2012考研数学一真题及其解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）曲线221
x x
y x +=-渐近线的条数（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解析：C
由lim 1,1x y y →∞==得为水平渐近线
由1
lim 1x y x →=∞=得为垂直渐近线 由1
1
lim ,12
x y x →-=
≠∞=-得非垂直渐近线，选（C ）
（2）设函数2()(1)(2)x x nx f x e e e n =--…（-），其中n 为正整数，
则(0)f '=（ ）
（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - 解析： A
2221()(2)(2)(1)2()(1)(2)(0)1(1)(1)(1)(1)!
x x nx x x nx x x nx
n f x e e e e e e n e e ne f n n ''-=--+-⋅-+--∴=⨯-⨯⨯-=--
选（A ）
（3）如果函数(,)f x y 在（0，0）处连续，那么下列命题正确的是（ ）
（A ）若极限00
(,)
lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在（0，0）处可微
（B ）若极限22
00
(,)
lim
x x f x y x y
→→+存在，则(,)f x y 在（0，0）处可微 （C ）若(,)f x y 在（0，0）处可微，则极限00
(,)
lim x y f x y x y →→+存在
（D ）若(,)f x y 在（0，0）处可微，则极限22
00
(,)
lim
x x f x y x y
→→+存在
解析：(B)
22
00
(,)
lim
x y f x y k x y
→→=+ (0,0)0(,)(0,0)00()f z f x y f x y ορ=⎧
⇒⎨
∆=-=⋅+⋅+⎩ (,)f x y ⇒在(0,0)处可微.
（4）设2
0k x k I e
π
=⎰sin (1,2,3)xdx k =则有（ ）
（A ）123I I I << (B)321I I I << (C)231I I I << (D)213I I I <<
解析： D
2
2
222111sin |sin |.x x I I e xdx I e x dx I π
π
π
π=+=-<⎰⎰
2
2
23312|sin |sin .x x I I e x dx e xdx π
π
π
π=-+⎰⎰
而2
2
32()2sin sin x t e xdxx t e
tdt π
π
πππ
π+=+-⎰⎰
2
2
22()|sin ||sin |.x x e
x dx e x dx π
π
ππ
π
+=>⎰⎰
31312..
I I I I I ∴>∴>>
(5)设1234123400110111c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）
（A ）α1, α2, α3 （B ）α1, α2, α 4（C ）α1, α3, α4 （D ）
α2, α3, α4
解析：C
343400c c αα⎛⎫
⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭
,
34αα+ 与1α成比例. 1α∴与3α+4α线性相关,134ααα∴，，线性相关，选C
或1341
3
4
11,,0
110c c c ααα-=-= 134,,ααα∴线性相关，选C
（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
.若P=(α1, α2, α3)，1223(,,).Q αααα=+则Q -1AQ =( )
(A)100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)100010002⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
(C)200010002⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(D)200020001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
解析：（B ）
1223100()110001Q P αααα⎛⎫
⎪== ⎪
⎪⎝⎭+，，
1
11100100110110001001Q AQ P AP ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
100110011101110100120012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P {x <y }=( )
(A)1
5 (B) 13 (C) 25 (D) 45
解析：(A)
~(1)X E ，
,0
~(4)()0,0
x x e x Y E f x x -⎧>⇒=⎨
≤⎩.
4,
40()0,0
y Y e y f y y -⎧>=⎨
≤⎩.
,X Y ∴独立.
44,0,0
(,)0,x y e e x y f x y --⎧>>∴=⎨
⎩其他 ()(,)x y
P X Y f x y d δ<<=
⎰⎰
404x y x dx e e dy +∞
+∞
--=⎰⎰ 40(4)x
y x
e dx e d y +∞
+∞
--=⎰⎰ 40
x x e e dx +∞
--=⋅⎰ 50x e dx +∞-=⎰
15
=.
（8）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为
（ ）
(A) 1 (B) 12 (C) 1
2
(D) 1-
解析：设一段长X ,另一段1Y X =-，
由
ρ=(1)DX D X DY =-=
cov(,)(1)(1)X Y EX X EX E x =---
2()[1]E X X EX EX =--- 22()EX EX EX EX =-+ 22()EX EX DX =-+=-
1ρ∴=，选项D
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）若函数f (x )满足方程()()2()
f x f x f x "'+-=及()()2x f x f x e '+=，则f (x )=_________.
解析：212202,1λλλλ+-=⇒=-=
212()()2()0(),x x f x f x f x f x C e C e -"+'-=⇒=+
代入12()()20, 1.x f x f x e C C '+===得
()x f x e ∴=
（10
）2
0________=⎰
解析：2
π
[
2
2
(1)1(1)x x =-+-⎰
⎰
1
1
1
(22
x π
--=+===
⎰⎰
⎰.
（11）(2,1,1)
_______z grad xy y ⎛⎫
+= ⎪
⎝
⎭
解析：{1，1，1}
21,,z z grad xy y x y y y ⎛
⎫⎧⎫+
=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ (2,1,1){1,1,1}z grad xy y ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
（12）设
{(
,,)|1,0,x y z x y z x y z =++=≥≥≥∑，则
2
y d s ∑
=⎰⎰_____ .
解析
:
12
.
1,:1(0,0) z x y D x y x y
=--+≤≥≥
11
222
00
2
x
D
y ds y dx y dy
δ-
==
⎰⎰⎰⎰⎰
11
34
(1)(1)
31212
x dx x
=-=--=
⎰
（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E T
-XX的秩为_________.
解析：2.
设2
,T
A E XX A A
=-=
()() 3.
r A r E A
⇒+-=
()()()1
T
r E A r XX r X
-===
() 2.
r A
∴=
（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，
11
(),(),
23
P AB P C
==则C
P AB
（）=_________.
解析：
3
4
解：()()()
(|)1()()P ABC P AB P ABC P AB C P C P C -==
- AC =∅ ，ABC ∴=∅. 1
()32(|)21()4
3
P AB P AB C P C ∴===-.
三、解答题：15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上.
（15）（本题满分 分）
证明x ln 11x x
+-+cos x ≥1+22x (-1<x <1)
证明：令2
1()ln cos 1.(0)0.12
x x x x x x ϕϕ+=+--=- ϕ’2
12()ln sin 11x x
x x x x x +=+---- 22
11ln sin 11x x x x x x
++=+--- 01x <<时. 1ln 01x
x
+>-,22
11x x x x +≥-，又sin x x ≤. ()0x ϕ∴>’；
10x -<<时，1ln 01x
x
+<-，22
11x x x x +≤-,又sin x x ≥. ()0x ϕ∴<’.
0x ⇒=为()x ϕ在（-1，1）内最小点，而ϕ
（0）=0
∴当-1<x<1时. ϕ()0x ≥，即 21ln cos 112
x x x x x ++≥+-
(16)（本题满分 分） 求函数22
2
(,)x y f x y xe +-
=的极值
解析：
由22
'2
222'
2(1)0
x y x x y y f x e f xye +-
+-
=-==-=⎧⎪⎨⎪⎩
得10x y =-⎧⎨=⎩及10
x y =⎧⎨=⎩ 222222
''
32''22
''22
(3)(1)(1)x y xx x y xy x y yy f x x e
f y x e f x y e
+-
+-+-
=-=--=-
当1
x y =-⎧⎨=⎩时，11222,0,.A e B C e --=== 2
0AC B -> 且0A >，10
x y =-⎧∴⎨=⎩为极小点.
极小值为12
(1,0).f e --=-
当1
x y =⎧⎨=⎩时，11222,0,,A e B C e --=-==- 2
100,0
x AC B A y =⎧-><∴⎨
=⎩ 且为极大点 极大值为12
(1,0)f e -=
（17）（本题满分 分） 求幂级数0n ∞
=∑
244321
n n n +++x 2n
的收敛域及和函数
解：由1
lim
1n x n
a a +→∞
=得R =1. 当1x =±时. 2443
()21
n n n n ++→∞→∞+
1x ∴=±时级数发散.收敛域为（-1,1）
令220
443()21n
n n n S x x n ∞
=++=+∑
202(21)21n n n x n ∞
=⎡
⎤=++⎢⎥+⎣
⎦∑ =2200(21)221n
n n n x
n x n ∞
∞
==+++∑∑ 22100221n n n n x x n ∞
∞
+==⎛⎫
=+ ⎪+⎝⎭
∑∑’
211222
12()2()1(1)x x S x S x x x +⎛⎫
=+=+ ⎪--⎝⎭
’
当x =0时，S (0)=3.
当x ≠0时，xS 1(x )=21
021
n n x n +∞
=+∑
[]212
1
()1n
n xS x x x ∞
===-∑’ 111111()ln ,()ln .2121x x
xS x S x x x x
++=∴=--
223,0()111ln ,110
(1)1x S x x x
x x x x x =⎧⎪
∴=++⎨+-<<≠⎪--⎩
且
（18）(本题满分 分)
已知曲线L ：()cos x f t y t
=⎧⎨=⎩（0≤t <2π
），其中函数f (t )具有连续导数，
且f (0)=0，()f t '>0(0<t <2
π
)，若曲线L 的切线与x 轴的交点到切
点距离值恒为1，求函数f (t )的表达式，并求此曲线L 与x 轴无边界的区域的面积. 解析： ①/sin ./()
dy dy dt t k dx dx dt f t -=
=='
切线为sin cos ()0t
y t x f t y f t ==-
-=⇒'()
（），令 ())cot x f t f t t =+'(⋅,切线与x 轴交点为
f t f t t +'.
由题意2
22()cot cos 1f t t t '+=
⇒2
42
sin ().cos t
f t t
'= 2sin ()0.()sec cos .cos t
f t f t t t t
'>∴'==-
()ln |sec tan |sin f t t t t C =+-+
(0)0,()ln |sec tan |sin f f t t t t =∴=+-
②220
cos ()A ydx t f t dt π
π
==⋅'⎰⎰
2220
1sin .224
t I π
ππ===
⋅=⎰
（19）（本题满分 分）
已知L 是第一象限中从点（0，0）沿圆周222x y x +=到点（2，0），再沿圆周224x y +=到点（0，2）的曲线段，计算曲线积分
233(2)L
I x ydx x x y dy =++-⎰
解析： 补充
012:0(2,0)L L L L x y y I +====
-⎰
⎰
22
(313)L L D
x x d +=+-σ=
⎰
⎰⎰
2
D
d dx σ=-⎰⎰⎰
而0
1
44
ππ=⋅
=⎰
122
π
π=⋅=⎰
（依据定积分几何意义）
.2
2
L L π
π
π+∴=-
=
⎰
2
(2) 4.L y dy ∴=-=⎰
⎰
4.2
I π
∴=
-
（20）（本题满分 分）
已知A =1
0010
101,00100010a a a a β⎡⎤⎛⎫
⎪⎢⎥
- ⎪⎢
⎥= ⎪⎢⎥
⎪⎢⎥
⎣⎦⎝⎭
（1）计算行列式|A|；
（2）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.
解析：
（I ）534A 1(1)1a a a =+-⋅=-
（II ）当1a =及1a =-时，A x=β有无穷多个解. 当1a =时，
A =11 0 0
1⎛⎫ ⎪0 1 1 0 -1
⎪ ⎪0 0 1 1 0 ⎪1 0 0 1 0⎝⎭ →10012010110011000000⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
通解为12111010x k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
当1a =-时.
A 11001100100110101
01100110001101001000
000--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪----
⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭
通解为10111010x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（21）（本题满分11分）
已知1
10
111001A a a ⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥
-⎢⎥-⎣⎦
，二次型123(,,)()f x x x x x T T =A A 的秩为2， （1） 求实数a 的值；
（2） 求正交变换x=Qy 将f 化为标准型. 解析：
A T A=1010010111a a -⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭1
10111001a a ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
-
⎪-⎝⎭
2
22
01011113a a a a a a -⎛⎫ ⎪=+-
⎪ ⎪--+⎝
⎭
T T (A A)x x 秩为2. ∴T T (A A)2((A A)(A)2)r r r ===也可以利用 ⇒T A A 01a =⇒=- ( T 22A A (3)(1)a a =++) (II)令T 202A A =B =022224⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
由E λ-2
0-2
λ-B =
0λ-2-2-2
-2
λ-4
=λ(λ-2)(λ-6)=0 解0,2,6123λ=λ=λ=
当λ=0时,由(0)0E A x -=即0Ax =得1111-⎛⎫ ⎪ξ=- ⎪ ⎪⎝⎭. 当2λ=时,由(2)0E A x -=⇒1102-⎛⎫ ⎪ξ= ⎪ ⎪⎝⎭. 当6λ=时,由(6)0E A x -=⇒1123⎛⎫ ⎪ξ= ⎪ ⎪⎝⎭
. 取1r
231111,1,1.102r r --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪
-==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭
令2
2
23
.0
26Q f x x x Qy y y T
⎛ = ⎝=B = +
（22）（本题满分11分）
设二维离散型随机变量X 、Y 的概率分布为
（Ⅰ）求{2}P X Y =；
（Ⅱ）求cov(,).X Y Y - 解析：
(1)11(2)(0,0)(1,2)044
P X Y P X Y P X Y ====+===+= (2)cov(,)cov(,)cov(,)X Y Y X Y Y Y -=-
EXY EXEY DY =-- 0
1
2012~,~.1
1111
12
3123
3
3X X Y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
的边缘分布 12212
,136333
EX EY ∴=+==+=
2221152
()12113333DY EY EY =-=⨯+⨯-=-=
11142
11223123123EXY =⨯⨯+⨯⨯=+=
2222
cov(,)13333
X Y Y -=
-⨯-=-.
（23）（本题满分 分）
设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N μσ与
2(,2)N μσ，其中σ是未知参数且σ>0。

设Z =X -Y .
（1）求Z 的概率密度2(,);f z σ
（2）设12,,,N Z Z Z …为来自总体Z 的简单随机样本，求σ2的最大似
然估计量2ˆσ
. （3）证明2ˆσ
为σ2的无偏估计量. 解析：
22~(,),~(,2)X N Y N μσμσ，,X Y 独立，0σ>，未知Z X Y =-.
解：（1）Z 的密度2(,)f z σ
22~(,),~(,2),,X N Y N X Y μσμσ独立. 2~(0,3)Z X Y N σ=-
2
22
22236(,)z z f z σσ
σ-
-⋅∴=
=
（2）设1n Z Z …样本.
似然出数2
12261(,,)n
i i Z n
n L Z Z e σσ=-∑⎛= ⎝…
2
2121
1ln (,)ln 6n n i i L Z Z n Z σσ==-∑…
221
1ln 6n
i i n Z σ
==--
∑
21
2211
ln ln 6n
i
i n n Z σσ==---∑ 2122241ln 0.111()0,26n i i d L d n Z σσσσ-==⎛⎫-⋅-⋅-= ⎪⎝⎭
∑ 22
ˆ3i Z n σ∑∴= (3)即证22ˆ,E σ
σ= 2~(0,3)i Z N σ
，0~(0,1)Z N -，i Z 是简单随机样本
. 221~(),n i n χ=∑ 223i Z E n σ∑∴=，223i E Z n σ∑=.。