2 3

1 6

X 的分布列为












12

数学期望
E( X) =
1×
1 2
+2×
1 4
+3× 1 +4× 12
1 6

23 12

对应学生用书起始页码 P209



C0M
·C
n-0 N-M

n N
为超几何分布列.


C C 1 n-1 M N-M

n N


C C m n-m M N-M

n N
考点二 离散型随机变量的均值与方差 高频考点
1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为

x1
x2

xi
(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差,设 Pi′为第 i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
题的实测难度,并定义统计量 S =
1 n
[ ( P1′-P1 ) 2 +( P2′-P2 ) 2 +…+
( Pn′-Pn ) 2 ] ,若 S<0.05,则本次测试的难度预估合理,否则不合
理,试检验本次测试对难度的预估是否合理.
解题导引

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