广东省2012届高三数学(理科)全真模拟卷8

广东省2012届高三全真模拟卷数学理科8
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知}01|{},0|{=-==-=ax x N a x x M ,若N N M =⋂，则实数a 的值为（ ）
A.1
B.－1
C.1或－1
D.0或1
或－1
2．已知为虚数单位，则
i
i
+1的实部与虚部之积等于（ ） A ．41 B ．41- C ．i 41 D ．i 4
1-
3.阅读如图所示的算法框图，输出的结果S 的值为（ ）
A B ．．0 D 4.等比数列{a n }中，a 3=6，前三项和3
30
4S xdx =⎰
，则公比q 的值为 A.1
B.1
2
-
C.1或12-
D.1-或1
2
-
5.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为
A. C. 6.已知α、β是两个不同平面，m 、n 是两条不同直线，则下列命题不正确．．．
的是( )
A ．//,,m αβα⊥则m β⊥
B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α
C ．n ∥α，n ⊥β，则α⊥β
D ．m ∥β，m ⊥n ，则n ⊥β
7．在锐角ABC ∆中，2,A B B C ∠=∠∠∠、的对边长分别是b c 、，则b
b c
+的取值范围是（ ）
A 、11(,)43
B 、11(,)32
C 、12(,)23
D 、23(,)34
8．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝
ABc PBC S S ∆∆， λ2＝ABC PCA S S ∆∆，λ3＝ABC
PAB S S
∆∆，定义f （P ）=（λ1, λ, λ3）,若G 是△ABC 的重心，f （Q ）＝（
21，31，6
1
），则（ ） A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内
C ．点Q 在△GCA 内
D ．点Q 与点G 重合
二、填空题：（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）
（一）必做题（9～13题）
9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2
>σσN ．若ξ在(0，1)内取值的概率为
0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为 ．
10．若1()n x x
-的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 。

11.已知函数3log ,0,()1,0,3x x x f x x >⎧⎪
=⎨⎛⎫≤⎪⎪⎝⎭
⎩那么不等式()1f x ≥的解集为 ．
12. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为_____________________
13.若目标函数by ax z +=)0,0(>>b a 在约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤--≥-00220x y x y x 下的最大值是4，
则直线01=-+by ax 截圆12
2
=+y x 所得的弦长的范围是______________.
（二）选做题：请在14、15题中选做一题,如果两题都做,以第一题的得分为最后得分. 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线02)sin (cos =+-θθρ被曲线C ：2=ρ所截得弦的中点的极坐标为 ． 15. (几何证明选讲选做题)如图所示， AB 是半径等于3的⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，BA ，DC 的延长线交于点P ，若PA=4，PC=5，则CBD ∠= ___________.
三、解答题(共80分) 16．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =，
(sin ,1cos )n A A =+．满足m ∥n
，b c +=．
（1）求A 的大小；（2）求sin()6
B π
+
的值．
17．（本题满分12分）某学校共有高一、高二、高三学生2000名，各年级男、女生人数如
下图：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0．19． （1）求x 的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？
（3）已知245z ,245y ≥>，以（y,z ）为坐标构成平面直角坐标系的点，从这些点中任
取3个,求满足0z y >-的点的个数ξ的分布列和数学期望.
18．（本题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，90ABC ∠=︒，当E 、F 分别在
线段AD 、BC 上，且EF BC ⊥，AD=4，CB=6，AE=2，现将梯形ABCD 沿EF 折叠，使平面ABFE 与平面EFCD 垂直。

（1）判断直线AD 与BC 是否共面，并证明你的结论；
（2）当直线AC 与平面EFCD 所成角的正切值为多少时，二面角A —DC —E 的大小是60°。

19．（本题满分14分）设曲线1*:()()n n C f x x n N +=∈在点1
1,()2
2P f ⎛⎫-- ⎪⎝⎭处的切线与y 轴
交于点(0,)n n Q y .
（1）求数列{}n y 的通项公式；
（2）设数列{}n y 的前n 项和为n S ，猜测n S 的最大值并证明你的结论. 20．（本题满分14分）
已知抛物线x 2
＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过
A 、
B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明FM →·AB →
为定值；
（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，并求S 的最小值．
21.（本题满分14分）已知函数()x
x x x f 2
1ln 2-+=
1)求函数()x f 的单调区间;
2) 利用1)的结论求解不等式1)11(ln 2-⋅+≤x x
x . 并利用不等式结论比较)
1(ln 2
x +
与x
x +12的大小. 3)若不等式()1)1
1ln(≤++n
a n 对任意*N n ∈都成立，求a 的最大值.
参考答案
选择题答案：DAAC,ADBA
填空题答案：9:0.8 10：-20 11：}3x 0x x {≥≤或 12:30 13)3,2[ 14：)43,
2(π 15：6
π 16．解析：（1）由m ∥n 得22sin 1cos 0A A --=，即22cos cos 10A A +-=，∴1
cos 2
A =或cos 1A =-．
A 是ABC ∆的内角，cos 1A =-舍去，∴3
A π
=
．........6分
（2）
b c +=，由正弦定理得，3
sin sin 2
B C A +==
， 2
3B C π+=，∴23
sin sin()32B B π+-=，
∴
33sin 22B B +=，即sin()6B π+=
...........12分 17.解：（1）由已知有380,19.02000
=∴=x x
；
3分 （2）由（1）知高二男女生一起750人，又高一学生750人，所以高三男女生一起500人，
按分层抽样，高三年级应抽取125002000
48
=⨯人；
6分
（3）因为245z ,245y ,500z y ≥>=+，所以基本事件有：
251,249;252,248;253,247;254,246========z y z y z y z y
246
,254;247,253;248,252,249,251;250,250==========z y z y z y z y z y 245,255==z y 一共11个基本事件．
8分 其中女生比男生多，即z y >的基本事件有：
245
,255;246,254;247,253;248,252,249,251==========z y z y z y z y z y
共5个基本事件， 9分 分布列（略）..................................................................................................11分 E ξ=
2
3
................................................................................................................12分
18．解：（1）AD 、BC 是异面直线， （1分） 法一（反证法）假设AD 、BC 共面为α．
EF BC ⊥,90ABC ∠=︒, ,EF α⊄,AB α⊂．AB//EF,则AB//α
,又EFCD CD α=．EF//CD,CD//AB
这与ABCD 为梯形矛盾．故假设不成立．即AD 、BC 是异面直线．.......6分
（2）法一:延长,CD EF ，相交于N ，AE =2，AD =4，BC =6，
2,4,ED CF ∴==设,AB x =则△NDE 中，NE x =， AE EF ⊥，平面ABFE ⊥平面EFCD ,
AE ∴⊥平面EFCD ．过E 作EH DN ⊥于H ，连结AH ， 则AH DN ⊥．AHE ∴∠是二面角A DC E --的平面角，
则60AHE ∠=︒．
,2,NE x DE HE ==∴=
2AE =,
tan AE
AHE EH
∴∠==
=22,x x ∴==,
此时在△EFC 中，4,EF FC =
=EC ∴=AE ⊥平面EFCD ,
ACE ∴∠是直线AC 与平面EFCD 所成的角,
tan
AE ACE EC ∴∠=
==．
..........................................14分
19 解：（1）
/*()(1)()n f x n x n N =+∈, ………………………… 1分
∴点P 处的切线斜率1(1)2n
n k n ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭, ………………………… 2分
∴切线方程为:1
111(1)()222n n
y n x +⎛⎫
⎛⎫
--=+-+ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
, ………………………… 4分
令0x =得: 1
111222n n
n n y ++⎛⎫
⎛⎫=-+⋅- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
,
故数列{}n y 的通项公式为:122n
n n y ⎛⎫
=⋅- ⎪⎝⎭
. ………………………………… 6分
(2) 23
112131122222222n
n n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⋅-+⋅-+⋅-+
+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
------① 两边同乘12-得:2
3
4
1
11121311222222222n n n S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
-⋅=⋅-+⋅-+⋅-+
+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
------②
①-②得: 23
1
311111111122222222222n
n n n s +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⋅=⋅-+⋅-+⋅-+
+⋅--⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
(8)
分
23
1
11111322222n
n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+
+--⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
11111221212
n n n ++⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⋅- ⎪⎝⎭+
1
111232n
n n +⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=--⋅- ⎪⎝⎭ ∴12311922n
n n S ⎡⎤+⎛⎫
=⋅--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
……………………10分
其中1114S y ==-
, 2120S y y =+=,3316S =-,4116
S =- 猜测n S 的最大值为20S =.证明如下: ………………… 11分
(i)当n 为奇数时，123110922n
n n S ⎡⎤+⎛⎫
=-⋅+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
； ………………… 12分
(ii)当n 为偶数时，1123192n n n S ++⎛⎫
=⋅- ⎪⎝⎭
,设123()2n n h n ++=,则383(2)2n n h n +++=.
31383239(2)()0222
n n n n n n
h n h n ++++++-=-=-<, ∴(2)()h n h n +<. ………… 13分
故123()2
n n
h n ++=的最大值为(2)1h =,即n S 的最大值为20S =. ……………… 14分
20. （本题满分14分）
解：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →
， 即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)，
⎩
⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ②.....................................................................2分
将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14
x 22
代入得
y 1＝λ2y 2 ③
解②、③式得y 1＝λ，y 2＝
1λ
，且有x 1x 2＝－λx 22
＝－4λy 2＝－4，.........4分 抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝1
2x ．
所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是 y ＝1
2
x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12
x 2(x －x 2)＋y 2，
即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22
．
解出两条切线的交点M 的坐标为(
x 1＋x 22
，
x 1x 2
4
)＝(
x 1＋x 2
2
，－1)． 所以FM →·AB →
＝
(
x 1＋x 2
2
，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12
)－2(14x 22－14
x 12)＝0所以FM →·AB →为定值，
其值为0． ……（7分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝1
2|AB ||FM |．
|FM |＝
(
x 1＋x 2
2
)2＋(－2)2＝
14x 12＋14x 22＋1
2x 1x 2＋4 ＝
y 1＋y 2＋12
×(－4)＋4
＝
λ＋1λ＋2＝λ＋1λ
．
因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以
|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ
)2
．
于是 S ＝12|AB ||FM |＝12 (λ＋1λ)3
，
由λ＋1
λ
≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4． ………（14分）
21．解：(1) ()x
x x x f 2
1ln 2-+=，定义域{|0}x x >
()22
22
22(1)(1)'0x x x x f x x x x -⨯---=+=-≤
()f x ∴在(0,)+∞上是减函数………………..4分
(2)对1)1
1(ln 2-⋅+≤x x
x
当1x ≥时，原不等式变为211
2ln (1)(1)x x x x x
-≤+⋅-=○
1 由(1)结论，1x ≥时，()(1)0f x f ≤=，2
12ln 0x x x
-+≤即○
1成立
当01x <≤时，原不等式变为1
2ln (1)(1)x x x
-≤+⋅-，即212ln x x x -≥○2 由(1)结论01x <≤时，()(1)0f x f ≥=，2
12ln 0x x x
-+≥即○
2成立 综上得，所求不等式的解集是{|0}x x >………………..8分
0x >时，1)11(ln 2-⋅+≤x x x ，即221ln x x x -≤,2222
2(1)ln x x x -∴≤
1x >-）代入上式中的x ，可得2
2
ln (1)1
x x x +≤+………………..10分
(3)结论： a 的最大值为1
1ln 2
-
分析：
*1
,ln(1)0n N n
∈∴+>
()11
ln(1)1,1ln(1)n a a n n n ++≤∴≤
-+ 取1
x n =，则(0,1]x ∈，11ln(1)a x x
∴≤-+
设11()ln(1)g x x x =-+，2
2
22ln (1)1'()0ln (1)
x x x g x x x +-
+=≤+ ()g x 递减，1x ∴=时1(1)1ln 2g g ==-最小a ∴的最大值为1
1ln 2
-………………..14分。