2020年吉林省梅河口市第五中学高考第五次模拟考试数学试题(含解析)

2020年吉林省梅河口市第五中学高考第五次模拟考试数学试题
一、单选题
1．图中的阴影表示的集合中是()
A ．U
B ．A
C ．U C A
D ．A C U
2．中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键．为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A ．芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%
B ．芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%
C ．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
D ．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前“的总人数多
3．向量()(),4,6,3AB x CD ==且AB CD ⊥，若()=2,CF y ，且//AB CF ，则CF CD ⋅的数量积为（ ） A ．1
B ．0
C ．2
D ．3
4．已知a β、都是锐角，且cos
a =
，cos β=，则a β+=（ ）
A ．
4π
B ．
34
π C ．
4π或
34
π
D ．
3π或23
π
5．复数z 2016
是虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()102mod4=.下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）
A ．32
B ．16
C ．8
D ．4
7．在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，若向该矩形内随机投一点P ，那么使△ABP 与△ADP 的面积都小于4的概率为（ ） A ．
1
36
B ．
112
C ．
19
D ．
49
8．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为
1
3
y x =±，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆22:(1E x y +=上一点，则2||||MN MF +的
最小值为 A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
9．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是( )
A ．π
B ．3π
C ．4π
D ．6π
10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )，f ′(x )>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，
则()()
10f f '的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1
D ．－2
11．设()f x 的定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()4f x f x =+，且当[]2,0x ∈-时，
()112x
f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同
的实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．()1,2
B ．()2,+∞
C ．(
D ．
)
2
12．已知函数f （x ）=（cos θ+1）cos2x +cos θ（cos x +1），有下述四个结论：①f （x ）是偶函数；②f （x ）在（
4π，2π）上单调递减；③当θ∈[23π，34π]时，有|f （x ）|75<；④当θ∈[23π
，34
π]
时，有|f '（x ）|14
5
<；其中所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．②④
C ．①③④
D ．①④
二、填空题
13．已知某单位有100名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1~100编号,并按编号顺序平均分成5组，按系统抽样方法在各组内抽取一个号码，若第1组抽出的号码8号，则第3组被抽出职工的号码为_____;
14．已知复数1cos15(sin15)z i =+和复数2cos 45(sin 45)z i =+，则12z z ⋅=__________.
15．已知F 为抛物线C ：24x y =的焦点，直线1
12
y x =+与曲线C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB S ∆=________.
三、解答题
16．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点22P ⎛ ⎝⎭
在椭圆上，
且椭圆的离心率为
2
． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求AOB （O 为坐标原点）面积的最大值． 17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，2PA PD AD ===，点M 在线段PC 上，且2PM MC =，N 为AD 的中点.
（1）求证：AD ⊥平面PNB ；
（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P
NBM 的体积.
18．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康，经过不懈的努力奋斗拼搏，新农村建设取得了巨大进步，农民年收入也逐年增加．为了实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办随机收集了以下50位农民的统计数据，以此研究脱贫攻坚的效果是否与农民的受教育的发展状况有关：
（1）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“脱贫攻坚的效果与农民的受教育的发展状况有关”，并说明理由；
（2）现用分层抽样的方法在全部受过教育的农民中随机抽取5位农民作为代表，再从这5位农民代表中任选2位继续调查，求这2位农民代表中至少有1位脱贫攻坚效果明显的概率． 参考附表：
参考公式：()()()()()
2
2
n ad bc K a b a c b d c d +=++++，其中n a b c d =+++．
19．已知()|2||21|f x x x =+--，M 为不等式()0f x >的解集. （1）求M ；
（2）求证：当,x y M ∈时， ||15x y xy ++<.
20．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为,n n S T ，且
1122b a ==，232254,11b S a T =+=.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++；
（3）是否存在正整数m ，使得
1
m m m m
S T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足
条件的m 的值；若不存在，说明理由. 21．[选修4—5：参数方程选讲]
在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程是11x t t
y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是ρsin 13πθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若两曲线交点为A 、B ，求AB 22．已知函数()ln ,0f x x ax a =->．
（1）若()f x a ≤-对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合； （2）在函数()f x 的图象上取定点()()()()()11221
2,,,A x f x B x f x x
x <，记直线AB 的斜率为k ，
证明：存在()012x x x ∈，，使()0k f x '=成立；
（3）当*n N ∈时，证明：()2
2
2
31ln 2ln ln 224n n n n +⎛⎫⎛⎫++
+> ⎪ ⎪
+⎝⎭
⎝
⎭．
【答案与解析】
1．C
由韦恩图可知：阴影表示的集合为以U 为全集，集合A 的补集，得解. 解：由图可知，阴影表示的集合为以U 为全集，集合A 的补集， 即阴影表示的集合是U C A ， 故选C.
本题考查了韦恩图及集合的补集，属基础题. 2．C
根据图表信息，整合数据，逐项判断即可得解.
对于选项A ，芯片、软件行业从业者中“90后”占总人数的55%，故选项A 正确；
对于选项B ，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”占总人数的（37%+13%）×55%=27.5%，故选项B 正确；
对于选项C ，芯片、软件行业中从事技术岗位的“90后”占总人数的37%×
55%＝20.35%，“80后”占总人数的40%，但从事技术的“80后”占总人数的百分比不知道，无法确定二者人数多少，故选项C 错误；
对于选项D ，芯片、软件行业中从事市场岗位的“90后”占总人数的14%×55%＝7.7%、“80前”占总人数的5%，故选项D 正确. 故选：C .
本题考查了统计图的应用，考查了数据整合的能力，属于基础题． 3．B
根据向量垂直计算得到2x =-，根据平行计算得到4y =-，再计算数量积得到答案.
()(),4,6,3AB x CD ==且AB CD ⊥，则6120,2AB CD x x ⋅=+=∴=-.
()2,4AB =-，()=2,CF y ，//AB CF ，则28,4y y -==-，()=2,4CF -. ()()2,46,312120CF CD ⋅=-⋅=-=.
故选：B .
本题考查了向量的垂直和平行，数量积，意在考查学生的计算能力. 4．B
先求sin a ，sin β，然后求cos()a β+的值，根据,a β为锐角求出a β+的值．。